第6章放射性衰变.doc

第6章 放射性衰变

Ⅰ. 总的衰变常数
让我们来考虑很大数目的N个全同放射性原子。我们定义λ为总的放射性衰变（或transformation）常数，他具有时间倒数的量纲，通常用秒的倒数（s－1）来表示。λ乘上以协调一致的单位表示的时间（例如如秒）而得的乘积是单个原子在那段时间间隔内衰变的几率（这段时间要<<1/λ）。
我们（非常确定地）假定，λ不依赖于原子的年龄（也不依赖于诸如温度、压力、浓度等所有的物理、化学条件）。
成群的原子在比1/λ短得多的时间内单位时间衰变的总数的期望值为λN，它称之为这群原子的活度。活度也以时间的倒数为单位来表示，因为，N是一个无量纲的数。
只要原始的那群原子不被额外的原子核源所补充，在任何时刻t，N的变化率便等于活度：
（6.1）
分离变量并从t=0（这时N=N0）积分到t，我们便有下式：
（6.2）
由此，
（6.3）
这样，我们便可以写出t时刻的活度和t0=0时刻活度的比：
（6.4）
可以发现，这与实验上观测到的放射性衰变规律相一致。

Ⅱ. 部分衰变常数
如果一个核的可能的衰变有一种以上的衰变模式（即有不同的子体产物），则总的衰变常数可以写成部分衰变常数λi的和：
（6.5）
而总活度为：
（6.6）
数目为N的那群核相应于第i种衰变模式的部分活度可以写为：
（6.7）
这里，N可按公式（6.3）用N0表示之。注意，在公式（6.7）中的每一个部分放射性活度λiN均以由总的衰变常数λ所决定的衰变率来衰变，而不是由它自己的λi所决定的衰变率来衰变，这是因为，对于每种类型的衰变，在t时刻现存的核N对所有类型的衰变都是相同的，每种部分活度的降低是他们联合作用的结果* 注意衰变常数与第3章节Ⅰ——Ⅲ的减弱系数在数学上的类似之处。
。还要注意，部分活度λiN总是正比于总的活度λN而与时间无关。因为，每一个λi都是常数。亦即，是值恒定不变的分数，且对于所有的i种衰变模式，由公式（6.6），其总和为1。

Ⅲ. 活度的单位
活度的老单位为居里（Ci），开初居里定义为质量为1g的Ra每秒发生的衰变数，后来，居里的定义与镭的质量脱节开来，而简单地定值为3.7×1010s－1。后来的镭的活度测量结果确定，1g的Ra活度为3.655×1010s－1，或0.988Ci（Martin Tuck,1959）。
最近，国际标准团体决定确定一个新的活度专用单位“贝柯勒耳”（Bq），1Bq等于1s－1。这样，
1 Ci=3.7×1010 Bq
1 m Ci=3.7×107 Bq （6.8）
1 μCi=3.7×104 Bq
贝柯勒耳和赫兹（hertz）有相同的量纲，二者的单位均为s-1。他们之间的唯一区别在于其应用，赫兹旨在表示周期运动的频率，而贝柯勒耳只被用于放射性。在其他需要用s－1作单位的应用领域，则不赋予专门的名字。
很难预言贝柯勒耳会怎样快地取代现仍惯用的居里；无疑地，两个单位将会共同存在一段时间。最为重要的是，由于单位的转换而导致的“眼花嘹乱”千万不要使结果出错。特别是在临床核医学中这一点就更为重要。
除了上面所定义的居里和贝柯勒耳外，还有表达活度的第三种选择，但它仅仅是对于镭源而定义的。这样一个源可以说他的活度与它所含的Ra质量所对应的活度相同，通常用毫克镭表示。由于历史的原因，这种用法是很常见的，尽管他不够正规而且与活度的专用量纲(s－1)不相一致。可是，它并没有引起什么困难，只要我们记住1mg的Ra的准确的活度为0.988mCi就可以了。例如，在计算子体产物氡的生成量时，就应该采用后面那个值。

