高考数学二轮复习-专题限时集训(三)第3讲-函数与方程、函数模型及其应用配套作业-理(解析版).doc

专题限时集训(三)

[第3讲　函数与方程、函数模型及其应用]

(时间：45分钟)

1．已知偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x＋lnx(e＝2.718 2…为自然对数的底数)，则函数f(x)的零点不可能在的区间为(　　)
A．(－1，0) B．(0，1)
C．－， D.，1
2．有一组实验数据，如下表：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则最佳的体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A．v＝log2t B．v＝2t－2
C．v＝ D．v＝2t－2
3．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0，2)内零点的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
4．函数f(x)＝3cosx－log2x－的零点个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5

5．如图3－1的函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(　　)

图3－1
6．一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是(　　)
A．12 cm3 B．15 cm3 C．18 cm3 D．16 cm3
7．已知函数f(x)＝则下列关于函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数的判断正确的是(　　)
A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点
B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点
C．无论k为何值，均有2个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
8．已知的展开式中的常数项为T，f(x)是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是________．
9．一个工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________________________________________________________________________，
该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
10．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为________．
11．甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

12．省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝＋2a＋，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈，若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．
(1)令t＝，x∈[0，24]，求t的取值范围；

(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

13．某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y(万元)与技术改造投入x(万元)之间的关系满足：①y与a－x和x的乘积成正比；②x＝时，y＝a2；③0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0，1]．
(1)设y＝f(x)，求f(x)的表达式，并求y＝f(x)的定义域；
(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入．

专题限时集训(三)
【基础演练】
1．C　[解析] x>0时，f(x)为增函数，又f(x)为偶函数，画出f(x)的草图，先考察x>0时，f(x)的零点情况．
f(1)＝1>0，f＝－1<0，
由f(1)f<0知，x>0时f(x)的零点在区间内，1内，又f(x)为偶函数，所以另一零点在区间－1，－内，故应选C.
2．C　[解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v＝满足．故选C.
3．C　[解析] f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在(0，2)上恒为负，即f(x)在(0，2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，∴f(x)在(0，2)上只有一个零点．故选C.
4．B　[解析] 在同一坐标系内画出函数y＝3cosx和y＝log2x＋的图象，可得交点个数为3.
【提升训练】
5．B　[解析] 分析选项中所给图象，只有零点两侧的函数值是同号的，不能用二分法求解．故选B.
6．C　[解析] 设小正方形的边长为x，则盒子底面长为8－2x，宽为5－2x.V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，V′＝12x2－52x＋40，由V′＝0得x＝1或x＝(舍去)，V极大值＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，∴V最大值＝18.
7．B　[解析] 当k>0时，若f(x)＝－1，则x＝－或x＝.若f[f(x)]＝－1时，f(x)＝－或f(x)＝.若f(x)＝－，则x＝－或x＝e－；若f(x)＝，则x＝或x＝e.当k>0时，－＝关于k无解；e－＝e关于k无解．所以此时函数y＝f[f(x)]＋1有四个零点．(注意必须说明四个零点互异)
当k<0时，f(x)＝－1，在x≤0时无解，在x>0时的解为x＝，所以f[f(x)]＝－1时，只有f(x)＝，此时当x≤0时，x＝>0，此时无解，当x>0时，解得x＝e.故在k<0时，函数y＝f[f(x)]＋1只有一个零点．(本题主要是对函数概念的理解、指数与对数运算的转换)
8.　[解析] 按二项式公式展开得T＝2，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，
等价于函数y1＝f(x)与y2＝k(x＋1)的图象有4个交点，再利用数形结合可得k∈.
9．y＝　16
[解析] 只要把成本减去即可，成本为x＋100，故得函数关系式为y＝
当0<x≤20，x∈N*时，x＝16时函数值最大，最大值为156；当x>20时y<140，故年产量为16件时，年利润最大．
10．2　[解析] 依题意，当x>1时，lnx>0，sgn(lnx)＝1，则f(x)＝sgn(lnx)－ln2x＝1－ln2x，令1－ln2x＝0，得x＝e或x＝，结合x>1得x＝e；当x＝1时，lnx＝0，sgn(lnx)＝0，f(x)＝－ln2x，令－ln2x＝0，得x＝1，符合；当0<x<1时，lnx<0，sgn(lnx)＝－1，f(x)＝－1－ln2x，令－1－ln2x＝0得，ln2x＝－1，此时无解，因此f(x)＝n(lnx)－ln2x的零点个数为2，故填2.
11．解：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省．设C点距D点x km，则BD＝40，AC＝50－x，BC＝＝，
又设总的水管费用为y元，依题意有：
y＝3a(50－x)＋5a(0<x<50)，
y′＝－3a＋，令y′＝0，解得x＝30.
在(0，50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－30＝20 km，
∴供水站建在A，D之间距甲厂20 km处时，可使水管费用最省．
12．解：(1)当x＝0时，t＝0；
当0<x≤24时，x＋≥2(当x＝1时取等号)，∴t＝＝∈，即t的取值范围是.
(2)当a∈时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋，
则g(t)＝
∵g(t)在[0，a]上单调递减，在上单调递增，
且g(0)＝3a＋，g＝a＋，g(0)－g＝2.
故M(a)＝＝
∴当且仅当a≤时，M(a)≤2.
故当0≤a≤时不超标，当<a≤时超标．
13．解：(1)设y＝k(a－x)x，由当x＝时，y＝a2，可得k＝4，
∴y＝4(a－x)x.
由0≤≤t得
又x≥0，所以由①得a－x>0，即0≤x<a.
②可化为x≤2(a－x)t，∴x≤，
因为t∈[0，1]，所以<a.
综上可得函数f(x)＝4(a－x)x，定义域为，其中t为常数，且t∈[0，1]．
(2)y＝4(a－x)x＝－4＋a2，
当≥时，即≤t≤1，x＝时，ymax＝a2，
当<，即0≤t<时，y＝4(a－x)x在上为增函数，∴当x＝时，ymax＝.
答：当≤t≤1时，投入x＝，附加值y最大，为a2万元；
当0≤t<时，投入x＝，附加值y最大，为万元．