自正则检验关于方差变点的稳健性分析.pdf

年第期青海师范大学学报（自然科学版）（）基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；青海省自然科学基金资助项目（）收稿日期：作者简介：石雅琳（），女，河北保定人，硕士生研究方向：应用数理统计通信作者：陈占寿（），男，青海互助人，博士，教授研究方向：应用数理统计自正则检验关于方差变点的稳健性分析石雅琳，陈占寿，（青海师范大学 数学与统计学院，青海 西宁 ；青海师范大学 省部共建藏语智能信息处理及应用国家重点实验室，青海 西宁 ）摘要：自正则统计量是检验长记忆时间序列均值变点的有效方法然而长记忆时间序列中存在均值变点的同时也可能存在方差变点，方差变点会如何影响均值变点的检验功效呢？本文推导出了当长记忆时间序列中仅存在方差变点及同时存在均值变点和方差变点时，自正则统计量的极限分布，从理论上证明了此时该统计量仍然是检验均值变点的一致统计量 数值模拟结果表明，自正则检验统计量对方差变点稳健，且递减的方差变点有助于进一步提高检验功效，而递增的方差变点会降低检验功效 最后，通过对一组北半球月均气温数据的分析说明了方法的稳健性关键词：均值变点；方差变点；自正则统计量；长记忆时间序列中图分类号：文献标识码：文章编号：（）变点问题首次由 ，提出，用来检验独立正态分布中的均值变点自此，变点问题成为统计学、经济学、工程、医学等许多领域的研究热点，并有大量研究成果被发表，其中包括短记忆时间序列中各类变点检测方面的研究，相关综述性文献可见 ，等由于许多经济、水文、气象等数据都具有长记忆性，近年来有许多研究讨论了长记忆时间序列中的变点问题，如 ，等，和 ，和 ，等均值变点是长记忆时间序列变点分析中研究最多的一类问题 和 提出了一种 型统计量，用来检验当均值变点位置已知时，带有长记忆误差的线性回归模型中的变点 和 提出了一种 统计量来估计长记忆时间序列中均值变点的位置 研究了当均值变点位置已知时一般型 和 型统计量的渐近性质 和 使用贝叶斯方法研究了长相关过程中的均值变点 等 研究了 型统计量用来检测长记忆滑动平均过程中均值或方差变点时的渐近性质 提出了一种自正则统计量来检验长记忆时间序列中的均值变点 在 的统计量基础上，提出了一种自正则 统计量来检验长期相关数据中的均值变点 和 研究了长记忆随机波动时间序列均值变点和方差变点的检验问题 等 总结了长记忆时间序列中均值变点的检验方法 等 提出了两种自正则比型统计量来依次在线监测和区分长记忆时间序列均值变点与方差变点 娘毛措等 研究了带长记忆噪声线性回归模型结构变点的在线监测问题 于 年提出的自正则统计量由于不需要提前假定变点位置已知，也不需要估计其他尺度参数，且计算简单高效，成为检验长记忆时间序列均值变点的最主要方法之一 然而一个长记忆时间序列中存在均值变点的同时也可能还存在方差变点，也可能只包含方差变点 自正则统计量对方差变点是否稳健，方差变点如何影响自正则统计量的检验功效是一个值得研究的问题本文首先从理论上推导了 提出的自正则统计量在被检验的长记忆时间序列中仅存在方差变点，以及同时存在均值变点和方差变点时的极限分布发现当检验序列中仅存在方差变点时自正则统计量仍然收敛，而当检验序列中同时存在均值变点和方差变点时，自正则统计量仍然是检验均值变点的一致统计量 数值模拟研究结果表明，方差变点的存在基本不影响自正则统计量控制犯第一类错误的概率，而递减的方差变点能提高统计量的的检验功效，而递增的方差变点会降低统计量的检验功效DOI:10.16229/ki.issn1001-7542.2023.01.002青海师范大学学报（自然科学版）年模型假设及检验统计量考虑如下时间序列模型，（）其中：为的均值函数，即（），为当 （）是一个常数时的方差函数，即 （）（），是一个平稳的长记忆过程，记作（），满足如下模型（），（）其中：为滞后算子，是长记忆参数，是一个均值为，方差为常数的短记忆过程对于给定的满足模型（）的一列观测值，本文研究数据中存在均值和方差变点的联合检验问题 根据均值变点及方差变点的相对位置，具体考虑如下原假设和三种备择假设：，其中：，为未知参数，且，为未知变点位置原假设表示时间序列中不存在变点备择假设表示在处同时出现了均值变点和方差变点；备择假设表示在，处分别存在均值变点和方差变点，且；备择假设表示在，处分别出现了方差变点和均值变点，且令，（），（）.其中：，提出的自正则统计量如下：，（）（），（）其中：和分别为控制左右样本量的调整参数，为取整函数，（），（），（），.为证明统计量，（）的极限分布，需做如下假设：假设对于和（），假设模型（）中的新息序列满足.