第三章第4讲简单的三角恒等变换.doc

第4讲　简单的三角恒等变换

__三角函数式的化简____________________

　化简：(1)(0<θ<π)；
(2)·(1＋tan α·tan )．
[解]　(1)原式＝

＝
＝.
因为0<θ<π，所以0<<，所以cos >0.
所以原式＝－cos θ.
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.
[规律方法]　三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
　1.化简：.
解：原式＝
＝＝
＝cos 2x.
__三角函数式的求值(高频考点)__________

三角函数的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小，高考对三角函数求值的考查有以下三个命题角度：
(1)给角求值；
(2)给值求值；
(3)给值求角．
　(1)的值为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C. D．－
(2)(2015·黑龙江哈三中第四次月考)已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，化简＝________．
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝________．
[解析]　(1)＝
＝＝＝.
(2)原式＝＝.
∵2θ∈(π，2π)，∴θ∈.
而tan 2θ＝＝－2，
∴tan2θ－tan θ－＝0，
即(tan θ＋1)(tan θ－)＝0.
故tan θ＝－或tan θ＝(舍去)．
∴＝＝3＋2.
(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝＞0，∴0＜α＜.
又tan 2α＝＝＝＞0，
∴0＜2α＜，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－.
[答案]　(1)B　(2)3＋2　(3)－
[规律方法]　三角函数求值有三类
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
　2.(1)已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D.
(2)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
(3)＝________．
解析：(1)∵tan＝＝，∴tan α＝－，∵－<α<0，∴sin α＝－，＝＝2sin α＝2×＝－.
(2)法一：由tan α＝，得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin.
∵α∈，β∈，
∴α－β∈，－α∈，
∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
∴2α－β＝.
法二：tan α＝＝
＝＝
＝＝tan，
∴α＝kπ＋，k∈Z，
∵α，β∈，
∴α＝＋，
∴2α－β＝.
(3)
＝
＝
＝＝.
答案：(1)A　(2)B　(3)
__三角恒等变换的简单应用______________

　已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.
(1)若tan α＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈，求f(x)的取值范围．
[解]　(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin·cos＝＋sin 2x＋sin
＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x
＝(sin 2x＋cos 2x)＋.
由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝.
cos 2α＝＝＝－.
所以f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋
＝sin＋.
由x∈，得2x＋∈.
∴－≤sin≤1，∴0≤f(x)≤，
所以f(x)的取值范围是 .
[规律方法]　(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为关于正切tan α的关系式，为第(1)问铺平道路．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x的式子化为y＝Asin(x＋φ)，在本章中可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(下两节讲解)
　3.已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.

(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.
又∵θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)
＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，
∴cos φ＝sin φ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，
即cos2φ＝.
又∵0<φ<，∴cos φ＝.

方法思想——三角函数式的化简(一题多解)

　　　化简sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β.
[解]　法一：原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β＋cos2αsin2β＋cos2βsin2α－
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β(sin2α＋cos2α)－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
法二：原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β
＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2α·cos 2β
＝＋cos 2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β＝.
法三：原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－cos 2α·cos 2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2α·cos 2β
＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2α·cos 2β
＝cos2β－cos 2β
＝－cos 2β·
＝－cos 2β＝.
[名师点评]　本题给出了三种不同方法，其解题思路是异角化同角，复角化单角，异次化同次等，化简要求是项数尽量少，次数尽量低，函数种类尽量少，能求值的必须求出函数值，数值结果也要化为最简形式．本题若是选择题或填空题，可令α＝β＝0，此题即可解决．
　已知cos＝，若π<x<π，求的值．
解：法一：由π<x<π，得π<x＋<2π.
又cos＝，所以sin＝－，
所以cos x＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝×－×＝－.
从而sin x＝－，tan x＝7.
则＝
＝＝－.
法二：由法一得tan＝－.
又sin 2x＝－cos＝－cos 2
＝－2cos2＋1＝－＋1＝.
则＝
＝＝
＝sin 2x·＝sin 2x·tan＝×＝－.

1．(2015·青岛模拟)设tan＝，则tan＝(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．2
C．－4 D．4
解析：选C.因为tan＝＝，所以tan α＝，故tan＝＝－4.故选C.
2.的值为(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选D.原式＝＝＝－.
3．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)
A. B.或
C. D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选C.由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
又0<α＋β<π，故α＋β＝.
4．若0<α<，－<β<0，cos＝，sin＝，则cos＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C.由已知得<＋α<，<－<，所以sin＝，cos＝，
cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
5．已知a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1，2sin α－1)，α∈，若a·b＝，则tan的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.∵a·b＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)
＝1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝1－sin α＝，
∴sin α＝，∵α∈，∴cos α＝－，
∴tan α＝－，∴tan＝＝.
6．已知点P(sinπ，cosπ)落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则tan(θ＋)的值为________．
解析：∵点P坐标为(，－)，
∴θ为第四象限角，tan θ＝－1，
∴tan(θ＋)＝＝
＝2－.
答案：2－
7．(2015·东北三校第一次联考)若cos－sin α＝，则sin＝________．
解析：∵cos－sin α＝，
∴cos αcos－sin αsin－sin α＝，
∴cos α－sin α＝，∴cos＝.
∴sin＝cos
＝cos＝.
答案：
8．设α是第二象限角，tan α＝－，且sin ＜cos ，则cos ＝________．
解析：∵α是第二象限角，∴可能在第一或第三象限．又sin ＜cos ，∴为第三象限角，∴cos ＜0.
∵tan α＝－，
∴cos α＝－，∴cos ＝－＝－.
答案：－
9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈(0，)，
得sin β＝，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α∈(，π)，β∈(0，)，
∴＜α＋β＜，
∴α＋β＝.
10．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
解：(1)法一：∵cos＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，
∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.
法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，
∴<β－<π，<α＋β<.
∴sin>0，cos(α＋β)<0，
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.

1．(2013·高考重庆卷)4cos 50°－tan 40°＝(　　)
A. B.
C. D．2－1
解析：选C.4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－
＝＝
＝
＝＝
＝
＝＝·＝.
2．(2015·杭州市第二次模拟)在△ABC中，若3cos2＋5cos2＝4，则tan C的最大值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－2
解析：选B.由已知3cos2＋5cos2＝4⇒3·＋5·＝4⇒3cos(A－B)＋5cos C＝0.
3cos(A－B)－5cos(A＋B)＝0⇒cos Acos B＝4sin Asin B⇒tan Atan B＝，由此可知，tan A>0，tan B>0.
又tan C＝－tan(A＋B)＝－＝－(tan A＋tan B)≤－，其中tan A＋tan B≥2＝1，因此，tan C的最大值为－，故选B.
3．若＝3，tan(x－y)＝2，则tan(y－2x)＝________．
解析：由＝3，
得＝3，即tan x＝2.
tan(y－x)＝－tan(x－y)＝－2，
∴tan(y－2x)＝＝＝.
答案：
4．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan(α－β)＝________．
解析：∵sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，
两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.
∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－＜0，∴0＜α＜β＜.
∴－＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－＝－.
∴tan(α－β)＝＝－.
答案：－
5．求值：－sin 10°.
解：原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
6．(选做题)已知0<α<<β<π，tan ＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；
(2)求β的值．
解：(1)∵tan ＝，
∴tan α＝＝＝.
由
解得sin α＝(sin α＝－舍去)．
(2)由(1)知cos α＝＝＝，
又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝.
∴sin(β－α)＝＝＝，
于是sin β＝sin[α＋(β－α)]
＝sin αcos(β－α)＋cos αsin (β－α)
＝×＋×＝.
又β∈，∴β＝.