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求二次函数的解析式的几种方法
山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉
二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：
（1）一般式：；
（2）交点式：，其中点为该二次函数与x轴的交点；
（3）顶点式：，其中点为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式
(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式．
解：根据题意得 解之得所以抛物线为
说明：用待定系数法求系数需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．
(2)、已知抛物线与x轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与轴有两个交点，则相当于方程有两个不相等的实数根，从而，故二次函数可以表示为．
例2、已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三点．求此二次函数的解析式．
解：根据题设，设此二次函数的解析式为．
又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴． 解得．
因此，所求的二次函数解析式为，即．
说明：在把函数与轴的两个交点坐标代入求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．
(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y=a(x-h)2+k (a¹0)
例3、对称轴与y轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
解：设所求解析式为y=a(x-h)2+k， 由已知得 y=a(x+2)2-1 \ a(1+2)2-1=0 \即
(4)、已知二次函数的最值或对称轴，可设顶点式。
①已知二次函数有最大或最小值，可设，再利用其它两个独立的条件确定。
例4、二次函数的图象过(4，-3)点，且x=3时，二次函数有最大值-1，求此函数的解析式。
解：由已知得，图象顶点坐标为(3，-1)，故可设，又∵二次函数的图象过(4，-3)点 ∴，易得
最后可求得y=-2x2+12x-19
②已知对称轴方程可设再利用其它两个独立的条件确定。
例5、抛物线经过点A(1，0)，B(2，3)，对称轴x=3，求此图象的函数解析式。
解：由对称轴x=3，可设所求函数解析式为，
又知抛物线经过点A(1，0)，B(2，3)，所以有，易得
所以，即\所求解析式为y=-x2+6x-5
③图象经过点和，则其对称轴为；二次函数关系式可设为
例6、一条抛物线经过点与。求这条抛物线的解析式。
分析：解析式中的a值已经知道，只需求出的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线，这样又可以从抛物线的顶点式入手。
解：抛物线经过点（）和，
这条抛物线的对称轴是直线。
设所求抛物线的解析式为。
将点代入，得，解得。
这条抛物线的解析式为，即。
说明：当点M（）和N（）都是抛物线上的点时，若，则对称轴方程为，这一点很重要也很有用。
④当二次函数的图象与x轴只有一个交点时，此时交点为抛物线的顶点，并且顶点的纵坐标为0，所以可设，再利用两个独立的条件求a和h。
例7、已知二次函数的图象经过点，并且它与x轴只有一个交点，求这个二次函数的解析式。
分析：二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以可设，由题意知 解得，所以所求函数的关系式为
说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标、对称轴、函数的最大（最小）值时，可设函数的解析式为的形式，给解题带来方便．
三、利用对称性求二次函数的关系式。
在直角坐标系中任一点P(a,b),它关于x轴对称点的坐标为，它关于y轴对称点的坐标为，它关于原点中心对称点的坐标为。
例8、已知二次函数，求与该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式。
分析：根据点(a,b),它关于y轴对称点的坐标为,则用-x替换上述关系式中的x可得所求抛物线关系式。则有，即所求关系式为。
类似地可求得：与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为，即；与抛物线关于原点中心对称的抛物线的解析式为，即
四、求与已知抛物线关于其顶点对称的二次函数的关系式。
分析：求与已知抛物线关于其顶点对称的二次函数时，它们的顶点相同、形状相同。唯一不同的是它们的开口方向不同。因此只须已知抛物线化为顶点式，然后将顶点式中的a必为-a,即可求得。
例9、与抛物线的图象顶点相同，形状相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是什么？
分析：所求二次函数与已知函数图象关于已知函数图象的顶点对称，由得所求二次函数的关系式为，即
五、抓住二次函数图象的特征，求二次函数的关系式。
与抛物线的开口方向一样，说明二次项系数a的符号一样；与二次函数的形状相同，说明二次项系数a的绝对值相等。
例10、求顶点为，开口方向和形状均与函数的图象相同的抛物线的解析式。
解：由于所求抛物线的开口方向和形状均与函数的图象相同，所以可设所求抛物线的关系式为，又因为，其顶点为，所以有。
六、利用平移法求解析式。
①将抛物线 水平平移个单位时，用替换中的所有x，化简即可求得，说明：，。
②将抛物线 上下平移个单位时，用替换中的y，化简即可求得，说明：，。
例11、将二次函数的图象向上平移4个单位，再向右平移5个单位，得到新的二次函数的关系式为，求的值。
分析：由将向下平移4个单位，再向左平移5个单位，得到原二次函数的关系式，即为。
③将抛物线 水平平移后经过已知点，求新的函数图象的关系式。
例12、若抛物线沿x轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式。
方法一：设水平平移h个单位时，经过(3,5)，用替换中的x，得， 又因为过点(3，5)，所以有，得，因此所求关系式为或，
即或
方法二：先将化为顶点式y=2(x-1)2+3，由于水平平移后，抛物线的形状和开口方向设有改变，顶点的纵坐标改变也没有；改变的仅是顶点的横坐标。所以设抛物线的关系式为y=2(x+h)2+3,由于过点(3,5)，所以有， 解得，
所求关系式为或，即或
④将抛物线 竖直平移后经过已知点，求新的函数图象的关系式。
例13、若抛物线沿y轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式。
方法一：：设竖直平移h个单位时，经过(3,5)，用替换中的y，得， 又因为过点(3，5)，所以有，得，因此所求关系式为
方法二：先将化为顶点式y=2(x-1)2+3，由于竖直平移后，抛物线的形状和开口方向设有改变，顶点的横坐标改变也没有；改变的仅是顶点的纵坐标。所以设抛物线的关系式为y=2(x-1)2+h,由于过点(3,5)，所以有， 解得，
所求关系式为y=2(x-1)2-3，即
说明：抛物线的平移问题，不要死记规律，只须将其解析式化为顶点式，然后利用它们平移后顶点的先后位置之间的关系，确定平移方向和平移距离，可较容易求得。