变上限定积分市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

一、变上限定积分一、变上限定积分一、变上限定积分一、变上限定积分第四章函数积分学第四章函数积分学第四章函数积分学第四章函数积分学第六节微积分基本公式第六节微积分基本公式第六节微积分基本公式第六节微积分基本公式二、微积分基本公式二、微积分基本公式二、微积分基本公式二、微积分基本公式第1页一、变上限定积分一、变上限定积分一、变上限定积分一、变上限定积分假如假如 x 是区间是区间 a,b 上任意一点，定积分上任意一点，定积分表表示示曲曲线线 y=f(x)在在部部分分区区间间 a,x 上上曲曲边边梯梯形形AaxC 面积，面积，如如图图中中阴阴影影部部分分所所表表示示面面积积.当当 x 在在区间区间 a,b 上改变时上改变时,阴阴影影部部分分曲曲边边梯梯形形面面积积也随之改变，也随之改变，所所以以变变上限定积分上限定积分yxy=f(x)axbOACB是上限变量是上限变量 x 函数函数.记作记作 (x)，即即(x)第2页定定理理 1 若若函函数数 f(x)在在区区间间 a,b 上上连连续续，则变上限定积分则变上限定积分在区间在区间 a,b 上可导上可导，而且它导数等于被积函数，而且它导数等于被积函数，即即第3页证证按导数定义，按导数定义，给自变量给自变量 x 以增量以增量 x，x+x a,b，由由 (x)定义得对应函数定义得对应函数 (x)量量 (x)，即即 (x)=(x+x)-(x)x+xACbBy=f(x)xyxaO(x)第4页依依据据积积分分中中值值定定理理知知道道，在在 x 与与 x+x 之之 间间最少存在一点最少存在一点 x x，(x)又因为又因为 f(x)在区间在区间 a,b 上连续，上连续，所所以以，当当 x 0 时有时有 x x x，f(x x)f(x)，从而有从而有 (x)故故使使成立成立.第5页定理定理 1 告诉我们，告诉我们，是是函函数数 f(x)在在区区间间 a,b 上一个原函数，上一个原函数，这这就就必必定定了了连续函数原函数是存在，连续函数原函数是存在，所以，所以，定理定理 1 也称为原函数存在定理也称为原函数存在定理.变上限定积分变上限定积分第6页例例 1 求求(x).解解依据定理依据定理 1，得，得 第7页例例 2 求求 F (x).解解依据定理依据定理 1，得，得 第8页例例 3 求求(x).解解(x)第9页例例 4 解解第10页二、微积分基本公式二、微积分基本公式二、微积分基本公式二、微积分基本公式定理定理 2 假如函数假如函数 f(x)在区间在区间 a,b 上连续上连续，F(x)是是 f(x)在区间在区间 a,b 上任一原函数上任一原函数，那么那么第11页证证由定理由定理 1 知道知道f(x)在在 a,b 上上一一个个原原函函数数，又又由由题题设设知知道道 F(x)也是也是 f(x)在在 a,b 上一个原函数，上一个原函数，由由原原函函数数性性质质得得知知，同同一一函函数数两两个个不不一一样样原原函函数数只只相相差一个常数，差一个常数，即即把把 x=a 代入代入式中，式中，则，常数则，常数 C=F(a)，于是得于是得第12页令令 x=b 代入上式中，代入上式中，移项，得移项，得再把积分变量再把积分变量 t 换成换成 x，为了今后使用该公式方便起见，把为了今后使用该公式方便起见，把 式右端式右端这么这么 式就写成以下形式：式就写成以下形式：得得第13页例例 5 计算以下定积分计算以下定积分.解解第14页例例 6 计算以下定积分计算以下定积分.解解第15页解解把被积函数化简把被积函数化简.例例 8 计算计算第16页解解例例 9第17页