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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 解析函数,1,复变函数导数,一、复变函数导数,二、复变函数导数存在充要条件,三、解析函数,四、初等函数,2,多值函数和单值分枝,3,解析函数和调和,函数,第1页,第1页,第二章 解析函数,1,复变函数导数,一,.,复变函数导数,1,、导数定义,存在，则称函数,f,(,z,),在,z,0,处可导,(,可微,),，称该极限值为,f,(,z,),在,z,0,处导数,(,微商,),，记作,设,w=f,(,z,),在,z,0,邻域内有定义，,z,0,+,z,邻域内，假如极限,第2页,第2页,定义,(,-,语言,),对于任意给定,0,，存在,(,)0,当 时，有,注意：,z,0,方式是任意。,第3页,第3页,2,、求导法则,第4页,第4页,阐明,假如函数,w=,f,(,z,),在区域,B,内每一点可导，则称,f,(,z,),在区域,B,内可导：,两个例子：,1.,求,d,z,n,/,d,z,=,nz,n-,1,2.,求证,w=,在,z,平面上处处连续，但处处不可导,可导必连续。,第5页,第5页,第6页,第6页,第7页,第7页,设,z,沿着平行于,x,轴方向趋向于,0,，因而,y,=0,z,=,x,这时极限,设,z,沿着平行于,y,轴方向趋向于,0,，因而,x=,0,z,=,iy,这时极限,因此 导数不存在，原函数在复平面上处处不可导,。,第8页,第8页,3,可导和连续关系,我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立,.,那么可导与连续有何关系？,若函数在某点可导，必在该点连续但反之不一定成立,.,如上例 ，显然在复平面上处处连续但在复平面处处不可导,.,第9页,第9页,二、复变函数导数存在充要条件,可导条件,分析,C-R,条件,u,x,=v,y,v,x,=-u,y,充足条件,偏导数,u,x,，,v,y,，,v,x,，,u,y,连续,满足,C-R,条件,意义,可导函数虚部与实部不是独立，而是互相紧密联系。,第10页,第10页,Cauchy-Riemann,条件,必要条件,设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+i,v,(,x,y,),在区域,B,内一点,z,=,x,+i,y,可导，那么有,逆命题不成立,f,(,z,),在,z=0,处不可导,第11页,第11页,充足条件,设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+i,v,(,x,y,),，若,u,(,x,y,),和,v,(,x,y,),在,(,x,y,),处满足,那么,f,(,z,),在,z,=,x,+i,y,处,可导。,逆命题不成立,其实部在原点不连续,第12页,第12页,柯西,黎曼条件应用,例,2.1.3,讨论函数 在复平面上可导性,。,【,解,】,注意到 ，判断,C-R,条件是否成立,即 ，显然在复平面处处不满足,C-R,条件，故原函数在复平面处处不可导,。,阐明：,上述例题告诉我们，用,C-R,条件来判断函数不可导是以便但当满足,C-R,条件时，函数就一定可导吗？,第13页,第13页,第14页,第14页,依据函数可导定义式有,当 ，（且使得 ），那么当z沿射线,趋于0时，上式比值为 ，显然不同,趋向得到不同值，故原函数在z0=0 处不可导。,本例题告诉我们即使函数满足C-R条件，依然可能不可导那么C-R条件还需加上什么条件才干确保函数可导呢？因此需要讨论可导充分必要条件.,第15页,第15页,定理,设函数,f,(,z,),=u,(,x,y,),+iv,(,x,y,),定义在区域,D,内，则,f,(,z,),在,D,内一点,z=x+iy,可导充要条件是：,u,(,x,y,),与,v,(,x,y,),在点,(,x,y,),可微，并且在该点满足,Cauchy-Riemann(,柯西,黎曼,),方程,且,意义：可导函数虚部与实部不是独立，而是互相紧密联系。,第16页,第16页,导数计算公式,极坐标下,Cauchy-Riemann,条件,设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+i,v,(,x,y,),在点,z,=,x,+i,y,可导，那么,第17页,第17页,三、解析函数概念,1,、,定义,若函数,w=f,(,z,),在点,z,0,及其邻域内处处可导，则称函数,w=f,(,z,),在点,z,0,处,解析,。