1、12.112.1无穷积分无穷积分第十二章第十二章 反常积分与含参量积分反常积分与含参量积分第1页第1页第2页第2页第3页第3页例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解第4页第4页例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解第5页第5页证证第6页第6页证证第7页第7页12.2 12.2 瑕积分瑕积分第8页第8页第9页第9页定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.第10页第10页例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解第11页第11页证证第12页第12页例例7 7 计算广义积分计算广义积分解解故原广义积分发散故原广义积分发散.第13页第13页例例8 8 计算广义积分计算广义
2、积分解解瑕点瑕点第14页第14页无界函数广义积分（无界函数广义积分（瑕积分瑕积分）无穷限广义积分无穷限广义积分（注意注意：不能忽略内部瑕点）：不能忽略内部瑕点）小结小结第15页第15页思考题思考题积分积分 瑕点是哪几点？瑕点是哪几点？第16页第16页思考题解答思考题解答积分积分 也许瑕点是也许瑕点是不是瑕点不是瑕点,瑕点是瑕点是第17页第17页练练 习习 题题第18页第18页第19页第19页第20页第20页练习题答案练习题答案第21页第21页12.3 12.3 无穷限广义积分审敛法无穷限广义积分审敛法 不通过被积函数原函数鉴定广义积分收敛不通过被积函数原函数鉴定广义积分收敛性鉴定办法性鉴定办法
3、.由定理由定理1，对于非负函数无穷限广义积分有，对于非负函数无穷限广义积分有下列比较收敛原理下列比较收敛原理第22页第22页证证第23页第23页由定理知由定理知比如，比如，第24页第24页第25页第25页例例解解依据比较审敛法，依据比较审敛法，第26页第26页例例解解所给广义积分收敛所给广义积分收敛第27页第27页例例解解依据极限审敛法，所给广义积分发散依据极限审敛法，所给广义积分发散例例解解依据极限审敛法，所给广义积分发散依据极限审敛法，所给广义积分发散第28页第28页证证即即收敛收敛.第29页第29页例例5解解因此所给广义积分收敛因此所给广义积分收敛.第30页第30页12.4 12.4 瑕
4、积分审敛法瑕积分审敛法第31页第31页第32页第32页例例6解解由洛必达法则知由洛必达法则知依据极限审敛法依据极限审敛法2,所给广义积分发散所给广义积分发散.第33页第33页例例7解解依据比较审敛原理依据比较审敛原理,第34页第34页特点特点:1.积分区间为无穷积分区间为无穷;第35页第35页12.5 12.5 欧拉积分欧拉积分 在本节中我们将讨论由含参量反常积在本节中我们将讨论由含参量反常积分分 定定义义两个很主要非初等函数两个很主要非初等函数 一、一、函数函数函数函数二、二、函数和函数和 函数函数.三、三、函数与函数与函数函数之间关系之间关系 第36页第36页一一 函函 数数 含参量积分：
5、含参量积分：称为格马函数称为格马函数.函数能函数能够够写成下列两个写成下列两个积积分之和：分之和：其中其中时时是正常是正常积积分分,当当时时是收是收敛敛 无界函数反常无界函数反常积积分分(可用柯西判可用柯西判别别法推得法推得);第37页第37页时时是收是收敛敛无无穷穷限反常限反常积积分分(也可用柯西也可用柯西 判判别别法推得法推得).因此含参量因此含参量积积分分(1 1)在在时时收收敛敛,即即函数定函数定义义域域为为 .1.在定在定义义域域 内内连续连续且有任意且有任意阶导阶导数数 在任何在任何闭闭区区间间 上上,对对于函数于函数 当当 时时有有 由于由于 收收 敛敛,从而从而 在在 上也一致
