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数学高考热点、盲点透析向量【重点难点解析】通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.例1 判断下列各命题是否正确(1)若=，则=(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.(3)若=,=,则=(4)两向量、相等的充要条件是(5)=是向量=的必要不充分条件.(6) =的充要条件是A与C重合，B与D重合.解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.(2)正确.=,=且.又A、B、C、D是不共线的四点.四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则DC，且与方向相同，因此=.(3)正确.=，的长度相等且方向相同；又=，的长度相等且方向相同.，的长度相等且方向相同，故 =(4)不正确.当,但方向相反，即使=，也不能得到=，故不是=的充要条件.(5)正确.这是因为=,但=,所以=是 =的必要不充分条件.(6)不正确.这是因为=时，应有：=及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合.说明：针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向、相等的充要条件应是、的方向相同且模相等.针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.结论(6)不正确，告诉我们平面向量与相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.例2 如图所示，ABC中，三边长AB、BC、AC均不相等，E、F、D是AC，AB，BC的中点.(1)写出与共线的向量.(2)写出与的模大小相等的向量.(3)写出与相等的向量.解：(1)E、F分别是AC，AB的中点EFBC从而，与共线的向量，包括：，.(2)E、F、D分别是AC、AB、BC的中点EF=BC,BD=DC= BC.又AB、BC、AC均不相等从而，与的模大小相等的向量是：、(3)与相等的向量，包括：、.例3 判断下列命题真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共线向量一定相等.(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.(4)不相等的向量，则一定不平行.(5)非零向量的单位向量是.解：(1)假命题，还可以方向相反；(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等；(3)真命题，因为向量与起点位置无关；(4)假命题，因为若,方向相同，但只要，则.(5)真命题，任一非零向量：的单位向量为.例4 如图，已知：四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC的中点，又=.求证：=，证明：=AB=DC，且ABDC.从而，四边形ABCD是平行四边形.ADBC，AD=BCN、M分别是AD、BC的中点.AN=AD,MC=BC.AN=MC.又ANMC，四边形AMCN是平行四边形.于是得：AMNC，AM=NC.又由图可知：与的方向一致.=【基础知识精讲】1.向量的定义既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. 表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的向量)，也可以用字母a、b、c等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用、注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).2.向量的模所谓向量的大小，就是向量的长度(或称模)，记作或者.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用表示. 向量的方向是不定的，或者说任何方向都是向量的方向，因此向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.4.平行向量、共线向量方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如与也是一对平行向量.由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量与是一组共线向量；向量与也是一组共线向量.5.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作=.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【难题巧解点拔】例1 如图，已知四边形ABCD是矩形，O是两对角线AC与BD的交点，设点集M=A,B,C,D,O、向量的集合T=任P，QM，且P、Q不重合，试求集合T的子集个数.分析：要确定向量为元素的集合T有多少个子集，就需搞清楚集合T中有多少个相异的向量.解：以矩形ABCD的四顶点及它的对角线交点O，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：=、=;=、=;、；、；=、=;=、=.它们中有12个向量是各不相等的.故T是一个12元集.所以T有212个子集.说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出T中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.例2 已知；如图，点D在ABC的边BC上，且与B、C不重合，E、F分别在AB、AC上，=.(1)求证：BDEDCF.(2)求当D在什么位置时，四边形AEDF的面积可以取到最大值?证明：(1)=DFAE，DF=EA.从而，得：四边形AEDF是平行四边形DEAF，DE=AF由DEAF可得：BDE=C由DFAE可得：B=FDCBDEDCF(2)设BC=a,AC=b,AB=c,BD=x,则DC=a-x.BDEDCF.=从而，=，设比为k1.=，设比为k2.由BE+DF=c,ED+FC=b.可得：xk1+(a-x)k1=c,k1=.xk2+(a-x)k2=b,k2=.DF=(a-x)DE=x由点F作FTAB，垂足为T由锐角三角函数，FT=AFsinA=xsinASAEDF=DFFT=(a-x)xsinA= (ax-x2)sinA=-(x-)2sinAsinA当且仅当x=时，等号成立.答：D是BC边的中点时，SAEDF取到最大值.例3 如图A1，A2，A8是O上的八个等分点，则在以A1，A2A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径倍的向量有多少个?分析：(1)由于A1、A2A8是O上的八个等分点，所以八边形A1A2A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与O的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是与 (i=1,2,，8)两类.(2)O内接正方形的边长是半径的倍，所以我们应考虑与圆心O形成90圆心角的两点为端点的向量个数.解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是 (i=1,2，8)共8个；另一类是 (i=1,2,8)也有8个，两类合计16个.(2)以A1，A2，A8为顶点的O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍.所以模为半径倍的向量共有422=16个.说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算与 (i=1，2，8)两类，一般我们易想到 (i=1,2,，8)这8个，而易遗漏 (i=1，2，8)这8个.(2)圆内接正方形的一边对应了长为的两个向量.例如边A1A3对应向量与.因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.【命题趋势分析】本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.