二轮复习数学专题一第3讲-函数与方程及函数的实际应用.doc

2012年高考第二轮复习数学专题一第3讲函数与方程及函数的实际应用1(2011北京高考，理6)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A75,25 B75,16 C60,25 D60,162(2011陕西高考，理6)函数f(x)cos x在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点3(2010陕西高考，理5)已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a等于()A B C2 D9通过分析高考试题可以看到对函数与方程的考查主要体现在以下几个方面：一、结合函数与方程的关系，求函数的零点；二、结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断；三、利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或范围，此外，对于用二分法求方程根的近似值也要引起重视，由于步骤的可重复性，故可与程序框图相结合编拟部分题目，这也是算法思想的具体体现；对函数的实际应用问题的考查，题目大多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等基础知识和方法热点一确定函数的零点函数的零点不是点，是方程f(x)0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零函数的零点也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标【例1】 设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点思路点拨：方法一：判断ff(1)，f(1)f(e)的符号；方法二：图象法确定函数零点的常用方法：1解方程判定法，若方程易解时用此法2利用零点存在的判定定理3利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解拓展延伸 方程|x|cos x在(，)内()A没有根 B有且仅有一个根C有且仅有两个根 D有无穷多个根热点二函数零点的应用函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间存在着密切的联系，方程f(x)0的根就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0.然后通过方程进行研究，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决【例2】 (1)m为何值时，f(x)x22mx3m4.有且仅有一个零点？有两个零点且均比1大？(2)若函数F(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围思路点拨：(1)结合二次函数图象求解，也可用方程思想求解(2)利用函数图象求解解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解拓展延伸 已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x，那么在区间1,3内，关于x的方程f(x)kxk1(kR且k1)有4个不同的根，求k的取值范围热点三函数的实际应用该类题目解题的关键是认真审题，将实际语言抽象转化为函数、方程、不等式等数学语言，从而用相关数学知识求解【例3】 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过试验分析得知：f(t)(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？思路点拨：(1)分别求出每段达到最大值的时间，比较即得所求(2)求出f(5)，f(25)，比较两值即可(3)分段求出f(t)180时的t，作差应用函数知识解应用题的步骤：(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解(3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答拓展延伸某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由1误以为f(a)f(b)0是函数yf(x)在a，b上有零点的充要条件yf(x)在a，b上连续，且有f(a)f(b)0，则yf(x)在(a，b)内有零点，但并不是不满足f(a)f(b)0错误地认为没有零点，其实函数在0,2上有一个零点2忽略实际应用问题中自变量的取值范围，造成与实际问题不相符合的错误结论当函数是以实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要考虑实际意义如自变量的取值范围可能限制在某一区间之内参考答案考场传真1D解析：由题意得，当xA时，f(A)15，即15；当xA时，f(x)为定值，显然x4时，由f(x)得出，即30，c60，代入式得A16，所以选D.2(2011陕西，理6)B解析：令f(x)0，得cos x，1，.在同一坐标系内画出两个函数y与ycos x的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程cos x只有一个解函数f(x)只有一个零点3C解析：f(0)2012，f(f(0)f(2)42a4aa2.核心攻略【例1】 D解析：法一：fln 10，f(1)ln 10，f(e)ln e10，f(1)f(e)时，y|x|1，ycos x1.当x1，ycos x1，所以两函数的图象只在内有两个交点，所以|x|cos x在(，)内有两个根故选C.【例2】 解：(1)若函数f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点，则等价于4m24(3m4)0，即4m212m160，即m23m40，解得m4或m1.设两零点分别为x1，x2，且x11，x21，x1x2.则x1x22m，x1x23m4，故只需故m的取值范围是m|5m1(2)若F(x)|4xx2|a有4个零点，即|4xx2|a0有四个根，即|4xx2|a有四个根令g(x)|4xx2|，h(x)a.则作出g(x)的图象，由图象可知要使|4xx2|a有四个根，则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，0a4，即4a0.拓展延伸解：在同一坐标系内分别作出函数yf(x)，ykxk1在1,3上符合条件的图象如图所示，观察得：要使f(x)kxk1有4个不同的根，则k0.【例3】 解：(1)当0t10时，f(t)t224t100(t12)2244是增函数，且f(10)240.当20t40时，f(t)7t380是减函数，且f(20)240.所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟(2)f(5)195，f(25)205，所以讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟时更集中(3)当0t10时，令f(t)t224t100180，则t4；当2024.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题目拓展延伸解：(1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分批，每批价值为20x元，由题意f(x)4k20x，由x4时，y52得k.f(x)4x(0x36，xN*)(2)由(1)知f(x)4x(0x36，xN*)，f(x)248(元)，当且仅当4x，即x6时，上式等号成立故只需每批购入6张书桌可以使资金够用