第二章 初等数学模型.doc

第三章 初等数学模型
所谓初等数学模型主要是指建立模型所用的数学知识和方法主要是初等的，而不是高等的。在解决实际问题的过程中，往往主要是是看解决问题的效果和应用的结果如何，而不在于用了初等的方法还是高等的方法，对于数学建模也是这样。本章介绍了量纲分析法、比例与函数建模法，并给出了相应的一些模型。
第一节 量纲分析法
量纲分析提出于20世纪初，是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
1.1 量纲齐次原则
许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度， 质量和时间的量纲作为基本量纲，记为
；
而速度的量纲可表示为.
在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L、M、T、I、、J、和N，称为基本量纲。任一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，

量纲齐次性原则 用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系。
先看一个具体的例子，再给出。
1.2量纲分析的一般方法
例1 （单摆运动）质量为的小球系在长度为的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期的表达式。
解：在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式
　　　　　　　　　　　　　　 ---------------（1.1）
其中为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（1.1）式的量纲表达式有
整理得：　 --------------（1.2）
由量纲齐次原则应有　
　　　　 　 ---------------（1.3）
解得： 代入（3．1）得 -------（1.4）
（1.4）式与单摆的周期公式是一致的
1.3 Buckingham Pi定理
下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi定理，
定理（Buckingham Pi定理） 设n个物理量之间存在一个函数关系
　　 --------------（1.5）
为基本量纲，。的量纲可表示为　　　　

矩阵称为量纲矩阵，若的秩则（1.5）式与下式等价，

其中F为一个未定的函数关系，为无量纲量，且可表示为
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　-----------(1.6)
而为线性齐次方程组的基本解向量.
利用Pi定理建模，关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量。
第二节 航船的阻力
长吃水深度的船以速度航行，若不考虑风的影响，航船受到的阻力除依赖于船的诸变量以外，还与水的参数——密度P，粘性系数, 以及重力加速度g有关。
我们利用pi定理分析f和上述物理之间的关系
1． 航船问题中涉及的物理量及其量纲为

我们要寻求的关系式为 -----------（2.1）
这些物理量中涉及到的基本量纲为L、M、T
2． 写出量纲距阵

3． 解齐次线性方程组 , 可得 个基本解向量

由（1.6）式，可给出4个无量量纲
-------------（2.2）
由Pi 定理，（2.1）等价于下列方程 ---------------（2.3）
这里是未定的函数
由（2.2），（2.2）可得阻力f的显式表达式，
---------------（2.4）
其中是由（2.3）可得到的未知的函数关系,在力学上, 称为Froude数，记为Fr ;称为Reynold数，记为Re , 因此（2.4）又可写为
--------------（2.5）
4. 下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。
设:分别表示模型和原型中的各物理量，由(2.5)有

当无量纲量 ----------------（2.6）
成立时 , 可得 --------------------（2.7）
则此时由模型船的阻力，及其它的；可确定原型船的阻力。
下面,我们讨论一下(2.6)成立的条件,如果在实验中采用跟实际同样的水质,则 又
故可得 ： ------------------（2.8）
要使得(2.8)成立 , 必有；也即模型船与原型船一样大，这显然排除了物理模拟的可行性。若考虑选用不同的水质，仍设 则(2.6)式化为
---------------------（2.7）
由(2.7)可得 ，
若按1：20的比例，，显然无法找到如此小的粘性系数的液体。
实际上的一种近似处理方法是，在一定条件下Re数的影响很小，这样可近似得到，

类似地分析，只要 即有
----------------（2.8）
由（2.8）式就容易确定原型船的阻力
第三节 抛射问题
下面我们通过一个例子，介绍如何使用无量纲化方法简化模型。
抛射问题：在某星球表面以初速度竖直向上发射火箭，记星球半径为，星球表面重力加速度为，忽略阻力，讨论发射高度随时间T的变化规律。
模型建立：设轴竖直向上， 时 ，火箭和星球质量分别记为和，由牛顿第二定律和万有引力定律可得:
-----------------------（3.1）
以 代入（2.17）可得
故得如下初值问题
----------------------（3.2）
(3.2)式的解可以表为 也即发射高度是以 为参数的的函数,下面我们采用无量纲化方法化简方程（3.2），
显然抛射问题中的基本量纲为 ， 而，，，，
所谓无量纲化是指，对(3.2)式中的和分别构造且有相同的参数组合和，使得新变量