【典型热点考题】例1 给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所以(3)也是假命题.选A.例2 如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.(1)与向量相等的向量有 ；(2)若=3，则向量的模等于 .分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得=且=，所以=.于是E、D、C三点共线，故=+=2=6.答：(1) ，；(2)6例3 下列命题中，正确的是( )A.=B.C. =D.=0=0解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.应排除D，应选C.例4 下列四个命题：若=0,则=0；若=,则=或=-；若与是平行向量，则=；若=，则-=正确命题个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4分析：是忽略了0与不同，由于=0=,但不能写成0；是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同或相反；是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；正确，故选A.本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.下列命题中的假命题是( )A.向量与的长度相等B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等2.如图，在圆O中，向量，是( )A.有相同起点的向量 B.单位向量C.相等的向量D.模相等的向量 3.如图，ABC中，DEBC，则其中共线向量有( )A.一组B.二组C.三组D.四组4.若是任一非零向量，是单位向量，下列各式；0；=1；=，其中正确的有( )A.B.C.D.5.四边形ABCD中，若向量与是共线向量，则四边形ABCD( )A.是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一个圆面C.圆上的一群弧立点D.一个圆7.若，是两个不平行的非零向量，并且, ，则向量等于( )A. B. C. D. 不存在8.命题p：与是方向相同的非零向量，命题q: 与是两平行向量，则命题p是命题q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、判断题1.向量与是两平行向量.( )2.若是单位向量，也是单位向量，则=.( )3.长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30的向量就不是单位向量.( )4.与任一向量都平行的向量为向量.( )5.若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形.( )6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.( )7.设O是正三角形ABC的中心，则向量的长度是长度的倍.( )8.已知四边形ABCD是菱形，则=是菱形ABCD为正方形的充要条件.( )9.在坐标平面上，以坐标原点O为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆.( )10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )三、填空题1.已知，为非零向量，且与不共线，若，则与必定 .2.已知=4,=8，AOB=60，则= .3.如图，已知O是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有 个. 4.如图所示，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形，则与向量共线的向量有 ；若=1.5,则= .5.已知四边形ABCD中，=,且=,则四边形ABCD的形状是 .四、解答题1.如图，在ABC中，已知：向量=,=,求证：=.2.在直角坐标系中，将所有与y轴共线的单位向量的起点移到x轴上，其终点的集合构成什么图形?【素质优化训练】1.已知、是任意两个向量，下列条件：=;=;与的方向相反；=或=;与都是单位向量.其中，哪些是向量与共线的充分不必要条件 .2.已知ABCD是等腰梯形，ABDC，下列各式：=;=;=;.正确的式子的序号是 .3.不相等的向量和，有可能是平行向量吗?若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.4.下列各组量是不是向量?如果是向量，说明这些向量之间有什么关系?(1)两个三角形的面积S1，S2；(2)桌面上两个物体各自受到的重力F1，F2；(3)某人向河对岸游泳的速度v1与水流的速度v2；(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.【生活实际运用】某人从A点出发向西走了10米，到达B点，然后改变方向按西偏北60走了15米到达C点，最后又向东走了10米到达D点.(1)作出向量、 (用1cm长的线段表示10m长)；(2)求.解：(1)(2)显然=,故=15cm【知识验证实验】已知某轮船从S岛沿北偏西30的方向航行了45海里，请你用有向线段表示此轮船的位移.【知识探究学习】一小球在30m高处，以2m/s的速度水平抛出，请你用有向线段画出小球经过2S后的水平位移，竖直位移，并计算出实际位移的大小.(g=10m/s2)解：依题意：v0=2m/s,t=2s水平位移x=22=4m竖直位移h=gt2=20m实际位移大小是：=4m参考答案【同步达纲练习】一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A二、1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.三、1.不共线 2.4 3.12 4.， 3 5.等腰梯形四、1.提示：证F平分AC，E平分BC.2.平行于x轴，且与x轴的距离为1的两条直线【素质优化训练】1. 2.3.有三种情况：(1)两个向量和中有一个是零向量，另一个是非零向量；(2)向量，为模不相等，方向相同的两个非零向量；(3)向量，为非零向量且方向相反4.(1)不是向量 (2)是向量，它们是方向相同的向量 (3)是向量，不共线 (4)模相等方向相反的向量巧用几何条件解中考数学压轴题时要运用众多的数学思想方法，当用到数形结合的思想方法时，若能巧用题中的几何条件，便能达到事半功倍的效果现以2010年某些省市中考数学压轴题为例，谈谈如何巧用几何条件解压轴题1 把握图形的最佳条件，化繁为简巧解题某些压轴题以函数图象和特殊四边形为背景，图形有多条性质对解题都有帮助，但运算量差异较大，由于运算费时会造成考试隐形失分如能把握图形的最有利条件，会达到化繁为简巧解题的效果 例1、（临沂市）如图1，二次函数y=x2 + ax + b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由ACB图1【简析】：题（3）求P点的坐标，首先要用到分类讨论的思想，具体情况为：以BC为底边；以AC为底边，其解题方法相同在运用直角梯形性质时有两种不同的解法：其一、运用BCAP，如图2所示，先求直线BC的解析式，再由BCAP求直线AP的解析式，点既在抛物线上，又在直线上，点的纵坐标相等，进一步通过一元二次方程求解其二、构造RtAPD如图3所示，由RtAPDRtBCO得，即可解得P点的坐标 （例2图1）2构造相似三角形，寻求捷径巧解题以函数图象和显形或隐含的三角形为背景的压轴题，解题中若注意构造相似或全等三角形，并利用其某些性质，能达到寻求捷径，提高解题效率的效果例2、(杭州市)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为(4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标； (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时. 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.【简析】：题（2） 求t关于x的函数解析式，其中“四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形”这一条件怎么用？