Ⅳ. 平均寿命和半寿命
初始的N0个放射性核衰变到其初始数目的1/e所需要的时间的期望值称之为平均寿命τ。这样：
（6.9）

平均寿命τ有一些有趣而有用的性质。正如他的名字所寓意的，它表示一个单个核由一任意的初始时间t0到后来的时间t它衰变掉所历经的平均寿命。这里，t-t0可能有由0到∞间的任何值。
也是所有核都衰变掉所需要的时间——如果这群核的初始活度λN0维持恒定而不是指数衰减的话。这可以很容易地由下面的论证看出：假定现有的核的初始数目为N0，他们的初始衰变率为初始活度λN0。用任意的间隔时间乘这个率（现在这个率假定为常数）应该等于这段时间内衰变掉的核的总数。如果这个时间是平均寿命τ，则
(6.10)
表明所有的核应该都衰变了。这也可以由图6.1看出。活度衰变曲线的斜率可由微分得到：
(6.11)
这样，初始斜率便为-λ2N。直线沿该方向到达零活度所花费的时间便可由下式得到：

（6.12）
这样，初始斜率线便在平均寿命τ处与零-活度轴相交,这正如所预料的那样。

图6.1 图解指数衰变及平均寿命τ和半衰期τ1/2这两个概念

与指数衰变相关联的第二个有重要特点的时间是半衰期，它是初始数目的核衰变掉一半所需要的时间的期望值，因为放射性减少了一半，因此便有：

（6.13）

Ⅴ. 放射性的母体一子体的相互关系
让我们考虑开初是纯的一大群母体核(N1)0，在时间t=0时，这群核开始衰变，总的衰变常数为
λ1。在时刻t，剩下的母核数为。
假定λ1由部分衰变常数λ1A,λ1B等组成。我们把兴趣全部集中在由于类型A衰变（以衰变常数λ1A而发生）所产生的子体产物上。在t时刻，这些子核的产生率由式给出。同时，他们接着将衰变，总的衰变常数为λ2A，这里“2”表示行衰变的那一代（即子体或第二代产物），而A则标记产生命题中的子体的母体的衰变类型。由于在此我们并不关心任何其他子体产物的命运，所以我们可以通过将λ2A中的A省略掉来简化术语。在t时刻存在的子核N2的清除（removal）率等于其活度的负值-λ2N2 。这样，在时刻t，子核的净积累率便为：
（6.14）
在时刻t，N2 的这个微分方程的通解为下面的形式：
（6.15）
这里，x1和x2为待定常数。上式对t 微分给出：
（6.16）
现将式（6.15）和（6.16）代入到式（6.14），我们得到：
（6.17）
消掉一些项及合并一些项后，上式变为：

或

为了对所有的t值等式都得到满足，括号里的因式必须等于零，这样便有：
（6.18）
由此

现在假定在t=0时，子核的数目N2为零，我们可以解方程（6.15）而求得x2：

= （6.19）

将等式（6.19）代入到（6.15）式，我们便有：

假定t=0时N2=0，则在任何时刻t，子体产物的活度为：
（6.20）
再记起t时刻母体的放射性为，我们可以用这个式子去除方程式（6.20）来得到作为时间的函数的子体活度与母体活度的比值：
（6.21）
由（6.21）式，显然，如果母体的部分衰变常数λ1A等于其总的衰变常数λ1（即母体仅生成一种子体），则：
（6.22）
这样，式（6.22）和（6.21）间的唯一差别在于，对于所有的t值，式（6.21）给出了子体的活度(相对于母体的活度而言)，它比(6.22)给出的值要小，二者相比的比例因子为λ1A/λ1，这正是产生这种子体的衰变类型的母体的部分衰变常数使然。因此，我们先基于公式（6.22）来确定子体活度与时间t的函数关系，在这之前我们可以不必理睬母体衰变类型的分支的影响，直到最后一步，然后简单地用比值λ1A/λ1乘之，以把子体的活度按这个适当的因子减小就可以了。
在下面所考虑的各种平衡情况中，我们将假定子体产物的初始活度为零（在t=0时，N2=0）。