为无量纲量，其中 ， 称为特征尺度或参考尺度；把方程（3.2）化为 对 的微分方程，即可简化模型，如何寻找特征尺度，这里我们以为例，首先写出参数的量纲距阵

t的量纲向量为 记为 :
求解线性方程组 得通解:
任取，即得到一种特征尺度，例如 得 ，得 得 同理可得的几种特征尺度等
以下，我们利用不同的和化简（3.2）
1. 令 ; 则
由 ,
代入(3.2)可得:
----------（3.3）
(3.3)式的解可表为 ,含一个独立参数且为无量纲量.
2. 令 , 类似地可将(3.2)化为 :
---------------（3.4）
3. 令 可将(3.3)化为
---------------（3.4）
按照现有科技能力, ,
在（3.4）中令，则有
------------------------（3.5）
(2.22) 的解为:
，
代回原变量 得: , ------------------（3.6）
(3.6)式恰为假定火箭运动过程中所受星球引力不变的运动方程。
无量纲化是用数学工具研究物理问题时常用的方法，恰当地选择特征尺度不仅可以减少参数的个数，而且可以帮助人们决定舍弃哪些次要因素。虽然量纲分析法可以得到一些重要有用的结论，但它也有很大的局限性，它要用于对实际问题的定性分析。
思考题： 在（3.3）和(3.4)式中,令会得到什么结果?

第四节 比例与函数建模
本节介绍的几个模型,都是利用基本的比例关系与函数建立起的数学模型。
4.1 动物体型问题
问题： 某生猪收购站，需要研究如何根据生猪的体长（不包括头尾）估计其体重？
模型假设：
1． 将四足动物的躯干（不含头尾）视为质量为m的圆柱体，长度为，截面面积，直径为d，图4-1

图4-1

2． 把圆柱体的躯干看作一根支撑在四肢上的弹性梁，动物在体重f作用下的最大下垂为，即梁的最大弯曲，根据弹性力学弯曲度理论有：
--------------------------（4.1）
3． 以生物进化学的角度，可认为动物的相对下垂度已达到一个最合适的数值，也即为常数。
模型建立：
； - -----------------------（4.2）
由（1）式 可令 为比例常数
由（2）式 --------------------（4.3）

令 由假设3，为常数
------------------------（4.4）
因此生猪的体重与体长的四次方成正比，在实际工作中，工作人员可由实际经验及统计数据找出常数K，则可近似地由生猪的体长估计它的体重。
4.2 双重玻璃的功效
问题： 房间居室的窗户有的是双层的，即在窗户上装两层玻璃，且中间留有一定的空隙，试比较双层玻璃窗与单层玻璃窗的热量流失？
模型假设：1。设双层玻璃窗的两玻璃的厚度都为d，两玻璃的间距为L；单层玻璃窗的玻璃厚度为2d，所用玻璃材料相同，如图4-2
2．假设窗户的封闭性能很好，两层玻璃之间的空气不流动，即忽略热量的对流，只考虑热量的传导.
3. 室内温度和室外温度保持不变，热传导过程处于稳定状态，即单位时间通过单位面积的热量为常数
4. 玻璃材料均匀，热传导系数为常数.

