变上限定积分市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、变上限定积分,第四章函数积分学,第六节微积分基本公式,二、微积分基本公式,第1页,第1页,一、变上限定积分,假如,x,是区间,a,b,上任意一点，定积分,表示曲线,y,=,f,(,x,)在部分区间,a,x,上曲边梯形,AaxC,面积，,如图中阴影部分所表示面积.,当,x,在区间,a,b,上改变时,阴影部分曲边梯形面积也随之改变，,因此变上限定积分,y,x,y,=,f,(,x,),a,x,b,O,A,C,B,是上限变量,x,函数.,记作,(,x,)，,即,(,x,),第2页,第2页,定理,1,若函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续,，,则变上限定积分,在区间,a,b,上可导,，,并且它导数等于被积函数，,即,第3页,第3页,证,按导数定义，,给自变量,x,以增量,x,，,x,+,x,a,b,，,由,(,x,)定义得相应函数,(,x,)量,(,x,)，,即,(,x,)=,(,x,+,x,),-,(,x,),x+,x,A,C,b,B,y,=,f,(,x,),x,y,x,a,O,(,x,),第4页,第4页,依据积分中值定理知道，,在,x,与,x,+,x,之 间至少存在一点,x,，,(,x,),又由于,f,(,x,),在区间,a,b,上连续，,因此，当,x,0 时有,x,x,，,f,(,x,),f,(,x,),，,从而有,(,x,),故,使,成立.,第5页,第5页,定理 1 告诉我们，,是函数,f,(,x,)在区间,a,b,上一个原函数，,这就必定了连续函数原函数是存在，,因此，定理 1 也称为原函数存在定理.,变上限定积分,第6页,第6页,例,1,求,(,x,).,解,依据定理,1,，得,第7页,第7页,例 2,求,F,(,x,).,解,依据定理,1,，得,第8页,第8页,例 3,求,(,x,).,解,(,x,),第9页,第9页,例 4,解,第10页,第10页,二、微积分基本公式,定理,2,假如函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续,，,F,(,x,),是,f,(,x,),在区间,a,b,上任一原函数,，,那么,第11页,第11页,证,由定理 1 知道,f,(,x,)在,a,b,上一个原函数，,又由题设知道,F,(,x,)也是,f,(,x,)在,a,b,上一个原函数，,由原函数性质得知，同一函数两个不同原函数只相差一个常数，,即,把,x,=,a,代入式中，,则，常数,C,=,F,(,a,)，,于是得,第12页,第12页,令,x,=,b,代入上式中，,移项，得,再把积分变量,t,换成,x,，,为了此后使用该公式以便起见，把 式右端,这样 式就写成下列形式：,得,第13页,第13页,例,5,计算下列定积分.,解,第14页,第14页,例,6,计算下列定积分.,解,第15页,第15页,解,把被积函数化简.,例,8,计算,第16页,第16页,解,例,9,第17页,第17页,