Ⅵ. 母体—子体活度方面的平衡
从（6.20）式可以看出，由一群开初是纯的母核产生的子体的活度在t=0和时值为零。显然，在中间的某一时刻tm， 将达到最大值，这时，

因此，

于是，
（6.23）
这个最大值发生在母体活度与子体活度相等的时刻，且仅当时（即母体仅有一个子体）才是这样。这可以由下面的考虑看出：

因此，
（6.24）
此式与（6.23）式相同，从而证明了唯一的子体的放射性的最大值发生在母体和子体的活度曲线相交的那一时刻（假定开初N2为零）。然而，如果，则必须用式（6.21）代替（6.22），且母体和子体活度达到相等的时间将从t=tm移到更晚的一个时间，甚或，如果两条曲线全然不再相交时，tm要变得无限地长。
子体活度和母体活度的特殊关系取决于母体的总衰变常数（λ1）及子体衰变常数（λ2）的相对大小。
A. 子体寿命长于母体寿命的情况（λ2<λ1）
可以通过改变符号来变动式（6.21）以得到下面的子体活度和母体活度之比的因式：
(6.25)
或者，对于产生一种子体的情况，
(6.26)
这样，可以看出，对于所有的时间，这个活度之比将随时间连续地增加。回想一下，在t时刻母体的活度为：

对于亚稳态的碲—131衰变到他的唯一的子体碘131（以后衰变成氙—131）这一有代表性的情况，我们可以绘制出活度随时间变化的曲线。

λ1=2.31×10－2 h－1，λ2=3.59×10－3 h－1
∴ λ1>λ2
结果的曲线示意图6.2中。

图6.2 对于Te为母体、I为子体的情况，活度与时间的定性的关系。λ1=2.31×10-2h-1，λ2=3.59×10-3h-1，因此λ2＜λ1。在t=0时，Te的活度等于，而I的活度等于零。

B. 子体寿命比母体寿命短的情况（λ2＞λ1）
仍作t=0时N2=0这样的惯常的假定，当t>>tm时，公式（6.21）中的子体/母体活度之比的值变为一个常数：
（6.27）
或者，在仅产生一种子体（即λ1A=λ1）的情况下，有：
（6.28）
像在式（6.27）或（6.28）中存在这样一个恒定的活度比值的情况称之为瞬时平衡（transient equilibrium），在瞬时平衡情况下，子体活度减少的速率与母体活度减少的速率相同。
当λ1A=λ1时，在瞬时平衡的期间内，子体活度总是比母体的活度要大些，两个活度在t=tm时刻相等[见（6.23）和（6.24）式]，在这个时刻，λ2N2也达到了最大值。因为λ1A＜λ1时，λ2N2仍然在tm时刻为最大，但两条活度曲线相交要在迟些时刻发生——如果真能相交的话。显然，如果

