资源描述
10.8 离散型随机变量的期望与方差
一、选择题
1．投掷一颗骰子的点数为ξ，则( )
A．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52 B．Eξ＝3.5，Dξ＝
C．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5 D．Eξ＝3.5，Dξ＝
解析：ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
6
P
∴Eξ＝3.5，Dξ＝.
答案：B
2．设随机变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，则( )
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
解析：由已知 解得
答案：A
3．如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么( )
A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Dξ B．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2
C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4 D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2
答案：A
4．设离散型随机变量ξ满足Eξ＝－1，Dξ＝3，则等于( )
A．9 B．6 C．30 D．36
解析：由Dξ＝Eξ2－(Eξ)2，∴Eξ2＝Dξ＋(Eξ)2＝4.∴E[3(ξ2－2)]＝3Eξ2－6＝6.
答案：B
二、填空题
5．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
解析：随机变量ξ的取值为0,1,2,4，P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝，
因此Eξ＝.
答案：
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列．若Eξ＝，则Dξ的值是______．
解析：根据已知条件：，解得：b＝，a＝，c＝，
∴Dξ＝(－1－)2＋(0－)2＋(1－)2＝.
答案：
7．设随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，且Eξ＝3，p＝，则n＝________，Dξ＝________.
解析：由已知即∴n＝21，Dξ＝＝.
答案：21
三、解答题
8．(2010·开封高三月考)一厂家向用户提供一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽查以决定是否接收．抽查规则是：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中抽查到次品就立即停止抽查，并且用户拒绝接收这箱产品．
(1)求这箱产品被用户接收的概率；(2)记抽查的产品数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解答：(1)设事件A：“这箱产品被用户接收”，则P(A)＝＝，即这箱产品被用户接收的概率为.
(2)ξ的可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝，
∴ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
∴Eξ＝1×＋2×＋3×＝.
9．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．
(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布及Eξ；
(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．
解答：(1)依题意，ξ的可能取值为1,0，－1，
ξ的分布列为
ξ
1
0
－1
P
Eξ＝－＝.
(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为：
η
2
－2
P
α
β
Eη＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥，∴≤α≤1.
10．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一胜队，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定A、B在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望．
解答：设ξ表示A、B两队比赛结束时的场数，所以取4,5,6,7.
(1)事件“ξ＝4”表示，A胜4场或B胜4场(即A负4场)，且两两互斥．
P(ξ＝4)＝C()4()0＋C()0()4＝.
(2)事件“ξ＝5”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B在第5场中取胜且前4场中B胜3场．(即第5场A负且前4场中A负了3场)，又这两者是互斥的，所以
P(ξ＝5)＝C()3()4－3＋C()1()4－1＝.
(3)类似地，事件“ξ＝6”“ξ＝7”的概率分别为
P(ξ＝6)＝C()3()5－3＋C()2()3＝.
P(ξ＝7)＝C()3()6－3＋C()3()6－3＝.
比赛场数的分布列为：
ξ
4
5
6
7
P
故比赛的期望为
Eξ＝4×＋5×＋6×＋7×＝5.812 5场．
这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说进行6场才能分出胜负．
1．已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
(2)ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
解答：(1)对于甲：
次 数
1
2
3
4
5
概 率
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
对于乙：
次 数
2
3
4
概 率
0.4
0.4
0.2
0.2×0.4＋0.2×0.8＋0.2×1＋0.2×1＝0.64.
(2)ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为Eξ＝2×0.4＋3×0.4＋4×0.2＝2.8.
2．如右图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n 个点中有m 个点落入M中，则M的面积的估计值为S, 假设正方形ABCD 的边长为2，M的面积为1，并向正方形 ABCD中随机投掷10 000个点，以X表示落入M中的点的数目．
(1)求X 的均值EX；
(2)求用以上方法估计M的面积时， M的面积的估计值与实际值之差在区间(－0.03,0.03)内的概率．
附表：P(k)＝×0.25l×0.7510 000－l
k
2 424
2 425
2 574
2 575
P(k)
0.040 3
0.042 3
0.957 0
0.959 0
解答：每个点落入M中的概率均为p＝.依题意知X～B(10 000，)．
(1)EX＝10 000×＝2 500.
(2)依题意所求概率为P(－0.03＜×4－1＜0.03)，
P(－0.03＜×4－1＜0.03)＝P(2 425＜X＜2 575)＝×0.25l×0.7510 000－l
＝×0.25l×0.7510 000－l－×0.25l×0.7510 000－l＝0.957 0－0.0423
＝0.914 7.
用心 爱心 专心
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