图4-2

模型建立：
对于厚度为d的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q满足
k为热传导系数
设玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为
（1） 先考虑单层玻璃的单位时间，单位面积的热量传导
--------------------（4.5）
（2） 考虑双层玻璃情形
此时热量先通过厚度为d的玻璃传导到两层玻璃的夹层空气中，再通过空气传导，再通过厚度为d的玻璃传导；设内层玻璃的外侧温度为，外层玻璃的内侧温度为;则有:
------------（4.6）
由（4.6）式可得
------------------（4.7）
记
则 ------------------（4.8）
- -----------------（4.9）
-------------（4.10）
--------------（4.11）
考虑两者之比
---------------（4.12）
显然 , 也即双层玻璃的热量损失较小.
模型分析与应用：
常用玻璃的热传导系数 ，
而不流通,干燥空气的热传导系数 ，
若取 , 则 ，
故 ------------------（4.13）
若取 ， 则 又此可见双层玻璃的保暖效果是相当可观的。
我国北方寒冷地区的建筑物，通常采用双层玻璃；由（4.13）式 h=4时, , h再大，热量传递的减少就不明显了，再考虑到墙体的厚度；所以建筑规范通常要求 .
4.3 席位分配模型
问题：某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名；若学生会中学生代表有20个席位，则公平又简单的分法应各有10，6，4个席位。若丙系有6名学生分别转入甲、乙两系各3人，此时各系的人数为103，63，34；按比例席位分配应为10.3，6.3和3.4，出现了小数，19个整数席位分配完后，最后一席留给小数部分最大的丙系，分别为10，6，4。为方便提案表决，现增加1席共21席，按比例计算甲、乙、丙三系分别占有10.815，6.615，3.570；按上面的分法应分别为11，7，3；这样虽然增加了一个席位，但丙系的席位反而减少一席，因此这种分法显然是不合理的，请给出一个比较公平的席位分配方案？
问题分析： 席位分配问题，当出现小数时，无论如何分配都是不完全公平的。那么一个比较公平的分法是应该找到一个不公平程度最低的方法，因此首先要给出不公平程度的数量化，然后考虑使之最小的分配方案。
模型建立：
一、讨论不公平程度的数量化
设A，B两方人数分别为；分别占有 和 个席位，则两方每个席位所代表的人数分别为
和 。
我们称 为绝对不公平值。例：，，；
则又， ， 则；
由上例可知，用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准，并不合理，下面我们给出相对不公平值。
若，则称 为对A的相对不公平值， 记为；
若则称为对B的相对不公平值 ，记为；
上例中，相对不公平值分别为：0.2 和 0.02，可见相对不公平值较合理。
二、 下面我们用相对不公平值建立模型，
设，A，B两方人数分别为 ；分别占有 和 个席位现在增加一个席位，应该给A还是B ？不妨设 ，此时对A不公平，下面分二种情形
（1） ，这说明即使A增加1席，仍对A不公平, 故这一席应给A。
（2） ， 说明A方增加1席时，将对B不公平，此时计算对B的相对不公平值

若这一席给B，则对A的相对不公平值为

本着使得相对不公平值尽量小的原则，
若 ----------------------------（4.14）
则增加的1席给A方，
若 ----------------------------（4.15）
则增加的1席给B方
由（4.14）式可得 ：
由（4.15）式可得 ：
记 ： 则增加的1席，应给Q值大的一方
第一种情形，显然也符合该原则，
现在将上述方法推广到方分配席位的情况方人数为已占有席
计算 则将增加的1席分配应给值最大的一方
下面考虑原问题：
前19席的分配没有争议，甲系得10席，乙系得6席，丙系得3席
第20席的分配

故第20席分配给甲系
第21席的分配

故第21席分配给乙系
甲、乙、丙三系各分得11，6，4席，这样丙系保住它险些丧失的1席。
思考题：
1． 若单层玻璃窗的玻璃厚度也是 ，结果将如何？
2． 怎样讨论三层玻璃的功效？
3． 怎样讨论双层玻璃的隔音效果？
4． 比利时分配方案：
将甲、乙、丙三系的人数都用去除，将商从大到小排列，取前21个最大的，这21个中各系占有几个，就分给几个席位，你认为这种方法合理吗？
5． 学校共有1000名学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432人住在C楼。学生们要组成一个10人委员会，使用值方法及 方法给出分配方案。如果委员会为15人，分配方案是什么？