1、7导数在经济分析中应用导数在经济分析中应用 第1页第1页一一(补充补充)导数在经济分析中应用导数在经济分析中应用导数在工程、技术、科研、国防、医学、环境保护和经济管导数在工程、技术、科研、国防、医学、环境保护和经济管理等许多领域都有十分广泛应用理等许多领域都有十分广泛应用.下面简介导数下面简介导数(或微分或微分)在经在经济中一些简朴应用济中一些简朴应用.1.边际分析与弹性分析边际分析与弹性分析边际和弹性是经济学中两个主要概念边际和弹性是经济学中两个主要概念.用导数来研究经济变量用导数来研究经济变量边际与弹性办法边际与弹性办法,称之为称之为边际分析与弹性分析边际分析与弹性分析.(本段内容可参见微
2、积分教程西南财大出版社本段内容可参见微积分教程西南财大出版社)第2页第2页定义定义经济学中经济学中,把函数把函数(x)导函数导函数f(x)称为称为(x)边际函数边际函数.在点在点x0值值f(x0)称为称为(x)在在x0处边际值处边际值(或改变率、改变速度等或改变率、改变速度等).在经济学中在经济学中,通常取通常取x=1,就认为就认为x达到很小达到很小(再小无意义再小无意义).).故有故有(1)边际函数边际函数第3页第3页 例例 某机械厂某机械厂,生产某种机器配件最大生产能力为每日生产某种机器配件最大生产能力为每日100件件,假假设日产品总成本设日产品总成本C(元元)与日产量与日产量 x(件件)
3、函数为函数为求求 (1)日产量日产量75件时总成本和平均成本件时总成本和平均成本;(2)当天产量由当天产量由75件提升到件提升到90件时件时,总成本平均改变量总成本平均改变量;(3)当天产量为当天产量为75件时边际成本件时边际成本.实际问题中实际问题中,略去近似二字略去近似二字,就得就得(x)在在x0处边际值处边际值f(x0)经经济意义济意义:即当自变量即当自变量 x 在在 x0基础上再增长一个单位时基础上再增长一个单位时,函数函数(x)增增量量.第4页第4页(3)当天产量为当天产量为75件时边际成本件时边际成本(2)当天产量由当天产量由75件提升到件提升到90件时件时,总成本平均改变量总成本
4、平均改变量解解 (1)日产量日产量75件时总成本为件时总成本为C(75)=7956.25(元元),平均成本平均成本 =106.08(元元/件件);第5页第5页 例例 某糕点加工厂生产某糕点加工厂生产A A类糕点总成本函数和总收入函数分类糕点总成本函数和总收入函数分别是别是 求边际利求边际利润函数和当天产量分别是润函数和当天产量分别是200公斤公斤,250公斤和公斤和300公斤时边际公斤时边际利润利润.并阐明其经济意义并阐明其经济意义.边际成本经济意义边际成本经济意义:C(75)=97.5阐明当产量阐明当产量x=75件时件时,再增长再增长1 1件产品成本为件产品成本为97.5元元.第6页第6页解
5、解 (1)总利润函数为总利润函数为L(x)=R(x)C(x)=边际利润函数为边际利润函数为(2)当天产量分别是当天产量分别是200公斤公斤、250公斤和公斤和300公斤时边际利公斤时边际利润分别是润分别是 其经济意义其经济意义:当天产量为当天产量为200公斤时公斤时,再增长再增长1公斤公斤,则总利润则总利润可增长可增长1元元.当天产量为当天产量为250公斤时公斤时,再增长再增长1公斤公斤,则总利润无增长则总利润无增长.当天产量为当天产量为300公斤时公斤时,再增长再增长1公斤公斤,则则总利润减少总利润减少1元元.第7页第7页(2)弹性弹性弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量改变时弹性是用
6、来描述一个经济变量对另一个经济变量改变时,所所作出反应强弱程度作出反应强弱程度.即弹性是用来描述一个量对另一个量相对即弹性是用来描述一个量对另一个量相对改变率一个量改变率一个量.定义定义 若函数若函数y=(x)在点在点x0(0)某邻域内有定义某邻域内有定义,且且 f(x0)0,则称则称x和和y分别是分别是x和和y在点在点x0处绝对增量处绝对增量,并称并称分别为自变量分别为自变量x与与(x)在点在点x0处处相对增量相对增量.第8页第8页由弹性定义可知若由弹性定义可知若 y=(x)在点在点 x0 处可导处可导.则它在则它在x0处弹性处弹性为为 (3)弹性是一个无量纲数值弹性是一个无量纲数值,这一数