6、收上也一致收敛敛,对对于于 当当 第38页第38页 上上连续连续.用上述相同用上述相同办办法考察法考察积积分分它在任何区它在任何区间间 上一致收上一致收敛敛.于是由定理于是由定理 19.10得到得到 在在 上可上可导导,由由a,b任意性任意性,时时,有有由于由于 在在收收敛敛,从而从而 在在上也一致收上也一致收敛敛,于是于是 第39页第39页同理可同理可证证 2.递递推公式推公式 对对下述下述积积分分应应用分部用分部积积分法分法,有有 在在 上可上可导导,且且第40页第40页让让就得到就得到 递递推公式推公式:设设应应用用递递推公式推公式(3)n次次 能能够够得到得到 公式公式(3)还还指出指
7、出,假如已知假如已知 在在上上值值,那那第41页第41页么么在其它范在其它范围围内函数内函数值值可由它可由它计计算出来算出来.若若s为为正整数正整数n+1,则则(4)式可写成式可写成 3.函数函数图图象象讨论讨论 对对一切一切 ,恒不小于恒不小于0 0,因此因此 图图形形 位于位于 轴轴上方上方,且是向下凸且是向下凸.由于由于 因此 在在 上存在唯一极小点上存在唯一极小点 第42页第42页故有故有由由(5)式及式及 在在上上严严格增可推得格增可推得在在内内严严格减格减;在在 内内严严格增格增.又又由于由于 第43页第43页总总而言之而言之,函数函数图图象如象如图图19-2中中 部分所表示部分所
8、表示.4.延拓延拓 改写改写递递推公式推公式(3)为为 当当时时,(6)式右端故意式右端故意义义,于是可于是可应应用用(6)式式 来定来定义义左端函数左端函数 在在内内值值,并且可推知并且可推知 这时这时 第44页第44页用同用同样办样办法法,利用利用式又可定式又可定义义 在在 内内值值,并且并且这时这时 依此依此 下去可把下去可把 延拓到整个数延拓到整个数轴轴(除了除了 以外以外),),其其图图象如象如图图19-2所表示所表示.已在已在 内有内有定定义这义这一事一事实实,由由(6)第45页第45页5.其它形式其它形式在在应应用上用上,也常以下列形式出也常以下列形式出现现,如令如令 则则有有
9、令令 就有就有 第46页第46页二、二、B 函函 数数 含参量含参量积积分分：称称为贝为贝塔塔(Beta)函数函数(或写作或写作 B 函数函数).注 与前讨论单参变量含参数积分不同,B 函数 是含两元含参量是含两元含参量积积分，但分，但讨论环节讨论环节与与办办法是完法是完 全全类类似似.B 函数函数(2)当当 时时,是以是以 为为瑕点无界函数瑕点无界函数 第47页第47页反常反常积积分分;当当 时时,是以是以 为为瑕点无界函数瑕点无界函数 反常反常积积分分.应应用柯西判用柯西判别别法可法可证证得当得当 时时 这这两个无界函数反常两个无界函数反常积积分都收分都收敛敛.因此函数因此函数 定定义义域
10、域为为 1.在定在定义义域域 内内连续连续 由于由于对对任何任何 成立不等式成立不等式 而而积积分分收收敛敛,故由故由 M 判判别别法知法知 第48页第48页在在上一致收上一致收敛敛.因因而推得而推得 在在内内连续连续.2.对对称称 性性 作作变变 换换 得得3.递递推公式推公式 第49页第49页证证 下面只下面只证证公式公式(8),公式公式(9)可由可由对对称性及公式称性及公式(8)推得推得,而最后一个公式而最后一个公式则则可由公式可由公式(8),(9)推得推得.第50页第50页当当 时时,有有第51页第51页移移项项并整理就得并整理就得(8).4.其它形其它形 式式 在应用中在应用中 B
11、函数也函数也经经常以下列形式出常以下列形式出现现:如令如令 则则有有如令如令 则则有有第52页第52页考考 察察 令令 则则有有因此因此 第53页第53页三三、函数与函数与函数之间关系函数之间关系 当当为为正数正数时时,重复重复应应用用 B 函数递推公式函数递推公式,可得可得 又由于又由于 因此因此 第54页第54页即即 对对任何正任何正实实数数 p,q 也有相同关系也有相同关系:这这个关系式将在第二十一章个关系式将在第二十一章8 中加以中加以证实证实.第55页第55页例例1 求求证证证证 令令则则第56页第56页再令再令 则则第57页第57页复习思考题1.若若是定是定义义 在在 函数函数,试
