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经济数学课件经济数学课件3.1 3.1 定积分概念与性质定积分概念与性质 3.1.1 3.1.1 定积分概念定积分概念1.1.曲边梯形面积曲边梯形面积 所谓曲边梯形所谓曲边梯形,是指如图是指如图3.1.13.1.1中阴影部分图形中阴影部分图形,它由它由 轴轴,两条直线两条直线 、,以及连续非负曲线以及连续非负曲线 所围成所围成.当当 在区间在区间 某端点或两端某端点或两端点函数值为点函数值为0 0时时,曲边曲边梯形就成了图梯形就成了图 、特殊情形。特殊情形。第1页第1页经济数学课件经济数学课件 拟定曲边梯形面积做法直观易懂拟定曲边梯形面积做法直观易懂.其要点为其要点为:把把曲边梯形沿着平行于轴方向切割成若干个窄窄长条曲边梯形沿着平行于轴方向切割成若干个窄窄长条,每个长条被近似地视为矩形每个长条被近似地视为矩形,而矩形面积等于底乘高而矩形面积等于底乘高,这些矩形面积之和便是曲边梯形面积近似值这些矩形面积之和便是曲边梯形面积近似值.容易理容易理解解,长条越窄长条越窄,准确度越高准确度越高,当我们无限地加密时当我们无限地加密时,近似值便应当趋于面积准确值近似值便应当趋于面积准确值A.A.第2页第2页经济数学课件经济数学课件下面用四步法细说以上下面用四步法细说以上“积分思想积分思想”.”.第一步第一步 分割分割 用下列分点用下列分点将底边将底边 分成分成 个小段个小段 等分能够等分能够,不等分也能够不等分也能够,且记小区间长度为且记小区间长度为 任取点任取点 任意性使得近似是可操作任意性使得近似是可操作.第3页第3页经济数学课件经济数学课件 第二步第二步 近似近似 用矩形面积用矩形面积 代替代替 上竖立小曲边梯上竖立小曲边梯形面积形面积 ，即，即 第三步第三步 求和求和 把每一片小曲边梯形近似矩形面积相加把每一片小曲边梯形近似矩形面积相加,便得到便得到 近似值：近似值：第4页第4页经济数学课件经济数学课件和式和式 作为作为 近似值近似值,被称为被称为 在在 上黎曼上黎曼(Riemann)(Riemann)和和(见图见图3.1.3).3.1.3).第四步第四步 取极限取极限 为了确保每一片足够窄为了确保每一片足够窄,我们要求最宽一片宽我们要求最宽一片宽第5页第5页经济数学课件经济数学课件度能无限变小度能无限变小,于是记于是记则当则当 时时,每个小区间每个小区间 长度长度 也趋于零也趋于零,此时此时,黎曼和极限便应当是所求面积黎曼和极限便应当是所求面积A A准确值准确值,即即 这里这里,显然意味着显然意味着 ,但反过来不对但反过来不对,即即 时不一定意味着时不一定意味着 ,由于分点无限增多由于分点无限增多并不能确保所有分点距离能任意小并不能确保所有分点距离能任意小(见图见图3.1.4).3.1.4).第6页第6页经济数学课件经济数学课件 例例1 1 求认为曲边曲边梯形面积求认为曲边曲边梯形面积(见图见图3.1.5).3.1.5).解解 采用等分点分割法采用等分点分割法,令令于是于是 又取又取则则第7页第7页经济数学课件经济数学课件2.2.定积分定义定积分定义 定义定义 设函数设函数 在区间在区间 上有界上有界,用分点用分点把区间把区间 分成分成 个小区间个小区间 ,其长度为其长度为 在每个小区间在每个小区间 上任取一点上任取一点 ,并作函并作函数值数值 与小区间长度与小区间长度 乘积乘积 相加后得到相加后得到和式和式(称为黎曼和称为黎曼和)第8页第8页经济数学课件经济数学课件记记 当当 时时,假如黎曼和假如黎曼和 极限存在极限存在,并且此极限值与区间并且此极限值与区间 分法及分法及 取法无取法无关关,则称函数则称函数 在区间在区间 上可积上可积,称所得极限值为函称所得极限值为函数数 在区间在区间 上定积分上定积分,记为记为 即即 其中其中 和和 分别称为定积分下限和上限分别称为定积分下限和上限,称为积分称为积分区间区间,称为积分变量称为积分变量,称为被积函数称为被积函数,称为被称为被积表示式积表示式.第9页第9页经济数学课件经济数学课件 以上定义是德国数学家黎曼于以上定义是德国数学家黎曼于18541854年严格给定年严格给定,故故也称黎曼和定义也称黎曼和定义.