2019年高三数学联考试卷.docx

衡阳市八中2020届高三月考试题（四）
数学（理科）
命题人：王美蓉 审题人：刘亮生 赵永益
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设曲线在处的切线方程为，则a＝(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为(　　)
A. B. C. D.
5．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数，则函数的大致图像为（ ）

A B C D
7．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
8．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两(1秤=10斤,1斤=10两),令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银(   )
A. 两 B. 两 C. 两​ D. 两
9．如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线BD折成四面体，使平面⊥平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3π B． C．4π D．
10.已知为平面直角坐标系的原点，为双曲线的右焦点，为的中点，过双曲线左顶点作两渐近线的平行线分别与轴交于两点，为双曲线的右顶点，若四边形的内切圆经过点，则双曲线的离心率为(　　)
A． B. C. D.

11.对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；
③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；
则其中是“偏对称函数”的函数个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
12．已知函数，，其中．若的图象在点处的切线与的图象在点处的切线重合，则a的取值范围为（）
A． B．
C． D．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．的值是__________；

14．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取600辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有________辆；

15．在平行六面体中，，，则与所成角为_________；（用弧度表示）

16．如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为_________.

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
箱中装有4个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量为取出的3个球所得分数之和.
（1）若，求的值；
（2）当时，求随机变量的分布列与数学期望.

18．(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，且，求面积的最大值．
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，，，，，分别是，的中点，在上且.
（I）求证：；
（II）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

20．(本小题满分12分)
已知椭圆过点，离心率为，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上的三点，与交于点，且，当的中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由．

21．(本小题满分12分)
设数列,，已知，，
（1)求数列的通项公式；
（2)设为数列的前项和,对任意,若恒成立，求实数的取值范围．

22．(本小题满分12分)
设，，其中．
Ⅰ求的极大值；
Ⅱ设，，若对任意的，恒成立，求的最大值；
Ⅲ设，若对任意给定的，在区间上总存在s，，使成立，求b的取值范围．