1、投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月(下旬)教学实践追根溯源 揭露本质以“圆的方程的常见形式”的复习教学为例林晓清福建省石狮市石光中学362700咱摘要暂 深度学习是当前数学教育领域的热门话题.随着新课改的不断深入袁究竟该如何追根溯源袁揭露知识的本质袁促使学生深度学习的真实发生呢钥研究者以野圆的方程的常见形式冶的复习教学为例袁分别从野深入挖掘袁探索知识本质冶野问题驱动袁发展数学思维冶野积极互动袁实现教学相长冶三方面谈一些感悟与思考.关键词深度学习曰圆曰本质作者简介院林晓清(1983),本科学历,中学一级教师,从事高中数学教学工作.新课标明确提出数学教学以发展学生的思维品质与核心素养为主
2、要目标.因此袁高中数学课堂应将野四基冶与野四能冶落到实处袁在课堂的每个环节都要想方设法揭露知识本质袁关注对学生数学思维能力的培养.在教学中袁笔者发现师生互动尧问题驱动尧数学文化的渗透等都是提高教学效率尧发展学生数学核心素养积极有效的措施.教学实录1.教学分析本节课为复习课袁复习的是野圆的方程的常见形式冶袁学生之前对圆的一般方程和标准方程的产生原理尧应用特点等有一定的了解袁且能用它们来解决一些程序性问题.本节课基于轨迹方程实施教学拓展袁以进一步巩固学生的知识基础袁发展学生反思尧类比与创新的能力.2.教学过程借助多媒体展示以下问题院若平面内有两点分别为A渊2袁0冤袁B渊4袁0冤.问题1 已知点C渊
3、1袁2冤袁则吟ABC的外接圆方程是什么钥师院思考问题1袁请大家说说求解思路.生1院已知点A袁B袁C都位于吟ABC的外接圆上袁假设x2+Dx+y2+Ey+F=0为该圆的方程袁将已知的三点坐标分别代入该方程袁解得D=原6袁E=原72袁F=8袁由此可得该圆的方程为2x2-12x+2y2-7y+16=0.师院这位同学应用的是最常规的方法袁整个过程思路清晰袁计算准确.大家还有其他办法吗钥生2院根据题设条件不难获得线段AB的中垂线为x=3袁由此设圆心的坐标为E渊3袁b冤袁半径为r袁且r跃0.根据圆上任意点到圆心的距离均为半径袁可知b2+1 姨=渊b原2冤2+4 姨袁计算得b=74袁r2=6516袁则吟AB
4、C外接圆的标准方程为渊x原3冤2+y原742=6516.生3院还可以借助圆心位于弦AC的中垂线y原1=12x原32上袁通过连列x=3获解.师院不错袁也就是说本题不仅可以用代数法确定待定圆方程中的各个参数获得圆的方程袁还可以用几何法确定半径与圆心来获得圆的方程.从大家的求解思路来看袁大部分同学对圆的方程有较深刻的认识袁接下来我们继续探究.问题2 以AB为直径的圆的方程是什么钥生4院以AB为直径的圆的圆心为线段AB的中点袁那么待求圆的圆心E为渊3袁0冤袁半径r为AE=1袁由此可确定待求圆的方程为渊x原3冤2+y2=1.生5院结合圆的几何性质袁即圆的26投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月(下
5、旬)教学实践直径所对的圆周角为仔2袁可知待求圆上的任意点P均满足AP窑BP=0.借助求轨迹方程的方法袁假设点P渊x袁y冤为待求圆上的任意一点袁将它代入向量数量积运算后化简袁可得x2原6x+y2+8=0.师院你的结论与之前那位同学的结论是一样的.请问袁 你将题目条件转换为野待求圆上的任意点P均满足AP窑BP=0冶袁为什么不将题目条件转换为野待求圆上的任意点P满足蚁APB=仔2冶或野待求圆上的任意点P均满足kAP窑kBP=原1冶呢钥生5院假设将题目条件转换为蚁APB=仔2袁则将待求圆上A袁B袁P三点共线的情况剔除了曰假设将题目条件转换为kAP窑kBP=原1袁 同样将待求圆上A袁B袁P三点共线的情况
