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第二章 导数、微分、边 际与弹性经济数学经济数学微积分微积分函数的微分中央财经大学 若 y=f(x)在点 x0 处有(有限)导数,则现在反过来想一想：若在 x0 点处 y=f(x)的增量 y 可以表示为 一个线性函数与一个高阶无穷小量之和的形式回忆讲过的函数的增量与导数之间的关系那么,我们自然要问 A=?就是说,在点 x0 处若可用关于自变量的增量 x 的线性函数逼近函数的增量 y 时,其关系式一定是 y=f(x0)x+o(x)我们称 f(x0)x (或 Ax)为函数在点 x0 处增量的线性主部,通常将它记为 dy=f(x0)x (dy=Ax).微分一.函数的微分将以上的讨论归纳一下,可得出什么结论?1.微分的概念y=Ax+o(x)此时,称 f(x)在点 x0 处可微。设 y=f(x)在 U(x0)有定义,给 x0 以增量x,且 x0+x U(x0)。如果函数相应的增量可表示为则称 y 的线性主部为 f(x)在点 x0 处的微分,记为 d y=Ax,其中,A 叫微分系数。2.可微与可导的关系定理y=f(x0)x+o(x)dy=f(x0)x 也就是说,f(x)在点 x0 处的可微性与可导性是等价的,且 f(x)在点 x0 处可微,则解解什么意思？例例1自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:该例说明:此外,当 x 为自变量时,还可记即函数 f(x)在点 x 处的导数等于函数的微分 d y 与自变量的微分 d x 的商,故导数也可称为微商.哈哈！除法,这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.3.微分的几何意义yyd 几何上,函数 y=f(x)在点 x 处的微分表示为:相应于自变量 x 的改变量 x,曲线y=f(x)在点 P(x,y)的切线上纵坐标的改变量.二.微分的运算法则 1.微分的基本公式可微 可导 微分的基本公式与导数的基本公式相似 微分公式一目了然,不必讲了.2.一阶微分形式不变性 (复合函数微分法则)在点 x0 处可微.按微分的定义但故 说明什么问题？我们发现 y=f(u),当 u 为中间变量时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形式相同,均为 dy=f(u)du,这种性质称为函数的一阶微分形式不变性.解解故例例2解解例例3三.二阶微分其二阶微分为设函数 y=f(x)二阶可导,当 x 为自变量时,由此看出,当 x 为自变量时,除法类似可定义 n 阶微分:注意这里 x 是自变量 四.微分在近似计算中的应用函数增量的近似值：函数值的近似值：将半径为 R 的球加热.如果球的半径估计球的体积的增量.伸长解解则由所以,球的体积增量大约为例例5得解解例例6例例7 7解解经济数学经济数学微积分微积分谢谢大家！中央财经大学