关于此定义关于此定义,我们还须作几点阐明我们还须作几点阐明:(1)(1)两个要素两个要素.定积分结果是一个常数定积分结果是一个常数,这个常数这个常数大小取决于两个要素：被积函数大小取决于两个要素：被积函数 和积分区间和积分区间 ,与积分表示式变量采用字母无关与积分表示式变量采用字母无关,即即(2)(2)几何意义几何意义.由曲边梯形面积问题及定义可知由曲边梯形面积问题及定义可知,闭区闭区间间 上非负函数定积分上非负函数定积分 表示由曲线表示由曲线 、第10页第10页经济数学课件经济数学课件 轴、直线轴、直线 与与 所围曲边梯形面积所围曲边梯形面积;尤其地尤其地,当被积函数为当被积函数为1,1,或积分区间长度为或积分区间长度为0 0时时,便有便有在理论问题中在理论问题中,有时候并不能拟定积分上限和积分下限有时候并不能拟定积分上限和积分下限大小关系，因此我们也允许积分下限不小于积分上限大小关系，因此我们也允许积分下限不小于积分上限,并商定下列转换公式并商定下列转换公式:第11页第11页经济数学课件经济数学课件3.1.2 3.1.2 定积分性质定积分性质 性质性质1 1 分项积分法分项积分法其中其中 为任意两个常数为任意两个常数,这一性质表明常数因子能够从这一性质表明常数因子能够从积分中提出来积分中提出来;以及两个函数和积分等于积分之和以及两个函数和积分等于积分之和.性质性质2 2 分段积分法分段积分法这一性质表明这一性质表明(见图见图3.1.6)3.1.6)使用定积分表示量含有可加使用定积分表示量含有可加第12页第12页经济数学课件经济数学课件性性:整体等于部分之和整体等于部分之和.性质性质3 3 定积分比较定积分比较 若若 则则 这一性质表明定积分能够保持被积函数大小关系这一性质表明定积分能够保持被积函数大小关系.结合结合第13页第13页经济数学课件经济数学课件几何意义和图几何意义和图3.1.73.1.7不难理解其含义不难理解其含义.性质性质4 4 定积分预计定积分预计 若若 则则 证证 由性质由性质3 3可知可知由性质由性质1 1得得于是不等式成立于是不等式成立.其几何意义见图其几何意义见图3.1.8.3.1.8.第14页第14页经济数学课件经济数学课件 性质性质5 5 积分中值定理积分中值定理 设设 在在 上连续上连续,则在则在上至少存在一点上至少存在一点 ,使使 证证 由由 在闭区间在闭区间 上连续函数知上连续函数知,在在 上必有最小值上必有最小值 和最大值和最大值 ,由性质由性质4,4,得得这阐明这阐明 即常数即常数 介于介于 最小值与最大值之间最小值与最大值之间,再由闭区间连续函数介值再由闭区间连续函数介值,第15页第15页经济数学课件经济数学课件定理知定理知,必有一点必有一点 使得使得 积分中值定理几何意义见图积分中值定理几何意义见图3.1.9,3.1.9,若若 在在 上连续上连续,则以区间则以区间 为底为底,为曲顶曲边梯形面积为曲顶曲边梯形面积必定等于也以必定等于也以 为底为底,某点某点 相应函数值相应函数值(假假设设 )为高矩形面积为高矩形面积.我们称我们称 为函数为函数 在区间在区间 上上平均值平均值,它是有限个实数算术平均值推广它是有限个实数算术平均值推广.第16页第16页经济数学课件经济数学课件 例例2 2 比较定积分比较定积分 与与 大小大小.解解 在区间在区间 上上,故故 从而从而 例例3 3 预计定积分预计定积分 值值.解解 由于由于 故故 从而有从而有即积分值在即积分值在 与与 之间之间.第17页第17页经济数学课件经济数学课件 例例4 4 证实不等式证实不等式 证证 由由 及性质及性质3 3得得此即此即 例例5 5 某商店在某商店在3030天销售过程中天销售过程中,某货架上商品某货架上商品件数由件数由300300件线性地下降到件线性地下降到6060件，试求货架上月平均商件，试求货架上月平均商品数品数.解解 设设 是第是第 天货存件数天货存件数,由题意知由题意知 是是第18页第18页经济数学课件经济数学课件 线性函数线性函数,且且 于是于是 与与 关系关系为为由性质由性质5 5中简介平均值计算公式得中简介平均值计算公式得第19页第19页
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