九上数学教案.doc

21.2.3 公式法
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程，会用判别式判断一元二次方程根的情况．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解简单的一元二次方程．
渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，培养发现规律的积极性及勇于探索的精神。
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）2x2-12x+10=0 （2）4x2-3x=52
（老师点评） （1）移项，得：2x2-12x=-10
二次项系数化为1，得：x2-6x=-5
配方，得：x2-6x+（3）2=-5+（3）2 （x-3）2=4
x-3=±2 x1=2+3=5
x2=-2+3=1
（2）略
（学生总结，老师点评）总结用配方法解一元二次方程的步骤．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知
如果把一元二次方程中的数字系数，换为字母，变成了一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学分小组独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试用含有a、b、c的式子表示它的两个根？（请学生代表上台讲解过程）
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c假想成一个已知的数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0 ∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=

思考:为什么要强调 那？
根的判别式的知识拓展：
（1） 不解方程判断方程根的情况
（2） 根据方程根的情况确定字母系数的取值范围
（3）讨论并解决与一元二次方程的根的有关问题
小结（生小结，老师补充）：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）x2-3x-1=0 （2）-x-2=4x2
（3）4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，明确a、b、c的数值，然后代入公式即可．
解：（1）a=1，b=-3，c=-1
b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=13>0
x=
∴x1= ，x2=
（2）将方程化为一般形式
4x2-x-6=0 a=4，b=-1，c=-2
b2-4ac=（-1）2-4×4×（-2）=32>0
x=
x1= ，x2=
（3）a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
三、巩固练习
教材P12 练习1．（1）、（5）、（6）
四、应用拓展
例2．m为何值时，关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0．
（1）是一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）是一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x= x1=，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．
五、归纳小结
本节课应掌握（生归纳，师补充）：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材复习巩固5．
2．选用作业设计:

一、选择题
1．一元二次方程5x2-7x=2 的根的情况 （ ）．
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．没有实根 D．无法确定
2．方程（x-1）（x+2）=0的两个根分别为（ ）．
A．x1=-1，x2=2 B．x1=1，x2=2
C．x1=-1，x2=-2 D．x1=1，x2=-2
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-6x+2的值是-2．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为2，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；

教后反思：