第四章第一次作业.doc

第四章 第一次作业

1．对函数在区间上应用罗尔定理，所得的中值，则。
解 依题意，，
，
即， 得为任何实数。
2．对函数在区间上应用拉格朗日中值定理，所求的中值点。
解 由 ， 得
，
。
3．设，则方程必有个实根。
。
解 选。因为，由罗尔定理可知在上均有一实根，故选。
4．下列函数中，不能作为证明拉格朗日中值定理的辅助函数的个数是。
；
；
。
。
解 选。
i), ii), iii)这三个函数均满足罗尔定理的三个条件，且由 均能得出。
5．利用导数证明恒等式。
解 令，
，
故为一常数，。
6．函数，在区间上是否满足柯西中值定理条件？若满足，求出定理中的中值。
解 在上满足柯西中值定理条件，因，由
，得，故。
7．函数，且为的一个正根，证明方程

必有一个小于的正根。
解 在上连续，
在上可导，由罗尔定理，在内必有一实根。
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