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第八章 矩阵
一、矩阵及其性质：
1. 矩阵的概念：
设是一个数域，为数域上的多项式，称形如

的矩阵为数域上的一个多项式矩阵，简称矩阵.当时，称为阶矩阵.
2. 矩阵的秩：
如果矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式（如果有的话）全为零，则称矩阵的秩为.如果的矩阵的秩为，则称它是行满秩的；如果秩为，则称它为列满秩的；如果阶矩阵的秩为，则称它为满秩的.
3. 矩阵的逆矩阵：
设为阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得

则称是可逆的，又称是的逆矩阵.可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，记为.
4. 阶矩阵可逆的充分必要条件是是一个非零的数.当可逆时，其逆矩阵为

其中是的伴随矩阵.
二、矩阵在初等变换下的标准型
1. 矩阵的初等变换
对矩阵进行的以下三种变换分别称为矩阵的初等行（列）变换：
（1） 交换两行（列）；
（2） 以非零常数乘某一行（列），其中；
（3） 某一行（列）加另一行（列）的倍，其中是的多项式.
2.初等矩阵
由阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，共三类：
（1）——交换的两行（列）所得的初等矩阵；
（2）——用乘的第行（列）所得的初等矩阵；
（3）——将的第行加上第行的倍（或第列加上第列的倍）所得的初等矩阵；
3. 矩阵的等价
如果矩阵可以经过有限次的矩阵的初等变换化成，则称与等价.
等价是矩阵之间的一种关系.这个关系具有下列三个性质：
（1） 反身性：每个矩阵与自己等价；
（2） 对称性：若与，则与等价；
（3） 传递性：若与等价，与等价，则与等价.
4.任何一个秩为的的矩阵都等价于（通过矩阵的初等变换）下列形式的矩阵

其中是首项系数为1的多项式，且

称这个矩阵为的标准型，又称为
的不变因子.
三、不变因子
1.行列式因子：
设矩阵的秩为，对于正整数，，中必有非零的级子式. 中全部级子式的首项系数为1的最大公因式称为的级行列式因子.
2.不变因子：
的标准形中主对角线上的非零元素

称为矩阵的不变因子.
3. 行列式因子与不变因子的关系
设是秩为的的矩阵，是的行列式因子，而是的不变因子，则

即它们是互相确定的.
4.两个等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
四、矩阵相似的条件
1.矩阵的不变因子：
矩阵的特征矩阵的不变因子简称为的不变因子.
2.矩阵的初等因子：
把矩阵的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵的初等因子.
3.求初等因子的方法：
矩阵的初等因子可以不必通过不变因子求出：
方法1.设经过初等变换化为对角形式（不必是标准形）

将在数域上分解为标准分解式，则在标准分解式中出现的全体不可约因式的方幂就是的全部初等因子。
方法2.如果是分块对角矩阵，即

则求出每个的初等因子后，其全体就是全部初等因子。
4.矩阵相似的条件：
（1）设是数域上的两个矩阵，与相似的充分必要条件是它们的特征方程和等价。
（2）数字矩阵与相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。
（3）数字矩阵与相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。
（4）复矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的初等因子皆为一次的。
（5）复矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的不变因子没有重根。
（6）复矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式没有重根。
五、若尔当(Jordan)标准形
复数域上的每个阶矩阵都与一个Jordan矩阵相似，这个Jordan矩阵除去其中Jordan块的排列次序外是被矩阵惟一确定的，称为的Jordan标准形.
六、例题分析：
例1.求的标准形
解：方法1.初等变换法

方法2.初等因子法

于是的秩为3，且初等因子为
从而的不变因子为

故的标准形为

例2.设为一个5阶矩阵，其秩为4，初等因子是

试求的标准形。
解：由题设知的不变因子为

因此的标准形为

例3.已知阶方阵

（1） 证明：的不变因子为

（2） 证明：的初等因子为
证明：（1）

由于中左下角的阶子式为，所以，于是
又
从而的不变因子为
（2）

由于中右上角的阶子式为，所以，
从而.又，
从而的不变因子为，.故的初等因子为.
七、相似矩阵的判定与证明
设,是数域上的阶矩阵，则与相似的充分必要条件是：
（1） 与等价；
（2） 与的行列式因子相同；
（3） 与的不变因子相同；
（4） 与的初等因子相同.
例1. 证明：阶方阵与相似.
证明：因为与有相同的行列式因子，从而它们等价，故与相似。
例2.证明：以下两个阶方阵相似
证明：方法1.取阶方阵

可以验证，且有

由上题知与相似，即存在可逆矩阵，使，从而
即
故与相似.
方法2.可求得

所以与的阶行列式因子相同.又因为与中右上角的阶子式均为，于是与的前阶行列式因子均为1.故与相似.
例3.下列矩阵哪些相似？哪些不相似？

解：因为

所以的不变因子为，同理可求得的不变因子为，的不变因子为，故与相似，而与，与都不相似.
例4.设，是数域上两个阶方阵，
且
（1）

其中是某一排列.证明：与相似.
证明：由式（1）知 （2）

其中与为非负整数.由式（2）知两两互异，即的因子与因子没有重的.由于的全部初等因子为中所有一次因式方幂组成（相同的）
例5.令是的一个排列，对于任意一个矩阵，令表示依次以的第行作为第行所得矩阵。
（1） 证明：对任意矩阵有；
（2） 对任意矩阵，与是否相似？
证明：（1）的行列元素等于的行列元素，即为

而的行列元素也等于上式，所以
（2）由于与的行的位置发生变化，所以与不一定相似。比如，

有

可见，故不相似于。
例6.设是实数。

证明：（1）彼此相似；
（2）如果，则至少有两个特征值等于0.
证明：（1）

这说明与等价，故与相似。
类似可证与相似，再由于相似是一种等价关系，故与相似。从而彼此相似。
（2）由可得，移项后可得

所以，可求得，故

八、矩阵的Jordan标准形
1.形如
，其中

的阶分块矩阵称为Jordan标准形，又称
为阶Jordan块。
2.（Jordan定理）复数域上的每个阶矩阵都与一个Jordan矩阵相似，这个Jordan矩阵除去Jordan矩阵其中Jordan块的排列次序外是被矩阵唯一确定的，称为的Jordan标准形。
例1.化为Jordan标准形.
解：是分块对角矩阵，其中

可求得，所以的特征值为，的特征值为
，又可求得，所以与的Jordan标准形分别是

故的Jordan标准形为

例2. 设矩阵

（1） 求的不变因子组和初等因子组；
（2） 求的Jordan标准形.
解：（1）

由于其中左下角的阶子式为，所以
，故.而

因此的个不变因子为
的初等因子为，其中

（2）的Jordan标准形为
例3.设复矩阵，问矩阵可能有什么样的Jordan标准形？并求相似于对角矩阵的充分必要条件。
证明：因为，所以的特征值为，因此的Jordan标准形有如下两种（不计Jordan块的次序）

相似与对角矩阵的充分必要条件是对应2重特征值2有两个线性无关的特征向量，即。由于

可见的充分必要条件是，故相似于对角矩阵的充分必要条件是.