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2021届高考数学统考二轮复习 第二部分 专题6 函数与导数 第3讲 导数的简单应用教案 理

2021届高考数学统考二轮复习 第二部分 专题6 函数与导数 第3讲 导数的简单应用教案 理

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专题6第3讲　导数的简单应用

　　　　　　　　导数的运算与导数的几何意义

授课提示：对应学生用书第59页

考情调研
考向分析
导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.
1.导数的基本运算．
2.求过某点的切线斜率(方程)等问题．
3.由曲线的切线方程求参数.

[题组练透]
1．若直线y＝kx－2与曲线y＝1＋3ln x相切，则k＝(　　)
A．3　　　　　　　 B.
C．2 D.
解析：设切点为(x0，kx0－2)，
∵y′＝，∴
由①得kx0＝3，
代入②得1＋3ln x0＝1，
则x0＝1，k＝3，
故选A.
答案：A
2．直线y＝ex＋2b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
解析：设切点为(x0，y0)，由题意得y′＝(x>0)，所以y′|x＝x0＝＝e，所以x0＝，所以y0＝ln x0＝ln＝－1，又y0＝ex0＋2b，所以b＝－1.
答案：－1
3．(2020·三明质检)曲线y＝ln x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝________.
解析：因为y＝ln x－ax，所以y′＝－a，因此其在x＝2处的切线斜率为k＝－a，又曲线y＝ln x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，所以－a＝a，因此a＝.
答案：
[题后悟通]
1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法
类型
方法
已知切点P(x0，y0)，求切线方程
求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程
已知切线的斜率k，求切线方程
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程
已知切线上一点(非切点)，求切线方程
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程
2.由曲线的切线求参数值或范围的2种类型及解题关键
类型
解题关键
已知曲线在某点处的切线求参数
关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值
已知曲线的切线方程，求含有双参数的代数式的取值范围
关键是过好“双关”：一是转化关，即把所求的含双参数的代数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方程，寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性、基本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围

　　　　　　　　导数与函数的单调性
授课提示：对应学生用书第60页
考情调研
考向分析
考查函数的单调性，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，题型以解答题为主，一般难度较大.
1.求函数的单调区间．
2.原函数与导函数图象间的关系．
3.已知单调性求参数的范围.

[题组练透]
1．(2020·新乡模拟)若函数f(x)＝aex＋sin x在上单调递增，则a的取值范围为(　　)

解析：依题意得：f′(x)＝aex＋cos x≥0，
即a≥－对x∈恒成立，
设g(x)＝－，g′(x)＝，
当x∈时，g′(x)<0；
当x∈时，g′(x)>0，
故g(x)max＝max＝0，则a≥0.故选D.
答案：D
2．(2020·宁德质检)函数f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)在R上恒成立，且f(1)＝e，则下列判断一定正确的是(　　)
A．f(0)<1　　　　　　 B．f(－1)<f(0)
C．f(0)>0 D．f(－1)>f(0)
解析：令函数F(x)＝，则F′(x)＝，
∵f′(x)＞f(x)，∴F′(x)＞0，
故函数F(x)是定义在R上的增函数，
∴F(1)＞F(0)，即＞，故有f(1)＞ef(0)；
又f(1)＝e，
∴f(0)<1，
故选A.
答案：A
3．已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增．
③若a＜0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
故f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
[题后悟通]
求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略
讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：
(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．
(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
[注意]　讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视函数定义域的限制．

　　　　　　　　导数与函数的极值、最值

授课提示：对应学生用书第61页

考情调研
考向分析
考查函数的极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，题型以解答题为主，一般难度较大.
1.利用导数研究函数的极值、最值．
2.已知函数的极值或最值求参数的取值范围.

[题组练透]
1．函数f(x)＝x3－4x＋4在[0,3]上的最小值为(　　)
A．4　　　　　　　 B．1
C．－ D．－
解析：因为f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，在[0,2]上递减，在(2,3)上递增，因此可知函数在给定区间的最小值为x＝2时取得，且为－，故选C.
答案：C
2．(2020·石家庄模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf′(x)的图象可能是(　　)

解析：由函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，
所以当x>1时，f′(x)<0；x＝1时，f′(x)＝0；x<1时，f′(x)>0；
所以当x<0时，y＝－xf′(x)>0；当0＜x＜1时，y＝－xf′(x)<0；当x＝0或x＝1 时，y＝－xf′(x)＝0，当x＞1时，y＝－xf′(x)>0，
可得选项B符合题意，故选B.
答案：B
3．若直线y＝a分别与直线y＝2x－3，曲线y＝ex－x(x≥0)交于点A，B，则|AB|的最小值为(　　)
A．6－3ln 3 B．3－ln 3
C．e D．0.5e
解析：作出两个曲线的图象如图，

设A(x1，a)，B(x2，a)，则x1＞x2，
则2x1－3＝ex2－x2，即x1＝(ex2－x2＋3)，
则|AB|＝x1－x2＝(ex2－x2＋3)－x2＝(－3x2＋ex2＋3)，
设f(x)＝(ex－3x＋3)，x≥0，
函数的导数f′(x)＝(－3＋ex)，
由f′(x)＞0得x＞ln 3，f(x)为增函数，
由f′(x)＜0得0≤x＜ln 3，f(x)为减函数，
即当x＝ln 3时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln 3)＝(3＋3－3ln 3)＝3－ln 3，
故选B.
答案：B
4．不等式kx≥，(x>0)恒成立，则k的最小值为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：令f(x)＝，则f′(x)＝，
很明显函数f(x)的周期为2π，
由导函数的符号可得函数在区间(0,2π)上具有如下单调性：
在区间和上单调递增，在区间上单调递减，绘制函数图象如图所示，

考查临界条件，满足题意时，直线y＝kx恒在函数f(x)＝的图象的上方，临界条件为直线与曲线相切于点(0,0)，此时k＝f′(0)＝，即k的最小值为.故选A.
答案：A
[题后悟通]
利用导数研究函数的极值、最值的注意点
(1)极值：导函数的零点并不一定就是函数的极值点，因此在求得f′(x0)＝0后务必验证x>x0及x<x0时f′(x)的符号是否相反．
(2)最值：① 对含参数的函数解析式求最值时，常常分类讨论，分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部，从而根据单调性求出最值．
②求极值和最值时，为了直观易懂，常常列出x的取值范围与y′的符号及y的单调区间、极值的对应表格．