引理若假设成立，则对于一个平稳的长记忆时间序列（），当时有（）（），（）其中：（）为慢变函数，“”表示弱收敛，是长期方差，（）是型分数布朗运动，定义为第期石雅琳，等：自正则检验关于方差变点的稳健性分析（）（）（）（）（）（）（）（）.引理由 给出 基于此 给出了自正则统计量在原假设下极限分布为，当时，（），（）（）（）（）；，（）（）；，（）（），（）其中：；，（）（）（）（）（）（）（），为了分析长记忆时间序列中的方差变点是否会影响自正则统计量的稳健性，首先讨论此时它的渐近性质，即在备择假设下，当时给出统计量的极限分布定理在备择假设下，若，则当 ，时有，（），（）（）（）（）；，（）（）；，（）（）.（）证明因为（）（），（），（），（）.（）其中分子（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）.另一方面，（），（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（），（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）.青海师范大学学报（自然科学版）年因此，（），（），（）；，（）（）；，（）（）.（）将（）、（）式代入（）式，即得定理的结论从定理可以看出当长记忆时间序列中只存在方差变点时，自正则统计量依然收敛，但其极限分布与方差变点的跳跃度有关 考虑到当长记忆时间序列中存在均值变点时自正则统计量会发散到无穷，这意味着方差变点对自正则统计量的影响很有限定理在备择假设下，假设 ，为变点位置，当，但 （）时有（）（）（）；，（）（）（）（）；，（）（）.（）证明因为（）（），（），（），（），（）其中：（），（）（）（）（）（）（），（）（），（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（），（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）第期石雅琳，等：自正则检验关于方差变点的稳健性分析因此，（），（），（）；，（）（）；，（）（）.（）将（）、（）式代入（）式，即得定理的结论定理令 ，当，但 （）时，则在备择假设下，（）（）（）；，（）（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（），（）在备择假设下，（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（）；，（）（），（）其中：，（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）.，（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）.证明在这里只证明（）式，（）式的证明可类似证得（）（），（），（），（），（）其中：（），（）（）（）（），（）（），（）；，（），（），（）（）（），（）.青海师范大学学报（自然科学版）年当时，（），（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）.当时，（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）.因此，（），（），（）（），（）（），（）（），（）（）；，（）（），（）（）（）（），（）（）（）（）.（）将（）、（）式代入（）式，即得式的证明由于，而（）是一个慢变函数，所以根据定理和定理的结论可以发现，在备择假设，下自正则统计量，（）都将以 的速度发散到无穷，这说明当长记忆时间序列中存在方差变点时，自正则统计量仍然是检验其均值变点的一致统计量由于不同备择假设下的极限分布不同，说明变点的大小和位置会影响自正则统计量的检验功效数值模拟和实例分析数值模拟本节通过数值模拟讨论自正则检验统计量，（）的有限样本性质，固定，（）.，.（），第期石雅琳，等：自正则检验关于方差变点的稳健性分析其临界值来自 考虑长记忆参数、样本量的取值、变点位置及跳跃度的大小对检验水平及检验势的影响为分析数据中的方差变点对检验水平的影响，采用如下数据生成模型生成模拟数据，（）其中：，（），长记忆参数取.，.，.，.，跳跃度取，变点位置取.，.，.