则式（6.27）将给出λ2N2/λ1N1<1的结果，故不可能发生相交的情况。在瞬时平衡期间，子体的活度仍然跟着母体的活度减小，但活度总是保持两者中之低者。
对于在公式（6.27）中的这样的特殊情况，即
（6.29）
的情况，在瞬时平衡下，第A个子体的活度等于母体的活度，在瞬时平衡期间，子体和母体活度的相等称之为长期平衡（secular equilibrium），这将在下一节讨论。
理解某一给定时刻子体与其母体会怎样紧密地逼近瞬时平衡关系是很简便的。子体的活度达到最大值的时间tm由式（6.23）给出，它可以被代入（6.21）式来得到tm时刻子体—母体活度的比：
（6.30）
当=λ1时，上式当然等于1。
当达到瞬时平衡时，由式（6.27），我们可求出子体—母体活度的比：
（6.31）
这样，在tm时刻的和其瞬时平衡值的比为：
（6.32）
通过类似的代数运算，可以证明，在任何时刻ntm（即在任何以tm为单位表示的时刻），与其瞬时平衡值之比将由下式给出：
（6.33）
当n较大时，上式接近于1。
Mo（τ1/2=66.7h）提供一个瞬时平衡的有趣的例子，这个例子还呈现有多于一个子体的衰变分支。母体的总衰变常数λ=0.693/(66.7h)=0.0104h－1。在占86%的β－1衰变中，Mo衰变到Tc， Tc是一个亚稳态子体，在衰变到其基态同质异能素Tc的过程中发射γ－射线，半衰期为6.03小时。另外的14%的Mo核通过发射β－粒子而衰变到Tc的另一个激发态，然后它通过发射γ－射线而立即衰变到基态。这样，我们便可以将Tc看作为Mo的第二个子体，母体蜕变数的14%衰变成Tc。
我们对第一个子体Tc在临床诊断上的应用特别感兴趣，因为它的半衰期适中（6.03h），而它的140keV的γ射线能量使得它能通过注入到人体来做核医学程序中的组织扫描。这个子体可以从Mo的发生器中像“挤奶”那样周期性地获取，而钼发生器这头“乳牛”可封在有铅屏数的容器中（装有Mo的容器就保存在医院中）。钼的提取过程是把Tc和Tc一起汲取的，但是，后者有长的半衰期（2×105年），且不发射γ-射线。在钼发生器中，Tc的短寿命激发态的衰变过程会发出γ射线，这种γ射线在其铅容器中被吸收掉。因此，由发生器汲取出来后，唯独Tc仍然发射γ射线，他是对我们有重要意义的唯一子体。
由Mo衰变到Tc的部分衰变常数为Mo的总衰变常数的0.86倍，或者为0.00894h－1。Tc自身衰变为Tc，呈现的半衰期为6.03h，故λ2=0.115h－1。Tc的活度达到最大值的时间tm由（6.23）给出：
h 。
在这种情况下，瞬时平衡下的子体活度和母体活度的比值可由（6.27）式给出：

如果我们假定Tc是Mo的唯一子体，则式（6.28）就描述了瞬时平衡下的，其值应为：

图6.3示出了真实的和假定的两条Tc活度曲线，图中，假定的活度曲线被表示为点划线。
Tc接近瞬时平衡的程度随时间而变，它可以由公式（6.33）计算而得，下面给出了几个计算结果，第一行的时间t以tm=23 h为单位：

t
公式(6.33)

tm
0.910
0.860
2tm
0.992
0.9837
3tm
0.999
0.944
4tm
0.9999
0.945

可以看出，在这个例子中，当时间等于3tm时，就已经非常接近瞬时平衡了（在0.1%之内）。总的来说，由公式（6.33）可以看出，当nln时，子体活度和母体活度的比值将达到其瞬时平衡值的90%，当nln时，将达到瞬时平衡值的99%，当nln时，将达到瞬时平衡值的99.9%。这样，就接近一给定的瞬态平衡程度而论，相对而言较大的经过相对而言较短的时间（即小的n）便能达到。对于的情况，当t=tm时，公式（6.33）给出的值为0.9，当t=2tm时，为0.99，当t=3tm时，为0.999。

图6.3. 瞬时平衡的例子：Mo为母体、Tc为子体情况下的活度—时间曲线。l1=0.0104 h－1；l2 =0.115 h－1；因此，。在t=0时，Mo的活度等于，而，图中示出了真实的和假定的（假定）两条子体活度的曲线。后者为点划线。

C. 唯一的子体寿命远小于母体寿命的情况

在这种情况下，过了较长的时间后，（6.28）式可简化为：
（6.34）
即，子体的活度非常接近于他的母体的活度，且他们以母体的衰变速率一同衰变。这样一个独特的瞬时平衡情况（在这种情况下，子体活度和母体活度实际上是相等的）通常称之为长久平衡（secular equilibrium）,因为，它严密地接近那种条件[见公式(6.29)]。适用于这个术语的实际情况通常包括一个寿命很长的母体，因此，就“寿命长久”这层意义而言，采用了“长久”这个词。长久平衡的一个例子是下面这样一个衰变系列：在这个衰变系列中，母体为Ra，它衰变成作为子体的Rn，之后Rn又衰变成Po：

