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中考试题分类汇编——二次函数
7、（2007四川眉山）如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)．
　　(1)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；
　　(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；
 　　(3)求边C’O’所在直线的解析式． 

　8、（2007山东日照）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t=，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示．

　　　　（Ⅰ）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；
 　　（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c的函数关系式.
　　解：（Ⅰ）设线段l函数关系式为M=kt+b，由图象得
 　　         解之，得
 　　∴线段l的函数关系式为M＝13000t+2000,  1≤t≤8.
 　　由t=知，当t=1时，S用地面积=M建筑面积，
 　　把t=1代入M＝13000t+2000中，得M=15000 m2.
 即开发该小区的用地面积是15000 m2.
（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为Q＝a( t－4)2+k, 把点（4,0.09）, （1,0.18）代入，
　　　　得  解之，得
　∴抛物线段c的函数关系式为 Q＝( t－4)2+,即Q＝t2-t +,  1≤t≤8.
　　9、（2006四川资阳）如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x
…
-3
-2
1
2
…
y
…
-
-4
-
0
…
(1) 求A、B、C三点的坐标；
 　　(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
　　(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：
 　　(2) 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.
 　　解：⑴ 解法一：设，
 　　任取x,y的三组值代入，求出解析式，·········· 1分
　　令y=0，求出；令x=0，得y=-4，
 　　∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . ······· 3分
　　解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，
　　抛物线P的对称轴方程为x=-1，············· 1分
　　又∵ 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，
 　　点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .······· 3分
　　⑵ 由题意，，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，··· 4分
　　又 ，EF=DG，得BE=4-2m，∴ DE=3m，·········· 5分
　　∴SDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0＜m＜2) . ·········· 6分
　　注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.
　　⑶ ∵SDEFG=12m-6m2 (0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .
当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，··· 7分
　　设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，∴，
　　又可求得抛物线P的解析式为：， ········· 8分
　　令=，可求出x=. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有
　　==，··············· 9分
　　点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是
　　k≠且k＞0. ····················· 10分
　　说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.
　　若选择另一问题：
 　　⑵ ∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，········ 4分
　　又∵， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，
 　　∴SDEFG=DG·FG=6.
10、（2007山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线．
　　（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：             （任写一个即可）．
 　　（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物线的函数表达式．
　　（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标．
 　　（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．

解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如，，或，
　　　　　，．
 　　（2）设抛物线的函数表达式为，         
　　点，在抛物线上，
　　解得
 　　抛物线的函数表达式为．
　　（3），点的坐标为．
过三点分别作轴的垂线，垂足分别为，
　　则，，，，，．
 　　．
　　．

　　延长交轴于点，设直线的函数表达式为，
　　点，在直线上，解得
　　直线的函数表达式为．点的坐标为．
　　设点坐标为，分两种情况：
　　若点位于点的上方，则．连结．
 　　．
 　　，，解得．点的坐标为．
　　若点位于点的下方，则．同理可得，．
　　点的坐标为．
　　（4）作图痕迹如图③所示． 由图③可知，点共有3个可能的位置．

　　11、（2007浙江省）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。
　　（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
　　（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

  解：（1）令y=0，解得或（1分）
　　∴A（－1，0）B（3，0）；（1分）
　　将C点的横坐标x=2代入得y=－3，∴C（2，－3）（1分）
　∴直线AC的函数解析式是y=－x－1
（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）
 　　则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分）
　　E（（1分）
　　∵P点在E点的上方，PE=（2分）
　　∴当时，PE的最大值=（1分）
　　（3）存在4个这样的点F，分别是