6、剔除了.因此袁只有将题目条件转换为AP窑BP=0袁才能获得完整的圆.师院很好浴 正如波利亚所言院当你在执行解题方案时袁要注重对每一个步骤的检查袁要对解题的每个步骤有清晰明确的认识袁由此才能确定它是否正确.这位同学的解题思路非常清晰且全面袁显然已经做到了这一点袁值得赞扬.接下来我们一起探索以下两道变式题.变式题1院如果平面内的一个动点P满足AP窑BP=4袁则动点P的轨迹方程是怎样的钥生6院结合问题2可知AP窑BP=x2原6x+y2+8=4袁也就是渊x原3冤2+y2=5.师院很好袁直接通过向量数量积运算并化简袁可得动点P的轨迹为一个圆.现在我们再一起来看接下来的变式题.变式题2院假设平面内的动点P
7、满足蚁APB=仔3袁那么动点P的轨迹方程是什么钥生7院结合生5的求解思路袁根据题意可知此问需要A袁B袁P三点构成角袁因此所求的动点P的轨迹须将A袁B袁P三点共线的情况剔除掉.假设点P渊x袁y冤袁且y屹0袁结合向量数量积建立等式袁可得cos仔3=AP窑BPAPBP袁即渊x原4冤渊x原2冤+y2渊x原4冤2+y2姨渊x原2冤2+y2姨=12袁考虑到化简过程存在正负两种情况袁因此解题时需要分类讨论.师院不错袁考虑得比较周全袁计算也很准确袁值得赞扬.生8院之前我还在纠结袁当听完生7的求解思路后袁我豁然开朗.本题也可以用几何法去求解袁鉴于动点P在优弧AB上袁且不含点A与B袁因此需要分别讨论圆心位于x轴两
8、侧的情况袁具体如下院若圆心位于x轴的上方袁y0袁假设圆心为E1渊a袁b冤袁则蚁E1AB=仔6袁蚁AE1B=2仔3袁因为圆心E1为弦AB的中垂线x=3与直径所在直线AE1院y=3 姨3渊x原2冤的交点袁联立方程得E13袁3 姨3袁半径r=23 姨3.那么动点P的轨迹方程就是渊x原3冤2+y原3 姨32=43渊y跃0冤.若圆心位于x轴的下方袁y约0袁同理可得问题的解.师院很好袁现在请大家根据圆的几何性质分析本题的解袁并结合图1完成整个求解过程渊借助几何画板作图冤.待大部分学生完成演算后袁教师与学生确认应用几何法解决问题可减少一些复杂的化简过程袁因此这是科学有效的解题方法.师院大家通过对问题2及变式
9、题的解决袁得到了什么结论钥生9院当我们求解圆的方程时袁可考虑用代数法或几何法.生10院通过以上过程发现这一类问题的本质就是求轨迹方程袁探索表明袁若平面内的动点P和两定点形成的角或向量数量积为定值袁 则动点P的轨迹必然为圆或部分圆.师院非常好浴 从你们的结论来看袁大家不仅明晰了这一类问题的求解策略以及本质袁还成功对轨迹中的特殊部分作了规范袁 值得赞扬.接下来我们继续探讨.问题3 若平面内动点P满足AP=2BP袁则动点P的轨迹方程是什么钥生11院本题求的是动点P的轨迹方程袁则可设动点P的坐标为渊x袁y冤袁根据AP=2BP袁可得渊x原2冤2+y2姨=2渊x原4冤2+y2姨袁化简后得x2原283x+y
10、2+20=0.师院不错袁请你尝试用数学语言来描述本题的结论.生11院在一个平面内袁到两定点距离之比恰巧为2的点所形成的轨迹为圆.师院很好袁现在我将条件稍作改变袁大家来看看结论会不会发生变化.变式题3院设平面内的动点P满足AP=12BP袁那么动点P的轨迹方程是什么钥生12院应用相同的方法袁不难获得动点P的轨迹为圆袁其轨迹方程为x2原83x+y2=0.ABPE1E2PxyO图127投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月(下旬)教学实践变式题4院设平面内的动点P满足条件AP=BP袁则动点P的轨迹方程是什么钥生13院结合题意袁可知动点P位于线段AB的中垂线上袁由此可确定动点P的轨迹方程为x=3.