12、试定定义义含参量含参量积积 分分 一致收一致收敛敛性性.2.若若是定是定义义 在在 函数函数,试试推广含参量推广含参量积积分分 一致收一致收敛敛性性 M 判判别别法法.第58页第58页函数函数,若含参量若含参量积积分分为为一致收一致收敛敛,试证试证在在 上上连续连续.3.若若是定是定义义在在连续连续 第59页第59页小结小结绝对收敛绝对收敛第60页第60页12.6 12.6 含参量正常积分含参量正常积分 对对多多元元函函数数其其中中一一个个自自变变量量进进行行积积分分形形成成函函数数称称为为含含参参量量积积分分,它它可可用用来来结结构构新新非非初初等等函函数数.含含参参量量积积分分包包括括正正
13、常常积积分分和和非非正正常常积分两种形式积分两种形式.一、含参量正常积分定义一、含参量正常积分定义 五、例题五、例题 四、含参量正常积分可积性四、含参量正常积分可积性 三、含参量正常积分可微性三、含参量正常积分可微性 二、含参量正常积分连续性二、含参量正常积分连续性 第61页第61页一、含参量正常积分定义一、含参量正常积分定义设设是定是定义义在矩形区域在矩形区域上上 定定义义在在上以上以 y 为为自自变变量一元函数量一元函数.倘若倘若这时这时 在在上可上可积积,则则其其积积分分值值 是定是定义义在在 上函数上函数.普通地普通地,设设 为为定定义义在区域在区域二元函数二元函数.当当 x取取上定上
14、定值时值时,函数函数 是是第62页第62页上二元函数上二元函数,其中其中c(x),d(x)为为定定义义在在上上连连续续函数函数(图图19-1),19-1),若若对对于于上每一固定上每一固定 x 值值,作作为为 y 函函 第63页第63页数在数在闭闭区区间间 上可上可积积,则则其其积积分分值值 是定是定义义在在 上函数上函数.用用积积分形式分形式(1)和和(2)所定所定义这义这函数函数 与与通称通称为为定定义义在在 上含参量上含参量 x(正常正常)积积分分,或或简简称称为为含参量含参量积积分分.第64页第64页二、含参量正常积分连续性二、含参量正常积分连续性定理定理12.1()若二元函数若二元函
15、数在矩在矩 形区域形区域 上上连续连续,则则函数函数在在 a,b上上连续连续.证证 设设 对对充足小充足小(若若 x 为为区区间间端点端点,则仅则仅考考虑虑 ),于是于是 第65页第65页由于由于 在有界在有界闭闭区域区域 R上上连续连续,从而一致从而一致连续连续,即即对对任意任意总总存在存在对对R内任意两点内任意两点 只要只要就有就有 因此由因此由(3),(4)可得可得,第66页第66页即即 I(x)在在 上上连续连续.同理可同理可证证:若若在矩形区域在矩形区域 R上上连续连续,则则含参含参 量量 积积分分 在在c,d 上上连续连续.注注1 对对于定理于定理19.1结论结论也能也能够够写成下
16、列形式写成下列形式:第67页第67页若若在矩形区域在矩形区域 R 上上连续连续,则对则对任何任何 都有都有 这这个个结论结论表明表明,定定义义在矩形区域上在矩形区域上连续连续函数函数,其极其极限运算与限运算与积积分运算分运算顺顺序是能序是能够够互互换换.为为任意区任意区间间.注注2 由于由于连续连续性是局部性性是局部性质质,定理定理19.1中条件中条件第68页第68页定理定理12.2()若二元函数若二元函数在区在区 域域上上连续连续,其其 中中c(x),d(x)为为 上上连续连续函数函数,则则函数函数 在在上上连续连续.证证 对积对积分分(6)用用换换元元积积分法分法,令令 当当 y 在在c(
17、x)与与d(x)之之间间取取值时值时,t 在在 0,1 上取上取值值,且且 第69页第69页因此从因此从(6)式可得式可得 由于被由于被积积函数函数 在矩形区域在矩形区域 上上连续连续,由定理由定理19.1得得积积分分 (6)所所拟拟定函数定函数 F(x)在在a,b连续连续.第70页第70页三、含参量正常积分可微性三、含参量正常积分可微性定理定理12.3()若函数若函数 与其偏与其偏导导 数数都在矩形区域都在矩形区域 上上连续连续,则则函数函数 在在上可微上可微,且且第71页第71页证证 对对于于 内任意一点内任意一点x,设设(若若 x为为 区区间间端点端点,则讨论单侧则讨论单侧函数函数),则