从RtOMC联想构造RtHQP，进一步发现CMPQ，因此有RtHQPRtOMC，如图4，过点Q作QH x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = xt ，由HQPOMC，得：，即： t = x 2y ， t = + x 2. 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值，要用到分类讨论的思想，具体情况为： ()当CM PQ时，则点P在线段OC上，CM = 2PQ ，从RtHQPRtOMC得，点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，t = + 0 2 = 2；() 当CM PQ时，则点P在OC的延长线上，其解题方法相同3、转换图形背景，另辟蹊径巧解题以四边形或隐含的全等、相似三角形为背景的压轴题，解题中若另辟蹊径应用图形面积的等积变换，可以免去繁杂的运算，使问题得到巧解.例3、( 湖南常德市)如图5，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE.(1)当正方形GFED绕D旋转到如图6的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(2)当正方形GFED绕D旋转到如图7的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.求证：AGCH；当AD=4，DG=时，求CH的长.ABCDEF图5GAD图6FEBCGADBCEFHM图7【简析】：题（2）求CH的长，若从RtAHC下手用勾股定理，那么求AH的长运算相当繁杂（要用两次相似和一次勾股定理，有兴趣的读者可自己研究）. 如果从研究四边形ACDG的面积，运用面积的等积变换可达到达到事半功倍的效果如图8， ，从而有ADPG+ADDC=AGCH+CD1（以CD为底边的CDG的高=PD=1），求PG、AG比较简单，只要过作于，有，进一步有的长为. 图8高中数学公式口诀大全一、集合与函数内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，YX是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。二、三角函数三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；三、不等式解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。四、数列等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：首先验证再假定，从 K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。五、复数虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。六、排列、组合、二项式定理加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。七、立体几何点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。八、平面解析几何有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者一来对应，开创几何新途径。两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。1.诱导公式sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2-a)=cos(a) cos(2-a)=sin(a) sin(2+a)=cos(a) cos(2+a)=-sin(a) sin(-a)=sin(a) cos(-a)=-cos(a) sin(+a)=-sin(a) cos(+a)=-cos(a) 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos()sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(b) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 5.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a) 6.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2) 7.其它公式(推导出来的 ) asin(a)+bcos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba asin(a)+bcos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab 1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2)2 1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2)2 公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|a|+|b|a-b|a|+|b|a|b-bab|a-b|a|-|b|-|a|a|a|一元二次方程的解-b+(b2-4ac)/2a -b-b+(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac0注：方程有一个实根b2-4ac0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h斜棱柱侧面积S=c*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*ra是圆心角的弧度数r 0扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=SL 注：其中,S是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式V=s*h圆柱一生受用的数学公式 作者：HITMAN编辑 坐标几何 一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0)，称为 原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。 一条直线可以用方程式ymxc来表示，m是直线的斜率（gradient）。这条直线与y轴相交于 (0, c)，与x轴则相交于(c/m, 0)。垂直线的方程式则是xk，x为定值。 通过(x0, y0)这一点，且斜率为n的直线是 yy0n(xx0) 一条直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是 y(y2y1x2x1)(xx2)y2 x1x2 若两直线的斜率分别为m与n，则它们的夹角满足于 tanmn1mn 半径为r、圆心在(a, b)的圆，以(xa) 2(yb) 2r2表示。 三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z轴而已，例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球， 以(xa) 2(yb) 2(zc) 2r2表示。 三维空间平面的一般式为axbyczd。 三角学 边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为。它的六个三角函数分别为：正弦（sine）、余弦 （cosine）、正切（tangent）、余割（cosecant）、正割（secant）和余切（cotangent）。 sinb/ccosa/ctanb/a cscc/bsecc/acota/b 若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。 acosbsin 依照勾股定理,我们知道a2b2c2。因此对于圆上的任何角度，我们都可得出下列的全等式： cos2sin21 三角恒等式 根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式（identity）： tansin/cos，cotcos/sin sec1/cos，csc