λ1=1.1845×10-6d-1 λ2=0.18125×d-1

在本情况下，式（6.33）给出：

这里，两个活度一定要用同样的单位（例如Bq）表示。
由于Rn是Ra的唯一子体，它的活度在tm=66天时精确地等于其母体的活度[由（6.24）式而得，假定]，此后，两个活度接近于相等（二者相差在百万分之7以内），如在上面的等式所展现的。对于本情况，与瞬时平衡的接近程度可由（6.33）式给出：在天时，接近度在1%之内；在t=39天时，接近度在0.1%之内。
这样，密封在容器中的1Ci的Ra在39天后的任何时间ta将伴随着1Ci（在0.1%之内）的Rn，Rn是一种惰性气体。接着，第三代子体产物Po将衰变为Pb，以此类推，经过6个附加的一连串的衰变步骤最后停在稳定的Pb上，如图6.4所展示的。图6.4给出了以U为起点的整个铀系。可以看出（例如，见Evans,1955），在这样的情况下，所有各代的原子最后都差不多与一个寿命相当长的祖先（例如Ra）处于长期平衡状态，因此，所有各代实际上都有相同的活度。这里，RaC′和RaC″的活度必须结合在一起，因为他们是两个分支姊妹）。

图6.4 铀—238衰变系列

在存在衰变分支（即产生一种以上的子体）而的场合，长时间后，第A种子体的活度与其母体的活度之比可由式（6.27）获得：
（6.35）

Ⅶ. 子体产物的分离
在某些情况下，特别是当短寿命的放射性同位素应用于诊断和治疗时，正如在Ⅵ.B节所指出的那样，把子体产物从他的寿命相当长的母体中分离出来是很有用的。长寿命母体会持续产生更多的子体原子供以后分离和使用。每次汲取（Per milking）的最大量当然在前一次汲取以后的tm时刻达到——假定每次汲取都全部移除了子体产物。等待时间长于tm反而适得其反、事与愿违，因为，以后现存的子体开始与母体一起衰减。无论如何，频繁地（或连续地）汲取总是会给出较大的子体产物总量的。
假定在t=0时初始的母体活度为。初始的第A种子体活度为0，任何以后的时刻t，子体的活度可由（6.20）式得到。
这个公式能告诉我们，由于母体源衰变的结果，在时刻t存在的第A种子体的活度为多大（不管子体是否从其源中分离出去或经多长时间分离一次），知道这一点是很方便的。这样，在t时刻，现有的从源中分离出来的子体放射性的量为式（6.20）给出的量减掉前面已分离出的只不过在同一时刻t存在于别的地方的子体放射性的量。
另一方面，如果我们令代表t=0时母体放射源的初始活度，且如果在以后的t1时刻第A种子体完全被分离出去（不一定是非得是首次汲取），则其后的时刻t2可以分离出的额外的第A种子体放射性活度可由下式给出：
（6.36）
如果仅产生单一一种子体，而且如果我们假定，则：

（6.37）
经从其母体移出后，子体产物的活度便不可能与产生的新放射源的辐射输出按一种是时间的函数直接相关联。一个重要的例子是氡气，它本身仅放出α-粒子而不发射γ-辐射。一旦氡从Ra其母体分离出去并封装成一个金“籽源”(gold “seed”, seed在此译为籽源，籽源是治疗肿瘤用的小型密封放射源——译者注)，从γ-射线辐射体这层意义上，氡实际上可以说是“无放射性的”（“dead”）；因此，这个籽源由于只须对γ-射线作少许屏蔽，所以就可以作很快速的操作。然而，它的γ-射线产物很快就会随着他的第三代子体RaB和第四代子体RaC的生成而累积起来（见图6.4），这两个子体都是丰富的γ-射线发射体（Johns和Cunningham，1974，表ⅪⅤ-1）。RaB和RaC达到其最大活度需用4个小时的时间，此后γ-射线的输出率也达到最大值。各代子体的活度随时间而变化。Evans(1995)提供了一个计算一连串的放射性子孙后代活度的极好的处理方法。