18、则 由微分学拉格朗日中由微分学拉格朗日中值值定理及定理及 在有界在有界闭闭 域域 R上上连续连续(从而一致从而一致连续连续),),对对 只要只要 就有就有第72页第72页这这就就证实证实了了对对一切一切 有有第73页第73页上上连续连续,c(x),d(x)为为定定义义在在上上 定理定理12.4(可微性可微性)设设在在 其其值值含于含于 p,q内可微函数内可微函数,则则函数函数在在上可微上可微,且且第74页第74页证证 把把 F(x)看作复合函数看作复合函数:由复合函数求由复合函数求导导法法则则及及变动变动上限上限积积分性分性质质,有有 第75页第75页注注 由于可微性也是局部性由于可微性也是局
19、部性质质,定理定理12.3 中条件中条件 f 与与 其中其中 为为任意区任意区间间.第76页第76页四、含参量正常积分可积性四、含参量正常积分可积性由定理由定理12.1与定理与定理12.2推得推得:定理定理12.5()若若在矩形区域在矩形区域 上上连续连续,则则 I(x)与与 J(x)分分别别在在和和上可上可积积.这这就是就是说说:在在连续连续性假性假设设下下,同同时时存在两个存在两个求积次序不同积分:与与 第77页第77页为书为书写写简简便起便起见见,此后将上述两个此后将上述两个积积分写作分写作 与与 前者表示前者表示先先对对 y 求求积积然后然后对对 x 求求积积,后者后者则则表示求表示求
20、积顺积顺序相反序相反.它它们统们统称称为为累次累次积积分分.在在连续连续性假性假设设下下,累次累次积积分与求分与求积顺积顺序无关序无关.定理定理12.6 若若在矩形区域在矩形区域上上 连续连续,则则 第78页第78页证证 记记 其中其中对对于于 则则有有由于由于 与与都在都在R上上连续连续,由由 第79页第79页定理定理12.3,故得故得 因此因此对对一切一切 有有 当当 时时,即得即得取取 就得到所要就得到所要证实证实(8)式式.第80页第80页解解 记记由于由于 五、例五、例 题题 例例1 求求 都是都是 a 和和 x 连续连续函数函数,由定理由定理19.2 已已知知I(a)在在 处连续处
21、连续,因此因此 第81页第81页例例2 讨论讨论函数函数连续连续性性.解解 易易见见定定义义域域为为 令令上上连续连续,因此因此上上连续连续,从从 而在而在上上连续连续.由由任意性可得任意性可得在在上上连续连续.第82页第82页例例3 计计算算积积分分解解 令令上上满满足定理足定理19.3条件条件,于是于是 由于由于显显然然 且函数且函数 在在第83页第83页因此因此第84页第84页因而因而 第85页第85页另一方面 因此因此 分分小小时时,函数函数 (9)各各阶导阶导数存在，且数存在，且 例例4 设设 在在 某个某个邻邻域内域内连续连续,验证验证当当|x|充充第86页第86页解解 由于由于(
22、9)中被中被积积函数函数 以以及及其其偏偏导导数数 在原点某个方在原点某个方邻邻域内域内连续连续,于于 是由定理是由定理 19.4 可得可得 第87页第87页同理同理如此如此继续继续下去，求得下去，求得 k 阶导阶导数数为为尤其当尤其当 时时有有第88页第88页于是于是 附附带阐带阐明明:当当 x=0 时时,及及其其各各导导数数为为 例例5 求求解解 由于由于又由于函数又由于函数上上满满足定理足定理19.6 第89页第89页条件条件,因此互因此互换积换积分分顺顺序得到序得到例例6 设设 求求 解解 显显然然,本本题题不宜先求出不宜先求出 ,再算再算积积分分值值.可可试试 用互用互换积换积分分顺顺序序办办法求出法求出积积分分值值.设设 则则 在在第90页第90页上上连续连续,由定理由定理12.6,第91页第91页复习思考题1.参考定理参考定理12.1证实证实,定理定理12.1中条件是否可减中条件是否可减 弱弱为为:(1)(1)则则(2)验证验证你你结论结论.2.若若 在在上一致上一致连续连续,第92页第92页能否推得能否推得在在上一致上一致连续连续?第93页第93页
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