7、值与计量单位无关这一数值与计量单位无关.第9页第9页例例 某日用消费品需求量某日用消费品需求量Q(件件)与单价与单价p(元元)函数关系为函数关系为(a是常数是常数),求求(1)需求弹性函数需求弹性函数(通常记作通常记作 ).(2)当单价分别是当单价分别是4元、元、4.35元、元、5元时需求弹性元时需求弹性.易知易知:任何需求函数对价格之弹性任何需求函数对价格之弹性 ,均满足均满足第10页第10页在商品经济中在商品经济中,商品经营者关怀是提价商品经营者关怀是提价(p0)或降价或降价(p0)对对总收益影响总收益影响.下面利用需求弹性概念下面利用需求弹性概念,能够得出价格变动如何影响销能够得出价格变
8、动如何影响销售收入结论售收入结论.第11页第11页(1)若若 (称为高弹性称为高弹性)时时,则则R与与p异异.此时降价此时降价(p0)将使收益减少将使收益减少;(2)若若 (称为低弹性称为低弹性)时时,则则R与与p 同号同号.此时此时,降价降价(p0)将使收益增长将使收益增长;从而有结论从而有结论:(3)若若 (称为单位弹性称为单位弹性)时时,则则R0.此时此时,无论是降价还是无论是降价还是提价均对收益没有明显影响提价均对收益没有明显影响.第12页第12页由此对前例而言由此对前例而言:当当p=4时时,(低弹性低弹性),此时降价使此时降价使收益减少收益减少;提价使收益增长提价使收益增长;当当p=
9、4.35 时时,(单位弹性单位弹性),此时此时,降价、提价对降价、提价对 收益没有明显影响收益没有明显影响;当当 p=5时时,(高弹性高弹性),此时降价使收益增长此时降价使收益增长;提价使收益减少提价使收益减少.第13页第13页 例例某商品需求量为某商品需求量为2660单位单位,需求价格弹性为需求价格弹性为1.4.若该商若该商品价格计划上涨品价格计划上涨8%(假设其它条件不变假设其它条件不变),),问该商品需求量会减问该商品需求量会减少多少少多少?解解 设该商品需求量为设该商品需求量为Q,在价格上涨时改变量为在价格上涨时改变量为 Q=Q2660 思考思考:用类似办法用类似办法,对供应函数、成本
10、函数等惯用经济函数进对供应函数、成本函数等惯用经济函数进行弹性分析行弹性分析,以预测市场饱和状态及商品价格变动等以预测市场饱和状态及商品价格变动等.且且第14页第14页2 函数最值在经济分析中应用函数最值在经济分析中应用在经济管理中在经济管理中,需要寻求公司最小生产成本或制定取得利需要寻求公司最小生产成本或制定取得利润最大一系列价格策略等润最大一系列价格策略等.这些问题都可归结为求函数最大值这些问题都可归结为求函数最大值和最小值问题和最小值问题.下面举例阐明函数最值在经济上应用下面举例阐明函数最值在经济上应用.(1)平均成本最小平均成本最小例例 某工厂生产产量为某工厂生产产量为 x (件件)时
11、时,生产成本函数生产成本函数(元元)为为求该厂生产多少件产品时求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小平均成本达到最小?并求出其最并求出其最小平均成本和相应边际成本小平均成本和相应边际成本.第15页第15页第16页第16页(2)最大利润最大利润设总成本函数为设总成本函数为C(x),总收益函数为总收益函数为R(x),其中其中x为产量为产量,则在则在假设产量和销量一致情况下假设产量和销量一致情况下,总利润函数为总利润函数为假设产量为假设产量为x0时时,利润达到最大利润达到最大,则由极值必要条件和极值第则由极值必要条件和极值第二充足条件二充足条件,L(x)必定满足必定满足:可见可见,当产量水平当产量
12、水平 x=x0 使得边际收益等于边际成本时使得边际收益等于边际成本时,可取可取得最大利润得最大利润.L(x)=R(x)C(x)第17页第17页 例例 某商家销售某种商品价格满足关系某商家销售某种商品价格满足关系p=70.2x(万元万元/吨吨),且且x为销售量为销售量(单位单位:吨吨),商品成本函数为商品成本函数为 C(x)=3x+1(万元万元)(1)若每销售一吨商品若每销售一吨商品,政府要征税政府要征税t (万元万元),求该商家获最大求该商家获最大利润时销售量利润时销售量;(2)t 为何值时为何值时,政府税收总额最大政府税收总额最大.解解 (1)当该商品销售量为当该商品销售量为x时时,商品销售