ⅤⅢ. 核相互作用所致的放射性活化
稳定的核用适当的粒子或能量足够高的光子轰击可能转变成放射性核素。热中子对此目的则尤其有效，因为，热中子是电中性的，所以它不会被库仑力排斥而离开核，且很容易被许多类型的核所俘获。同位素表（例如文献Lederer和Shirley,1979）列出了能产生特定放射性核的一些典型的核反应。
令Nt为待活化的样品中存在的靶原子数：
， （6.38）
这里，NA=阿佛伽德罗常数（原子数/摩尔）
A=克原子量（g/摩尔）
m=在靶中仅是那些靶原子的质量（它等于总的样品质量乘以样品中存有的靶原子的重量百分份额的积。）
如果为样品所在处的粒子通量密度（s－1cm－2），假定样品的自屏蔽可忽略不计，而为所讨论的活化过程的相互作用截面（cm2/原子）。则被活化的原子的初始产生率为：
（6.39）
在此照例假定，我们论及的是期望值。相应的，像这样形成的放射源的活度的初始产生率由下式给出：
（Bq s-1） （6.40）
这里，是新核素的总放射性衰变常数。如果我们假定为常数且Nt并没有因活化过程的结果而有明显的耗损，则由公式（6.39）和（6.40）给出的生成率也为常数。
由于放射性的原子的数目在增加，因此他们将以率Nact（s-1）来衰变。这样，他们将逐渐累积，他们累积的净速率可以被表示如下：
（6.41）
经辐照时间t>>τ的辐照之后，衰变率将等于产生率，故净生成率的增加渐趋为零；这样，平衡活度水平可直接由下式给出：
（Bq） （6.42）
这里，下标e代表平衡状态。
假定初活度为零（在t=0时，），则在辐照开始后的任何时刻t,可以证明以Bq为单位的活度能用下式与平衡活度关联起来：
（6.43）
这个公式可由（6.41）式推出，推导方法与由式（6.14）推导式（6.20）所用的方法相同。或者，假定，在辐照持续时间t内没有发生衰变（如果t<<τ，这将是近似正确的），则在时刻t，活度可近似由下式给出：
（6.44）
这里，为由（6.40）式得到的活度的初始产生率（Bq/s）。
图6.5展现了活度按公式（6.43）随时间增长的曲线。图中还展现了由式（6.44）给出的线性近似的情况。按这个图，显然，这个近似仅当时间与平均寿命τ相比非常短时才是足够正确的。在t=τ=1/λ时，公式（6.44）预言：活度（忽略衰变）会达到平衡活度水平[公式（6.42）]。

图6.5 由于恒定的核相互作用率而致的衰变常数为λ的放射性核的增长。

有时必须基于活度的初始增长率来计算平衡活度，做这种计算无须知道通量密度或相互作用截面。预测在中子屏蔽中特定的放射性核最终会达到的最大活度水平便是一个例子，这时只需知道由初始的短时间辐照生成的活度就行了。
将式（6.40）和（6.42）合并，我们便可得到平衡活度水平：
（6.45）
因此，平衡活度水平等于活度的初始产生率乘以平均寿命τ。这种方法当然需要知道感兴趣的放射性产物的平均寿命（或衰变常数）。

