2023年高考数学全国卷三角试题评析.pdf

年高考数学全国卷三角试题评析戴文静熊 露赵思林(.内江师范学院数学与信息科学学院四川内江.内江师范学院教育科学研究院四川内江)摘 要:对 年高考数学全国卷的六套试卷中的“三角与三角函数”相关试题进行了统计和分析对试题类型、分值、考查内容、数学思想方法和命题特点等方面做了探讨对一些典型试题做了探究并提出了一些教学建议.关键词:高考数学三角试题评析教学建议 高中三角知识是高考必考的重要内容之一常常与其他数学内容(如函数、向量、不等式、导数、平面几何、解析几何等)自然交汇考查学生的综合素养.本文对 年高考数学全国卷的六套试卷中的“三角与三角函数”相关试题进行了统计和分析对试题类型、分值、考查内容、数学思想方法和命题特点等方面做了探讨.“三角与三角函数”考查内容统计.“三角与三角函数”考查情况统计 表 “三角与三角函数”考查内容统计卷别科别题号分值知识考点全国甲卷理科文科恒等变换、逻辑用语图像与性质、简解式恒等变换、奇偶性图像与性质、简解式恒等变换、奇偶性解三角形、面积公式、恒等变换全国乙卷理科文科图像与性质、最值恒等变换、余弦定理正弦定理、恒等变换恒等变换、求值恒等变换新课标卷 文理恒等变换图像与性质、求值解三角形、面积公式新课标卷 文理恒等变换图像与性质、求值余弦定理、解三角形、面积公式.题型与分值 年高考数学“三角与三角函数”试题紧扣数学学科本质凸显理性思维.试题所占分值分布一般在 至 分题型一般是两道客观题和一道主观题或一道客观题和一道主观题而全国甲卷理科和乙卷文科试卷为 道客观题相比于去年甲卷理科的 道客观题数量有所下降.主观题主要考查三角函数与解三角形的综合问题其难度属于中档题.今年的甲卷理科试卷第 题将导数与三角函数巧妙地结合起来担当压轴题的重任题目设计颇有新意是一道能考查多种学科素养的好题考生们普遍认为比较难.客观题中多数考查三角函数图像与性质、求值问题、恒等变换问题与往年比较难度变化不大.内容特点分析 三角试题的多数客观题和主观题为中档题突出强调学生对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握注重考查学科知识的综合能力落实中国高考评价体系中“四翼”的基本考查.今年的主观题与解三角形结合主要考查正、余弦定理边角互化及面积公式的应用属于中档题.全面考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求.年高考“三角与三角函数”试题评析.三角函数恒等变换与求值 对三角函数恒等变换和求值的考查主要包括两角和(差)公式、诱导公式、同角三角函数的基本关系式的应用.如全国甲卷理科第 题、文科 题、新课标卷第 题等.考查的题目较多主要考数学之友 年第 期基金项目:四川省卓越教师培养计划项目“内江师范学院西部卓越中学数学教师协同培养计划”(项目编号:).查学生的化归与转化能力、数学运算素养、逻辑推理素养.例 (年高考数学新课标卷第 题)已知()则 ()().评析:本题主要考查两角和差公式与二倍角公式同时考查化归思想和数学运算能力.先用两角和差公式展开、合并再用二倍角公式求解.故选.例 (年全国乙卷文科第 题)若().分析:法:易知()则 .因为 则 则 .法:由 其中()可设 则 .所以 .评注:本题是知值求值的常规题目解题方法较多.三角函数图像与性质 对三角函数图象与性质的重点考查包括三角函数的零点、性质、图象变换和极值等问题考查数形结合、分类讨论、整体思想等.例 (年全国乙卷理科第 题)已知函数()()在区间()单调递增直线和 为函数()的图像的两条对称轴则()().评析:该题与以往的考题不同以往的考题通过一段三角函数图像或特殊点的形式给出信息而本题是通过给出单调区间和两条对称轴抓住对称轴的本质是解题的关键.