13、总收入为商品销售总收入为设政府征总税额为设政府征总税额为T,则有则有T =tx,且利润函数为且利润函数为第18页第18页(2)由由(1)结果知结果知,政府税收总额为政府税收总额为 显然显然,当当 t=2时时,政府税收总额最大政府税收总额最大.但须指出是但须指出是:为了使商家在纳税情况下仍能取得最大利润为了使商家在纳税情况下仍能取得最大利润,就应使就应使 即即t满足限制满足限制0t4,显然显然t=2并未超出并未超出t限制范围限制范围.第19页第19页 例例 某家银行某家银行,准备新设某种定期存款业务准备新设某种定期存款业务.假设存款量与利率假设存款量与利率成正比成正比,经预测贷款投资收益率为经预
14、测贷款投资收益率为16%,那么存款利息定为多少那么存款利息定为多少时时,才干收到最大贷款纯收益才干收到最大贷款纯收益?*(3)最佳存款利息最佳存款利息解解 设存款利率为设存款利率为x,存款总额为存款总额为M,则由则由M与与x成正比成正比,得得M=kx (k是正常数是正常数)若贷款总额为若贷款总额为MM,则银行贷款收益为则银行贷款收益为 0.16 M =0.16 kx,而这而这笔贷款笔贷款M要付给存户利息为要付给存户利息为 xM=kx2,从而银行投资纯收益为从而银行投资纯收益为故当存款利率为故当存款利率为8%时时,可创最高投资纯收益可创最高投资纯收益.第20页第20页 解解 设每年库存费和定货手
15、续费为设每年库存费和定货手续费为C,进货批数为进货批数为x,则批则批 量为量为 个个,且且*(4)最佳批量和批数最佳批量和批数 例例 某厂年需某种零件某厂年需某种零件 8000个个,需分期分批外购需分期分批外购,然后均匀投入使然后均匀投入使用用(此时平均库存量为批量二分之一此时平均库存量为批量二分之一).若每次定货手续费为若每次定货手续费为40元元,每个零件库存费为每个零件库存费为4元元.试求最经济定货批量和进货批数试求最经济定货批量和进货批数.因而当进货批数为因而当进货批数为20批批,定货批量为定货批量为400个时个时,每年库存费和每年库存费和定货手续费至少定货手续费至少最经济最经济.第21
16、页第21页公司在正常生产经营活动中公司在正常生产经营活动中,库存是必要库存是必要,但库存太多使但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费资金积压、商品陈旧变质造成浪费.因此拟定最适当库存量是因此拟定最适当库存量是很主要很主要.*(5)最优决议时间最优决议时间 准备知识准备知识:设设 A0 为初始本金为初始本金(称现值称现值),r为年利率为年利率,按连续按连续 复复利计算利计算,t年末本利和记作年末本利和记作 At(称总收入称总收入).则当年结算则当年结算m次时次时,就有就有从而有连续复利公式从而有连续复利公式第22页第22页欲求欲求At现在值现在值A0问题称为贴现问题称为贴现(率率)问题问题.
17、则一年结算则一年结算m次次,t年年末贴现净额为末贴现净额为与此相反与此相反,经济学中把已知未来值为经济学中把已知未来值为At,贴现率也为贴现率也为r.按连续复利计算按连续复利计算,得得 t 年末贴现净额为年末贴现净额为(也称为贴现公式也称为贴现公式)例例 某酒厂有一批新酿好酒某酒厂有一批新酿好酒,假如现在假如现在(假定假定t=0)就发售就发售,售价为售价为R0(元元).假如窖藏起来待日按陈酒价格发售假如窖藏起来待日按陈酒价格发售(假设不计储藏费假设不计储藏费),),那么未那么未来总收入就是时间来总收入就是时间t函数函数 假设资金贴现率为假设资金贴现率为r,并以连续复利并以连续复利计息计息,为使
18、总收入现值最大为使总收入现值最大,应在何年发售此酒应在何年发售此酒?第23页第23页解解 设这批酒窖藏设这批酒窖藏 t年整年整,售出总收入现值为售出总收入现值为L 故故 时时,函数函数L(t)在该点达到最大值在该点达到最大值,即储藏年限为即储藏年限为 (全年全年)时时,是最佳销售时间是最佳销售时间,此时收入最大现值为此时收入最大现值为如如r =0.10,则则 t =25,即此酒商应将此酒窖藏即此酒商应将此酒窖藏25年年.可见可见,利率利率(贴贴现率现率)越高窖藏期越短越高窖藏期越短.则按照贴现公式得则按照贴现公式得第24页第24页补充练习见课程主页补充练习见课程主页补充练习见课程主页补充练习见课程主页 第25页第25页第26页第26页
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