Ⅸ. 照射量率常数
一个发射光子的放射性核素的照射量率常数(exposure-rate constant)是除以A而得的商，这里，是能量大于的光子在距这种核素的点源（活度为A）的距离为的地方所致的照射量率（ICRU，1971）：
（6.46）
照射量率常数通常以R m2 Ci-1h-1或R cm2 mCi－1 h－1为单位来表示。
ICRU定义了这个量旨在取代早期的比g -射线常数（Specific gamma ray constant）G。比g -射线常数仅计及由射线所致的照射量，而Gd还包括特征X－射线和内部轫致辐射贡献的照射量率（如果有的话）* 内部轫致辐射是由核电荷的突然变化而引起，核电荷的变化是由于β-射线（+或-）或电子的俘获所造成的[见文献Evans (1995)及第10章中有关轫致辐射X-射线的产生的论述]。内部轫致辐射对照射量率的贡献是相当微弱的，故在强射线辐射体中常常是忽略不计的。
，并且还规定了一个任意的能量下限d（keV），能量低于这个下限的所有光子均忽略不计。虽然这样写，但现有的有关g -射线辐射体的数据表中列出的值仍然是而不是，在没有相应的照射量率常数可资使用的场合，实际上仍继续使用比射线常数。
表6.1给出了Dillonan的计算结果，NCRP（1974）公布发表了这些计算结果，表中列出了几种放射体的和，对于，假定=11.3keV。可以看出，除了Ra (比高12%) 和I (在I的情况下，由于跟随电子俘获而发出的K—荧光X-射线构成所放出的光子的绝大部分，所以值约为的3%)之外，只不过比大2%或比2%还要小。在像I这样的极端情况下，如果按字面上的定义（即仅对射线来定义），应该没有什么用途，然而，尽管的定义并不需要X-射线，但有时X-射线仍然包括在中（例如文献“Johns和Cunningham,1974”中的表A8）。况且，由照射量率的实验测值推导出的-值本来就包括从源穿透出的任何X-射线的效能。因此，在文献中现有的表中的值在数值上可能更接近于而不会出现按二者的定义所预期的那样大的差别，目前，的各表之间值的相互偏离所致的实际困难比缺乏数据所致的实际困难还要更大些。
关于，现有的囊括范围最宽广的数据表是文献Nachtigall(1969)中给出的那些表，Nachtigall用自洽方法(self-consistent)计算了600多个核素的值。Unger和Trubey(1982)用CPE下的组织剂量代替照射量制出了500个核素的值表。
在下面的各段中，我们将展示可以怎样去计算某一给定点源的比-射线常数。照射量率常数可用同样的方法计算而得，但在计算时，要把每次衰变所发射出的附加的X射线光子考虑在内（如果有的话）。
在距活度为ACi的-射线点源l米的地方，具有单一能量Ei的光子的通量密度由下式给出：
（光子/s m2） (6.47)
这里，为每次衰变所发射出的能量为Ei的光子数。可以通过公式（1.13a）按下面的等式将光子通量密度转换为能量通量密度：
（MeV/s m2） (6.48)
在式中，Ei是用MeV/光子来表示的。用单位J/s m2(1MeV=1.602×10-13J)来表示将更为方便，当用J/s m2表示而Ei仍然以MeV为单位表示时，上面的等式就变为：
=4.717×10－4 （J/s m2） （6.49）
表6.1 精选出的几个g -射线源的数据a。
放射性
核素
半长期
光子能量
（MeV）
比-射线常数b
（Rcm2mCi－1h－1）
照射量率常数b
（Rcm2mCi－1h－1）
137Cs
30.0 y
0.6616
3.200
3.249
51Cr
27.72 d
0.3200
0.1827
0.1827
60Co
5.26 y
1.173-1.322c
12.97
12.97
198Au
2.698 d
0.4118-1.088c
2.309
2.357
125I
60.25 d
0.03548
0.04194
1.315
192Ir
74.2 d
0.1363-1.062c
3.917
3.970
226Rad
1602 y
0.0465-2.440c
8.996e
10.07
182Ta
115.0 d
0.0427-1.453c
7.631
7.753
a NCRP(1974)
b比-射线常数和照射量常数是L.T.Dillman根据衰变纲图计算出来的，计算时假定=33.70eV/i.p。本表中的值可向下稍作调整以与=33.97eV/i.p协调一致。低于11.3keV的光子对这些常数的贡献被排除在外。
c在比-射线常数和照射率常数的计算中所得到的最小值和最大值。
d有子体
e对于镭，这个值与当前通常采用的值8.35 R cm2 mCi－1 h－1不同，因为值8.996是针对无过滤的情况计算而得的。8.35是0.5mm铂过滤后的值，且该值包括在铂过滤器中可能产生的那些次级辐射的作用；它相当于8.25 R cm2
mg－1 h－1，因为，1mg=0.988mCi。