,若函数,w=f,(,z,),在区域,D,内处处可导，则称函数,w=f,(,z,),在区域,D,内解析，或称,f,(,z,),是区域,D,内,解析函数,。,若,w=f,(,z,),在点,z,0,不解析，则称点,z,0,为,w=f,(,z,),奇点,。,应该注意，可导与解析关系.就个别点来说，可导与解析是两个不同概念，但就区域而言，可导与解析则是等价概念。,第18页,第18页,由导数运算法则和解析函数定义，容易得到下述结论：,定理,两个解析函数和、差、积、商,(,分母不为零,),及复合函数仍然解析，有理分式函数,(,其中,P,(,z,),、,Q,(,z,),都是多项式,),，除去使,Q,(,z,),=,0,点外处处解析。,第19页,第19页,2,、函数解析充要条件,定理,函数,f,(,z,),=u,(,x,y,),+iv,(,x,y,),在其定义域,D,内解析充要条件是：,u,(,x,y,),与,v,(,x,y,),在,D,内可导，并且满足,Cauchy-Riemann(,柯西,黎曼,)(C-R),方程,例：讨论下列函数连续性、可导性和解析性,第20页,第20页,例：假如函数,w=u,(,x,y,),+iv,(,x,y,),为,解析函数，那么它一定能单独用,z,来表示（即,w,=,f,(,z,),而与 无关，,即 。,证：,第21页,第21页,四、初等函数,1.,幂函数,性质：单值，复平面上处处解析。,3.,指数函数,定义：设,z=x+iy,是任意复数，指数函数,e,z,定义为,2.,分式函数,性质：单值，复平面上除了,Q(z),=,0,外处处解析，,Q(z),=,0,和,z=,是奇点。,第22页,第22页,性质：,(3),指数函数不取零值：,e,z,0,，即,复平面上,无零点。,(1),服从加法定理：对于任意,z,1,，,z,2,，有,(2),周期性：,e,z,以,2,i,为周期,(4),e,z,在复平面上解析，且,(5),不存在，,z=,是奇点,第23页,第23页,第24页,第24页,注意,(1),e,z,也许取负值。,比如，,即不满足,Rolle,(,洛尔,),定理，可见数学分析中微分中值定理不能推广到复平面上来。,(2),在复平面上，,e,z,=e,z+,2,ki,(,k,为整数,),，但,第25页,第25页,4.,三角函数和双曲函数,称为复数,z,正弦函数,和,余弦函数,。,(2),解析性：在,复平面上处处解析（为何？）,且,(1),当,z,为实数时，与普通,正弦函数,和,余弦函数相同。,2,）,性质,(4),遵从通常三角恒等式,(3),周期性：以,2,为周期,1,）,定义,：把,第26页,第26页,（,5,）无界函数：,与 不成立！,我们把,分别称为,z,正切、余切、正割,和,余割,函数。,第27页,第27页,第28页,第28页,双曲函数,我们分别称,为双曲余弦函数，双曲正弦函数和双曲正切函数。,第29页,第29页,第30页,第30页,双曲函数性质,(2),解析性,(1),奇偶性,(3),加法定理成立,(4),周期性,(5),与三角函数关系,第31页,第31页,2,多值函数和单值分枝,1.,根式函数,-,幂函数反,函数,多值函数，,n,值,根式函数多值性源于辐角多值性，也能够说，是因为自变量z能够绕支点转动，造成辐角改变假如以某种方式把z平面割破，使得自变量z不能绕支点转动，这等价于对宗量辐角取值范围加以限制，则函数值就变成确定，也就是得到了一个单值分支对辐角取值范围加以不同限制就得到不同单值分支,第32页,第32页,对于一个给定点,z,0,和给定函数,w=f,(,z,),，假如变点,z,在,z,0,点充足小邻域内绕,z,0,转一周回到本来点时，函数值与本来值不相同，则称此,z,0,点为函数,f,(,z,),支点,。,根式函数,如在复平面上割破,(,连接,z,=0,和,z,=,点,),负实轴,(,原则上，可用任一条连结,z,=0,和,z,=,射线，把,z,平面割破,),，点,z,就算也不能绕支点,z,=0,和支点,z=,缭绕了。因此，任意点幅角都是唯一拟定。,普通地，用来割破,z,平面借以分出多值函数单值分支割线，称为,支割线,(,通俗地说，支割线就是支点连线,),。,第33页,第33页,函数 黎曼面,在z平面上割破(连接z=0和z=)负实轴，能够得到 两个不同完全分离单值函数。