经济数学导数与微分公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

前页,结束,后页,章,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,前页,结束,后页,章,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第2章 导数与微分,1.1 导数概念,1.2 导数运算,1.3 微分,结束,第1页,第1页,定义 设,y=f,(,x,)在点,x,0,某邻域内有定义，,属于该邻域，记,若,存在，则称其极限值为,y=f,(,x,)在点,x,0,处导数，记为,或,2.1 导数概念,第2页,第2页,导数定义与下面形式等价,：,若,y=f,(,x,)在,x,=,x,0,导数存在，则称,y=f,(,x,)在点,x,0,处可导，反之称,y=f,(,x,)在,x,=,x,0,不可导，此时意味着不存在.,第3页,第3页,左导数与右导数,左导数:,右导数:,显然能够用下面形式来定义左、右导数,定理3.1,y,=,f,(,x,)在,x,=,x,0,可导充足必要条件是,y=f,(,x,)在,x,=,x,0,左、右导数存在且相等.,第4页,第4页,导数几何意义,当自变量 从改变到 时，曲线,y=f,(,x,)上点由 变到,此时 为割线两端点,M,0,，,M,横坐标之差，而,则为,M,0,，,M,纵坐标之差，因此 即为过,M,0,，,M,两点割线斜率.,M,0,M,第5页,第5页,曲线,y=f,(,x,),在点,M,0,处切线即为割线,M,0,M,当,M,沿曲,线,y=f(x),无限靠近 时极限位置,M,0,P，,因而当,时，割线斜率极限值就是切线斜率.即：,因此，导数 几何意义是曲线,y=f,(,x,)在点,M,0,(,x,0,f,(,x,0,)处切线斜率.,M,0,M,第6页,第6页,设函数,y=f,(,x,)在点处可导，则曲线,y=f,(,x,)在点处切线方程为：而当 时,曲线 在 切线方程为,(即法线平行,y,轴).,当 时,曲线 在 法线方程为,而当 时,曲线 在 法线方程为,第7页,第7页,例1 求函数 导数,解:(1)求增量:,(2)算比值:,(3)取极限:,同理可得:,尤其地,.,第8页,第8页,例2 求曲线 在点 处切线与法线方程.,解:由于 ,由导数几何意义,曲线,在点 切线与法线斜率分别为:,于是所求切线方程为:,即,法线方程为:,即,第9页,第9页,2.1.2 可导性与连续性关系,定理2 若函数,y=f,(,x,)在点,x,0,处可导，,则,f,(,x,)在点,x,0,处连续.,第10页,第10页,例3 证实函数 在,x,=0处连续但不可导,.,证,由于,因此,在,x,=0连续,而,即函数 在,x,=0处左右导数不相等,从而在,x,=0不可导.,由此可见，函数在某点连续是函数在该点可,导必要条件，但不是充足条件,即可导定连续,连续不一定可导.,第11页,第11页,设函数u(,x,)与v(,x,)在点,x,处均可导，则:,定理一,2.2.1 函数和、差、积、商求导法则,2.2 导数运算,尤其地,假如,可得公式,第12页,第12页,注：法则（1）（2）均可推广到有限,多个可导函数情形,例：,设,u=u,(,x,),v=v,(,x,),w=w,(,x,)在点,x,处均,可导，则,第13页,第13页,解：,例2 设,解：,例1,第14页,第14页,解：,即,类似可得,例3 求,y,=tan,x,导数,第15页,第15页,基本导数公式表,2.2.2,基本初等函数导数,第16页,第16页,解：,例4,第17页,第17页,定理二,假如函数,在,x,处可导，而函数,y=f,(,u,)在相应,u,处可导，,那么复合函数,在,x,处可导，且有,或,对于多次复合函数，其求导公式类似，此法则也称链导法,注：,2.2.3 复合函数导数,第18页,第18页,例6,解：,解：,例5,第19页,第19页,1.隐函数导数,例7 求方程 所拟定函数导数,解：,方程两端对,x,求导得,2.2.5 隐函数导数,隐函数即是由 所拟定函数，其求导办法就是把,y,当作,x,函数，方程两端同时对,x,求导，然后解出 。,即,第20页,第20页,例8,解：,两边对,x,求导得,第21页,第21页,能够表示为,定义,设函数,在点,某邻域内有定义，,处增量,在点,假如函数,处微分，,可微，,称为,在点,处,在点,高阶无穷小，则称函数,时,其中,A,是与,无关常数，,是当,比,2.3.1 微分概念,2.3 微分,第22页,第22页,由微分定义，函数,f,(,x,)在点,x,0,处可微与可导等价，,且,因而,在点,x,0,处微分可写成,于是函数,通常把,记为,，称自变量微分，,上式两端同除以自变量微分，得,因此导数也称为微商,f,(,x,)在点,x,0,处微分又可写成,d,x,f,(,x,)在(,a,b,)内任一点,x,处微分记为,记为,第23页,第23页,解：,例1 求函数,y=x,2,在,x,=1,时改变量和微分。,于是,在点,处，,第24页,第24页,2.3.3 微分运算法则,1.微分基本公式：,第25页,第25页,2.微分四则运算法则,设,u=u,(,x,)，,v=v,(,x,)均可微，则,（,C,为常数）；,第26页,第26页,