再调用公式（1.11）和（2.28），我们便可以将这个能通量密度和照射量率关联起来。对于能量为Ei的光子，照射量率由下式给出：
（6.50）
而在场的具有不同能量Ei的所有光子的总的照射量率为：
（6.51）
将公式（6.49）代入到公式（6.51）中，我们得到：
（C/kg s） （6.52）
我们记得，1R=2.58×10－4C/kg，且3600s=1h，于是照射量率可转换成R/h ：
（R/h） （6.53）
关于这个放射源的比射线常数定义为每居里的放射性发出的所有射线所致的照射量率——这个照射量率用反比平方定律归一于1m的距离处：
(R m2/Ci h) （6.54）
这里，Ei用MeV表示而用m2/kg表示。如果换成以cm2/g为单位来表示，则在该公式前面的常数降低为19.38。如果用cm2/g取代m2/kg去表示，则可直接用（6.54）式得到以R cm2/mCi h为单位的值。
对于与各代子体处于平衡状态的Ra这样的特殊情况(见图6.4)，通常用R cm2/mg h来表示，即Ra的活度是用他的质量来表示的（见节Ⅲ）。此外，8.25R cm2/mg h这一被认可的值不是指“裸”的点源，而是关于经过0.5mmPt（含10%Ir）过滤穿透出的-射线的点状放射源的。Shalck和Stovall（1969）提供一个在其他厚度的封壳中的镭源的值的数据表；在0.5和1.0mm之间，Pt（Ir占10%）壁厚度每增加0.1mm，约减小1.3%。与其各代子体处于平衡状态且有0.5mmPt-Ir过滤的Rn的比－射线常数为8.34R cm2/mCi h，几乎与平衡状态的Ra的比－射线常数相同，处于平衡状态下的Ra的比－射线常数为8.35 R cm2/mCi h（=8.25Rcm2mg－1h－1/0.988mCi mg－1）。0.1%的差别是由于Ra在衰变过程中自身放出微弱的－而引起的。由与其衰变产物处于平衡状态的Ra和Rn发射出的所有－射线几乎仅源于他们的两个后代：RaB（Pb）和RaC（Bi），如John和Cunning ham(1974)所论述的。
当把式（6.54）应用于60Co这一例子时，我们首先要注意到，核每次衰变伴之以发射两个光子，一个能量为1.17MeV，另一个能量为1.33MeV。这样，对于这两种能量的光子，ki的值均为1。在这些能量上，空气的质能吸收系数的值为：

Ei（MeV）
(m2/kg)
1.17
0.00270
1.33
0.00262

因此，式（6.54）变为：

=1.29 R m2/Ci h
考虑到单位上的不同之后，这个值是接近于表6.1所给出的值的。
在距活度为A居里的点源的距离为米的地方，照射量率（R/hr）由下式给出：

（6.55）
这里，关于这个源的是用R m2/Ci h给出的，周围介质引起的减弱和散射假定是可以忽略不计的。
ICRU（1980）还定义了一个称之为空气比释动能率常数(air kerma rate constant)的量，这个量与照射量率常数有关系。定义比释动能的公式与（6.46）式相同——除了用Kair取代X之外。建议采用m2 J kg－1或m2 Gy Bq－1s－1为单位。遗憾的是，对于这个常数，ICRU选择了相同的符号，这可能引起混乱。此外，一