,第34页,第34页,为了直观地表示出,w,0,及,w,1,来，我们设想两个,z,平面相重迭，原点位置与实轴、虚轴方向都相同，在上平面用,D,0,表示，相称于,-,；在下平面用,D,1,表示，相称于,3,并且沿着支割线,(,即从原点出发负半轴,),使,D,0,上岸,(,=,),与,D,1,下岸,(,=,),粘合,并使,D,1,上岸,(,=,3,),与,D,0,下岸,(,=,-,)“,粘合,”,，这样模型就,是 黎曼面。,两叶截口处互相交叉，其在支割线垂直纵面如图。,第35页,第35页,2.,对数函数,-,指数函数,反,函数,表示式：,称 为,Lnz,主值，记为,ln,z,，即,定义：,满足 函数,w,=,f,(,z,),称为对数函数，记为,为一单值,函数,对数函数为无穷,多值函数，,对每一个,k,值称为,Lnz,一个分支,第36页,第36页,解析性：,w,=Ln,z,在,各个分支，即除去原点及负实轴平面内解析，并且有相同导数值,。,性质,:,设,z,1,0,z,2,0,，则,注意,普通不能有,ln(,z,1,z,2,)=ln,z,1,+ln,z,2,等式子，这一点要尤其小心。,第37页,第37页,第38页,第38页,2,）,等式,不再成立。,(,请举出例子,),注意 1)在复变函数中，负数也有对数。这一点和实变函数中不同，而且正实数对数在复变函数中也是无穷多值。,第39页,第39页,3.,普通幂函数,我们定义,Z,s,=,e,s,ln,z,(,s,为复数，,z0),为普通,幂函数。,由于,因此，普通来说,z,s,是一个多值函数，称,为,z,s,主值。,第40页,第40页,尤其,(,1),当,s,=,n,(,n,为正整数,),时，,w=z,s,=,z,n,为单值函数，它是,zn,次乘方。,(2),当,s,=-,n,(,n,为正整数,),时,，,(3),当,(,n,为正整数,),时，,为根式函数，是,n,多值函数,(4),当,(,p,和,q,为,互质整数，,q,0),时，,zs含有q个不同值，即当k=0,1,q-1时对应各个值,(,5),当,s,是无理数或普通复数,(Im,s,0),时，,z,s,含有无穷多值。,第41页,第41页,(1),z,s,在除去原点与负实轴,z,平面上解析，而,z,n,在整个,z,平面上解析,(,当,n,取负整数时除去原点,),。,普通幂函数,w=z,s,解析性,在单值分支内普通幂函数是单值函数,w=z,s,=e,slnz,也是除去原点与负实轴,z,平面上解析函数，并且,注意,普通幂函数,z,s,与整多次幂函数,z,n,有下列两点较大区别：,(2),z,s,是无穷多值函数，而,z,n,是单值函数。,第42页,第42页,4.,反三角函数,定义：,满足,z,=sin,w,（,z,=cos,w),函数,w,=,f,(,z,),称,为反正,(,余,）,弦,函数，记为 。,第43页,第43页,第三节,解析函数和调和函数,一、,Laplace,方程和调和函数,二元函数,u(x,y),有连续二阶偏导数，且满足,Laplace,方程,则,u,(,x,y,),是调和函数。,第44页,第44页,二、解析函数实部和虚部是调和函数,如 是解析函数，则,u,(,x,y,),和,v,(,x,y,),是调和函数。,第45页,第45页,三、共轭调和函数,解析函数实部和虚部是调和函数，但是任何二个调和函数并不一定能构成解析函数，能够构成解析函数二个调和函数称为共轭调和函数。,定义,:,设,f,(,z,)=,u+iv,为解析函数，则称,v,为,u,共轭调和函数。,利用,C-R,条件，能够求出任何一个调和函数共轭调和函数，普通有二个办法：,1,）利用,C-R,条件进行积分，,2,）利用全微分进行积分,3),不定积分法（第三章中讲）。,第46页,第46页,1,）利用,C-R,条件进行积分,由,u,求,v,由于,v,y,=,u,x,因此,其中,F,（,x,y,）,是已知函数，,C,（,x,y,）是,待定,参数,。,即可求出,C(x),从而,v(x,y)=,F,（,x,y,）,+,C,（,x,y,）,第47页,第47页,2,）利用全微分进行积分,设,u,为解析函数,f(z),实部。由于,u,和,v,是调和函数，一定是可微，它全微分是,全微分积分和积分路径无关，仅和起点和终点相关。,依据,C-R,条件，全微分又能够写成,积分路径起点是定点。,第48页,第48页,3,）不定积分法,由解析函数导数,第49页,第49页,例,1,已知,第50页,第50页,