2015高考数学二轮专题复习3：函数与方程及函数的应用含解析.doc

高考专题训练(三)　函数与方程及函数的应用
A级——基础巩固组
一、选择题
1．函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
解析　由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.故选B.
答案　B
2．函数f(x)＝2x－x－的一个零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) X |k |B| 1 . c|O |m
C．(2,3) D．(3,4)
解析　由f(0)＝20－0－<0，f(1)＝2－1－<0，f(2)＝22－2－>0，根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.
答案　B
3．(2014·北京卷)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析　由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．
答案　C
4．(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)w w w .x k b 1.c o m
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3
解析　求出当x<0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x<0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋>0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1,3}．
答案　D新|课 |标| 第 |一| 网
5．已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．k≤2 B．－1<k<0
C．－2≤k<－1 D．k≤－2
解析　由y＝|f(x)|＋k＝0得|f(x)|＝－k≥0，所以k≤0，作出函数y＝|f(x)|的图象，

要使y＝－k与函数y＝|f(x)|有三个交点，则有－k≥2，即k≤－2，选D
答案　D
6．x0是函数f(x)＝2sinx－πlnx(x∈(0，π))的零点，x1<x2，则①x0∈(1，e)；②x0∈(e，π)；③f(x1)－f(x2)<0；④f(x1)－f(x2)>0，其中正确的命题为(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析　因为f(1)＝2sin1－πln1＝2sin1>0，f(e)＝2sine－π<0，所以x0∈(1，e)，即①正确．
f′(x)＝2cosx－，当x∈时，>2，f′(x)<0，
当x＝时，f′(x)＝－2<0，
当x∈时，1<<2，cosx<0，f′(x)<0.
综上可知，f′(x)<0，f(x)为减函数，f(x1)>f(x2)，即f(x1)－f(x2)>0，④正确．
答案　B
二、填空题
7．已知0<a<1，函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为________．
解析　分别画出函数y＝ax(0<a<1)与y＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，图象有两个交点．

答案　2
8．(2014·福建卷)函数f(x)＝的零点个数是________．
解析　分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个．
当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，
所以在(－∞，0]上有一个零点．
当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．
综上，函数f(x)的零点个数为2.
答案　2
9．(2014·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.

解析　如图所示，△ADE∽△ABC，设矩形的面积为S，另一边长为y，

则＝2＝2.
所以y＝40－x，则S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋202，
所以当x＝20时，S最大．
答案　20
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝＋2.
(1)求函数g(x)的值域；
(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．
解　(1)g(x)＝＋2＝|x|＋2，
因为|x|≥0，所以0<|x|≤1，
即2<g(x)≤3，故g(x)的值域是(2,3]．
(2)由f(x)－g(x)＝0，得2x－－2＝0，
当x≤0时，显然不满足方程，
当x>0时，由2x－－2＝0，
整理得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，
故2x＝1±，因为2x>0，所以2x＝1＋，
即x＝log2(1＋)．
11．设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围．
解　(1)f′(x)＝3x2－9x＋6，
因为x∈R时，f′(x)≥m，新*课*标*第*一*网
即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－，
故m的最大值为－.
(2)由(1)知，f′(x)＝3(x－1)(x－2)，当x<1时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a；w w w .x k b 1.c o m
故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根．
解得a<2或a>.
∴实数a的取值范围是(－∞，2)∪.
B级——能力提高组
1．(2014·湖南卷)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，)
C. D.
解析　设是函数f(x)图象上任意一点，该点关于y轴的对称点在函数g(x)的图象上，则x＋ex0－＝x＋ln(a－x0)，即ln(a－x0)＝ex0－，∴a＝x0＋e ex0－ (x<0)．
记h(x)＝x＋eex－＝x＋eex，
则h′(x)＝1＋eex·ex＝1＋eex＋x>0，
∴h(x)在(－∞，0)上是增函数．
∴a<e＝，故选B.
答案　B
2．(2014·浙江名校联考)已知函数f(x)＝x2＋＋a＋a在定义域上有零点，则实数a的取值范围是________．
解析　f(x)＝2＋a＋a－2，x≠0，
令x＋＝t，则t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，[来源:Z,xx,k.Com]
由于f(x)有零点，则关于t的方程t2＋at＋a－2＝0在(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有解．
∵t≠－1，∴方程t2＋at＋a－2＝0可化为a＝，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，问题就转化为a＝＝＝－(t＋1)＋＋2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，a＝－(t＋1)＋＋2在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是减函数，故当t≤－2时，a≥2；当t≥2时，a≤－，∴a∈∪[2，＋∞)．
答案　∪[2，＋∞)
3．(2014·江苏南京一模)如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m. 新-课-标-第-一-网

(1)求x的取值范围(运算中取1.4)；
(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
解　(1)由题意得
解得即9≤x≤15.
(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得
y＝a×π×2＋ax×πx2＋×
＝，
令f(x)＝－x4＋x3－12x2，
则f′(x)＝－x3＋4x2－24x＝－4x，
由f′(x)＝0，解得x＝10或x＝15，
列表如下：
x
9
(9,10)
10
(10,15)
15
f′(x)

－
0
＋
0
f(x)

↘
极小值


所以当x＝10时，y取最小值．
即当x＝10 m时，可使“环岛”的整体造价最低．
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