11、师院通过问题3及变式题的探索袁大家有什么收获钥生14院若平面内的动点P到两定点的距离之比等于不是1的数袁动点P的轨迹均为圆.师院这是一个经典结论.公元前3世纪袁古希腊的阿波罗尼斯在前人的基础上探索动点问题袁撰写了叶圆锥曲线论曳袁其中详细记载了野六个轨迹问题冶袁野平面内的动点到两定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹为圆冶就是其中之一袁这就是著名的阿波罗尼斯圆.问题4 在一个平面内袁如果动点P满足AP2+BP2=10袁那么动点P的轨迹方程是什么钥生15院假设动点P渊x袁y冤袁将它代入AP2+BP2=10中袁可得动点P的轨迹方程为x2原6x+y2+5=0袁同样是圆.师院这些题让你有什么收获钥生16院
12、从问题的本质来看袁这些都是与轨迹相关的问题袁区别在于有些轨迹是明确的袁有些轨迹需要推导才知道.总的来说袁解决这些问题基本上用的都是代数法或几何法.师院不错袁求圆的方程和轨迹方程都用了代数法和几何法袁从中可以看出野求轨迹方程冶就是这些问题的本质.本课以平面内的两个定点为探索起点袁 通过追问与变式题的应用袁引导学生不断演化圆的多种形式袁不仅活跃了学生的思维袁还通过细节有效揭露了此类问题的本质是野求轨迹方程冶.问题2及其变式题的应用袁意在发展学生野从具体到抽象冶的思维袁为提炼解题的一般方法奠定了基础.问题3及其变式题属于著名的阿波罗尼斯圆的特例袁应用它们意在引导学生自主获得一般性的结论.而阿波罗尼斯
13、圆的介绍袁一方面渗透数学文化袁陶冶学生的数学情操曰另一方面让学生对阿波罗尼斯圆产生别样的情感袁达到深度学习的成效.问题4的提出则别具一格袁有效揭露了此类问题的本质.教学感悟1.深入挖掘袁探索知识本质一些教师为了提高复习课教学效率袁往往在课堂中设置一些难度较大的问题供学生探讨.殊不知袁思维是一个循序渐进的过程袁若教师一上来就提出难度系数大尧综合程度高的问题袁往往会让不少学生望而却步.数学属于一门思维型的学科袁学生的大脑并非一个待填充的容器袁教师应在关注创新的基础上注重数学思想方法的渗透以及学生数学能力的培养.本节课教师以简单的问题为教学起点袁让每一个学生都能积极参与问题探索袁帮助更多学生树立学习
14、信心袁有效营造了积极思考的氛围袁激起了学生的探索欲.随着学生探索兴趣的提升袁教师再以野小步子冶的方式带领学生逐渐深入问题核心袁让学生感知知识本质袁帮助学生完善知识体系.这种循序渐进尧深入挖掘的教学方式袁使学生的思维在层层诱导中拾级而上袁从概念到应用袁从模型到数学文化袁学生在返璞归真的教学中不仅自主挖掘知识本质袁还将简单浅显的道理交织在一起袁形成富有一定高度的知识结构.2.问题驱动袁发展数学思维问题是数学的心脏袁课堂随着问题的驱动而推进袁复习课亦如此.然而袁实际教学中有些教师一味地追求教学容量袁 忽略了问题的重要性袁导致学生自主探索的时间与空间不足.实践证明袁创设一环扣一环的问题是促进学生深度学
15、习真实发生的关键袁也是发展学生综合素养的主要途径.问题导向下的复习教学袁不仅能激发学生主动探索的意愿袁还能让数学学习更具启发性与趣味性袁增强学生的学习体验感袁加速学生核心素养的形成.本节课所设置的每一个问题都源于教师的精心预设袁每一个问题均具备承上启下的作用袁对激活学生的思维袁帮助学生更好地理解圆方程不同形式的生成方式尧问题的解决方法等具有重要价值.其中袁教师结合学生的最近发展区袁通过有效设问袁逐层推进学生思维发展袁帮助学生更好地领略知识本质袁提升学生的数学思维品质.3.积极互动袁实现教学相长课堂是师生尧生生互动的阵地.新课标强调学生才是课堂真正的主人袁倡导数学课堂中要鼓励学生通过积极思考尧自主学习尧合作交流等方式提高学习成效.多向互动与交流的模式让课堂变得更加鲜活且具有生命力袁尤其是师生尧生生之间通过动态尧开放的对话与交流袁可激活双方的思维袁实现教学相长.本节课的整个教学过程都以学生为主袁几种圆方程形式的生成均在教师的预设中袁关于解题模型的形成以及阿波罗尼斯圆的论证则属于课堂的动态生成.由此可以看出师生积极有效的互动是促进课堂有效生成的关键.总之袁数学是一门承载着丰富思想与文化的学科袁作为新时代的数学教师应不断更新自己的教育教学理念袁在充分了解学情的基础上优化教学袁与学生一起探寻数学本真.28