由题意易知.取 则()().所以()().故选.例(年高考数学新课标卷第 题)已知函数()()在区间有且仅有 个零点则 的取值范围是 .评析:本题综合考查了余弦函数的图像与零点问题突出整体思想以及数形结合思想.该题的设问情景重点在三角函数图像与零点等方面的结合直观分析并构建不等式从而求解出参数的取值范围.由题意可知.令 结合余弦函数 的图像性质如图 所示结合函数在区间有且仅有 个零点可得)故).图.解三角形 解三角形在高考中是一个重要的基础题型其核心思路是希望借助三角形中边长与角度的代数关系来研究几何问题.其中渗透了转化与化归、方程、数形结合的思想.主要考查学生对正弦定理、余弦定理的熟练程度以及利用三角公式进行恒等变换的能力.例(年高考数学新课标卷第 题)已知在 中().()求 ()设 求 边上的高.分析:()易知.由两角和差公式得 .注意到 便可求出 .数学之友 年第 期 ()由()可知.由正弦定理得.再由面积法可求解出 边上的高为.评注:本题考查了三角形的面积公式、正弦定理、三角形内角和定理以及三角恒等变换在解三角形中的运用考查学生的运算能力、转化与化归的数学思想.三角函数与其他知识的融合 这类问题是新高考的热点三角函数易与向量、函数、几何和不等式等主干知识结合进行综合考查.既体现了试题设计的亮点又体现了对所学知识的交汇考查.例 (年全国甲卷文科第 题)若()()()为偶函数则 .评析:本题综合考查三角函数的诱导公式与函数的性质难度较小.将等式展开根据诱导公式再合并同类项可得()().又显然 是偶函数所以只需.例 (年全国甲卷理科第 题)“”是“”的().充分条件但不是必要条件.必要条件但不是充分条件.充要条件.既不是充分条件也不是必要条件评析:根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.当 时取 但 .当 时().故选.教学建议.善用系统方法建构知识体系 三角知识具有很强的系统性.系统学习、归纳、思考、运用三角知识是建构三角知识体系的有效方法.三角函数的定义和三角恒等变换的母公式 ()是三角知识体系的核心知识是演绎其它三角知识的逻辑起点具有很高的学习价值.三角函数的图象是“发现”三角函数性质的基础是学习物理学、电学、通讯等知识的重要基础应予以重视.倡导解后反思优化解题思维 解题后的反思是提高解题智慧的必由之路.反思就是将自身作为思考对象通过思考自身而不断调整自己的思考和行动.反思包括返回去思考从反面去思考反复地思考等方式.解题后的反思是解题教学的高级形式.解题后的反思处于解题之后“完而未完”的思维场情境学生在此思维场情境之中可进一步活化思维、生成经验、问题变式、方法优化、结论推广、思想凝练.渗透数学思想发展核心素养 感悟数学思想是发展数学核心素养的基本策略和方法.年全国卷在反套路反机械刷题上下了功夫越来越注意考查学生的核心素养.数学思想是重要的数学核心素养它贯穿于数学教育的始终.数学教学应牢固树立“为数学思想而教”“为数学思想而学”的教学理念应充分发掘隐藏在数学基础知识和基本技能背后的数学思想以数学思想为目标导向引导教学活动让学生逐步形成以数学思想方法为核心的数学认知结构不断发展数学核心素养.参考文献:张欣.年数学全国卷试题评析.中国教育报.赵思林.数学核心素养的培养策略.数学通报():.王冬岩.高中生对三角函数概念的理解.华东师范大学.陈振宣.三角函数在中学数学中的核心地位.数学通报():.陈昂任子期赵轩.高考中三角函数内容考查研究.数学通报():.张安涛汤强.新课程背景下高中三角函数教学中的问题及对策.教育数学论坛():.鲁依玲夏玉梅宁连华.基于 分类理论的高考数学试题分析以 年全国数学新高考卷为例.数学教育学报():.数学之友 年第 期