二次根式复习专题讲义(16年定稿).doc

二次根式专题复习
一、 二次根式的概念：
1.二次根式：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。 （二次根式有意义的条件）
②. （a≥0）是一个非负数。
③. （）2＝a（a≥0）；
=|a|＝｛a（a≥0）
2. 二次根式的乘：
①.一般的，有·＝．（a≥0，b≥0）
②. 反过来，有＝× ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )
3.二次根式的除：
①. 一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0），
②. 反过来，=（a≥0，b>0）
4. 二次根式的加减法则：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：
1、二次根式的辨识
例1. 下列式子，哪些是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：
第一， 有二次根号“”；
第二，被开方数是正数或0。
解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；
练习：P1例1
P2达标检测1提能1
1、 二次根式有意义的条件
例1. 当x是多少时，在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x≥
∴ 当x≥时，在实数范围内有意义．

例2.当x是多少时，+在实数范围内有意义？
分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的 2x+3 ≥0和中的x+1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
∴当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义。
变式题：①.当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
解：依题意得：，
∴当x>-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义。

练习：
1．（江苏南通） 若在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．（福建福州）若二次根式有意义，则x的取值范围为( )
A．x≠1 B．x≥1 C．x＜l D．全体实数
3．（ 四川自贡）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
4．（安徽芜湖）要使式子有意义，a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞－2且a≠0 C．a＞－2或a≠0 D．a≥－2且a≠0
5．（广东茂名）若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（四川绵阳）要使有意义，则x应满足
7.使式子有意义的未知数x有（ ）个。
例3.（1）.若+有意义，
则=_______。
（2）.若+=0，
求a2004+b2004的值．(答案: 2)
练习：（1）.已知y=++5，
求的值．(答案: )

（2）.已知+=0，
求xy的值．（答案:81）

2、二次根式的性质
例1. 计算
1．（）2 2．（3）2
3．（）2 4．（）2
分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（）2 =，
（3）2 =32·（）2=32·5=45，
（）2=，
（）2=．
例2. 计算
1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2 4．（）2
上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0
∴（）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，
∴a2+2a+1≥0 ，
∴=a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32
=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，
∴（）2=4x2-12x+9
变式题：计算
1（-3）2
2.
例3.在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
例4.化简
（1） （2） （3） （4）
都可运用=a（a≥0）去化简。
解：（1）==3
（2）==4
（3）==5
（4）==3
例5.当x>2，化简-．
例6．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+
=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
变式题2．
若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。（答案：10-x)

3二次根式的运算

1、二次根式的乘法法则
例．计算
（1）× （2）×
（3）× （4）×
分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．
解：（1）×=
（2）×==
（3）×==9
（4）×==

2、 二次根式的乘法法则的逆用
例1. 化简
（1） （2） （3）
（4） （5）
分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．
解：（1）=×=3×4=12
（2）=×=4×9=36
（3）=×=9×10=90

（4）=×=××=3xy
（5）==×=3
例13 . 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4×=4=8
解：（1）不正确．
改正：=＝×=2×3=6
（2）不正确．
改正：×=×===＝4

3、 二次根式的除法法则

例1．计算：
（1） （2） （3） （4）
分析：上面4小题利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．
解：（1）===2
（2）
==×=2
（3）
===2
（4）===2

4、 二次根式的除法法则的逆用
例1．化简：
（1） （2）
（3） （4）
分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
解：（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
例2．已知，且x为偶数，
求（1+x）的值．
分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．
解：由题意得，即
∴6<x≤9
∵x为偶数
∴x=8
∴原式=（1+x）
=（1+x）
=（1+x）=
∴当x=8时，原式的值==6．
5、 最简二次根式
例1.把它们化成最简二次根式：
(1) ; (2) ; (3)