，样本量取 和 ，模拟循环 次 ，（）模型数据由包 中的 函数生成 表给出了自正则检验在数据中存在方差变点时，检验水平下的经验水平从表中可以看出当，即数据中无方差变点时，经验水平非常接近 ，而当时经验水平出现了明显的扭曲，且扭曲程度随着样本量和长记忆参数的增大而增大 方差变点的位置对检验水平也有显著影响：对于递增的方差变点（即），变点位置越靠后检验水平扭曲越严重，而对于递减的方差变点（即），变点位置靠前时检验水平扭曲越严重从整体来看，只要方差变点的跳跃度不是太大，位置不是太靠近两端，自正则检验的水平扭曲问题不是很严重，基本可以认为该检验统计量对较小的方差变点稳健表检验统计量，（）在数据中存在方差变点时 检验水平下的经验水平.为了得到检验统计量在备择假设下的检验势，采用如下数据生成模型：，（）其中变点位置取.，.，.，其他参数设置情况与（）式相同表给出了模拟结果从表中可以看出，在其他参数不变的情况下，经验势随着样本量的增大而增大，随着长记忆参数的增大而减小；经验势随着的增大而减小，当时，变点位置越靠后，经验势越低；当时，变点位置越靠后，经验势越高整体来看，经验势都比较大，说明当序列中在同一位置存在均值和方差变点时，检验统计量（，）仍能检验出均值变点，这验证了方差变点的存在不影响自正则方法检验均值变点的一致性青海师范大学学报（自然科学版）年表备择假设下统计量，（）的经验势.为了得到检验统计量在备择假设下的检验势，采用如下数据生成模型：，（）考虑变点位置.，.和.，.两种情况，其他参数设置情况与（）式相同表给出了模拟结果从表中可以看出，经验势随着样本量和长记忆参数的变化规律与备择假设的情况一致；均值变点和方差变点的位置越靠近，经验势越高经验势随着的增大而减小，但当.，时，经验势又略微的升高，因此继续模拟了时的情况，发现当.，.时，经验势继续升高，最终稳定在左右 当.，.时，经验势继续升高，最终稳定在左右表备择假设下统计量，（）的检验势.，.，.为了得到检验统计量在备择假设下的检验势，采用如下数据生成模型：，（）参数设置情况与（）式相同 表给出了模拟结果，从表中可以看出，除了最后一点，其他结论与备择假设情况下一致 我们也模拟了当.，时的情况，发现当.，.时，经验势略微降低，最终稳定在 左右，当.，.时，经验势没有太大变化，最终稳定在左右本节最后通过折线图形式对自正则检验在检验序列中仅存在均值变点、仅存在方差变点及三种备择假第期石雅琳，等：自正则检验关于方差变点的稳健性分析设下的检验功效作直观比较固定样本量 图展示了比较结果，其中左图为将 的只有均值变点的情况与，的只有方差变点，下，下，和下，的情况进行比较；右图为将 的只有均值变点的情况与，的只有方差变点，下，下，和下，的情况进行比较可以看出，当序列中只存在方差变点时，检验势很低，而其余四种存在均值变点的情况折线走势一致，检验势的值也基本接近，这从数值模拟的角度说明不管数据中是否有方差变点，都不影响自正则方法检验均值变点的有效性，方差变点的存在对该方法的检验结果影响较小因此，在实际应用中当统计量的值大于临界值时，可以认为序列中有极大可能存在均值变点表备择假设下统计量，（）的检验势.，.，.图检验序列中仅存在均值变点、仅存在方差变点及同时存在均值变点和方差变点的三种备择假设下，自正则检验的检验功效随长记忆参数的变化趋势实例分析本节基于一组北半球 年经季节校正的月均气温数据做实例分析来验证方法的稳健性，共有 个观测值，见图 该数据已被许多学者从不同的角度研究过，并认为该组数据中存在均值变点，基于在线监测的方法发现数据中还存在一个方差变点 本文基于自正则方法做检验，代入数据得到统计量的值为 ，超过了临界值，说明数据中存在均值变点 这说明，数据中的方差变点，对自正则检验统计量的影响很小，该方法仍然是检验均值变点的有效方法，与 的结论是一致的青海师范大学学报（自然科学版）年图 年北半球经季节校正的月均气温总结本文分析了当长记忆时间序列中存在方差变点时，自正则统计量检验均值变点的稳健性理论结果表明当序列中只存在方差变点时，统计量仍然收敛；当序列中同时存在均值和方差变点时，不管变点相对位置如何，统计量都以的速度发散至无穷，说明自正则方法仍然是检验均值变点的有效方法模拟结果显示检验势随着方差的增加而降低；当序列中只存在方差变点时，检验水平较小；当数据中同时存在均值和方差变点时，检验势都较高，说明方差变点的存在对自正则方法检验均值变点的效果影响有限，与理论部分结论一致本文最后还通过对一列北半球月均气温数据说明了该方法的可行性参考文献：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，：，：，（）：，（）：，：，：第期石雅琳，等：自正则检验关于方差变点的稳健性分析 ，：，：，：，：，：，（）：，：，：，：娘毛措，陈占寿，成守尧，等 具有长记忆误差的线性回归模型参数变点的在线监测 山东大学学报（理学版），（）：，：，：，（）：，（，；，）：，：；