点评：二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
分母有理化
阅读下列运算过程：
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）．
例：观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
==-1，
==-，
同理可得：=-，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（+++……）（+1）的值．
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
解：原式=（-1+-+-+……+-）×（+1）
=（-1）（+1）
=2002-1=2001
3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
练习：把下列各式的分母有理化
（1）；（2）；（3）；（4）．

2．化简的结果是
化简=（ ）
1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．
练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A．与 B．与
C．与 D．与
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．

6、 二次根式的加减

例20.计算
（1）+ （2）+
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
解：（1）+=2+3=（2+3）=5
（2）+=4+8=（4+8）=12
点评：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例21．计算
（1）3-9+3
（2）（+）+（-）
解：
（1）
3-9+3=12-3+6
=（12-3+6）=15
（2）（+）+（-）=++-
=4+2+2-=6+
例22．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，
求x、y的值．
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加
减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0
∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2=0
∴x=，y=3
例24．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式化为最简二次根式：
==|b|·
由题意得
∴
∴a=1，b=1
练习：

例25．计算:
（1）（+）× （2）（4-3）÷2
分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
解：（1）（+）×=×+×
=+=3+2
解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2
=2-
例26．计算
（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
解：（1）（+6）（3-）
=3-（）2+18-6
=13-3
（2）（+）（-）=（）2-（）2
=10-7=3

2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
3．若x=-1，则x2+2x+1=________．
4．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．
课外知识
例28.比较与的大小。
解：因为：（√3+√2）（√3-√2）=1；（√2+1）（√2-1）=1
所以，（√3-√2）=1/（√3+√2）；（√2-1）=1/（√2+1）,
又因为：（√3+√2）＞（√2+1）
所以，（√2-1）＞（√3-√2）。
变式题1：比较与的大小。
例29.已知的整数部分为a,小数部分为b,求a-b.
解：∵2＜√6＜3， ∴3＜√6+1＜4，即整数部分a=3，小数部分,b=√6+1-3=√6-2，则：a-b=3-（√6-2）=5-√6。

二次根式总复习
一、选择题
1．若a＜1，化简＝（ ）
A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a
2.已知x＜1，则化简的结果是（ ）
A.x－1 B. x＋1 C. －x－1 D.1－x
3．计算+之值为何？ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。
4．设、，则下列运算中错误的是（　　）
（A） （B） （C） （D）
5． 的平方根等于 （ ）
A．3 B． C． D．
6．化简的结果是( )
A．3 B．－3 C． D．
7．若a、b为实数，且满足│a－2│+=0，则b－a的值为 ( )
A．2 B．0 C．－2 D．以上都不对
8．下列计算结果正确的是： ( )
（A） （B）
（C） （D）
9．估算的值: ( ) （ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
10．若，则的值为( )
A．8 B． 2 C．5 D．
二、填空题
1． 计算：_______________.
2．计算： .
3．化简 _______．
4．若为实数，且，则的值为___________．
5．若<0，化简
6．计算： = 　　　　　．
7． = ； = .
8．计算： 。
9．已知：a、b为两个连续的整数，且a << b，则a + b = ．
10、计算：；
3、二次根式的化简求值
1．（山东烟台）（本题满分6分）先简化，再求值：
其中
2．（浙江绍兴）（2）先化简,再求值: ,其中.
3．（福建晋江）（8分）先化简，再求值： ，其中
4．（山东省德州） 先化简，再求值：，其中．
5．（湖北武汉）先化简，再求值:，其中x=.
6．（广东东莞）先化简，再求值：，其中．
7．（山东）化简求值：
，其中 .
8．（湖北十堰）先化间，再求值：，其中.
9．（重庆江津）先化简，再求值：，其中．
10．（新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）先化简，再求值（）÷，其中x=+1.
11．（辽宁大连）先化简，再求值：，其中
12．（云南曲靖）先化简，再求值 其中x=
13．（四川广安）先化简再求值：．
14．（四川攀枝花）先化简，再求值： （x—）÷（1+），其中x =—1．
15．（湖北黄石）先化简，再求值：÷.其中a＝＋1, b＝.