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数学高考热点、盲点透析
向量

【重点难点解析】
通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.
例1 判断下列各命题是否正确
(1)若｜｜=｜｜，则=
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.
(3)若=,=,则=
(4)两向量、相等的充要条件是

(5)｜｜=｜｜是向量=的必要不充分条件.
(6) =的充要条件是A与C重合，B与D重合.
解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
(2)正确.∵=,∴｜｜=｜｜且∥.
又A、B、C、D是不共线的四点.
∴四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则∥DC，且与方向相同，因此=.
(3)正确.∵=
∴，的长度相等且方向相同；
又∵=
∴，的长度相等且方向相同.
∴，的长度相等且方向相同，故 =
(4)不正确.当∥,但方向相反，即使｜｜=｜｜，也不能得到=，故

不是=的充要条件.
(5)正确.这是因为=,但=｜｜=｜｜,所以｜｜=｜｜是 =的必要不充分条件.
(6)不正确.这是因为=时，应有：｜｜=｜｜及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合.
说明：①针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向、相等的充要条件应是、的方向相同且模相等.
②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.
③结论(6)不正确，告诉我们平面向量与相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.
例2 如图所示，△ABC中，三边长｜AB｜、｜BC｜、｜AC｜均不相等，E、F、D是AC，AB，BC的中点.

(1)写出与共线的向量.
(2)写出与的模大小相等的向量.
(3)写出与相等的向量.
解：(1)∵E、F分别是AC，AB的中点
∴EF∥BC
从而，与共线的向量，包括：
，，，，，，.
(2)∵E、F、D分别是AC、AB、BC的中点
∴EF=BC,BD=DC= BC.
又∵AB、BC、AC均不相等
从而，与的模大小相等的向量是：、、、、
(3)与相等的向量，包括：、.
例3 判断下列命题真假
(1)平行向量一定方向相同.
(2)共线向量一定相等.
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.
(4)不相等的向量，则一定不平行.
(5)非零向量的单位向量是±.
解：(1)假命题，还可以方向相反；
(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等；
(3)真命题，因为向量与起点位置无关；
(4)假命题，因为若,方向相同，但只要｜｜≠｜｜，则≠.
(5)真命题，任一非零向量：的单位向量为±.
例4 如图，已知：四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC的中点，又=.

求证：=，
证明：∵=
∴｜AB｜=｜DC｜，且AB∥DC.从而，四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC，AD=BC
∵N、M分别是AD、BC的中点.
∴AN=AD,MC=BC.
∴AN=MC.
又AN∥MC，
∴四边形AMCN是平行四边形.于是得：AM∥NC，｜AM｜=｜NC｜.
又由图可知：与的方向一致.
∴=

【基础知识精讲】
1.向量的定义
既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. 表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的向量)，也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用、、注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).
2.向量的模
所谓向量的大小，就是向量的长度(或称模)，记作｜｜或者｜｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用表示. 向量的方向是不定的，或者说任何方向都是向量的方向，因此向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.
4.平行向量、共线向量
方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如与也是一对平行向量.
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量与是一组共线向量；向量与也是一组共线向量.
5.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作=.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
【难题巧解点拔】
例1 如图，已知四边形ABCD是矩形，O是两对角线AC与BD的交点，设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={｜任P，Q∈M，且P、Q不重合}，试求集合T的子集个数.

分析：要确定向量为元素的集合T有多少个子集，就需搞清楚集合T中有多少个相异的向量.
解：以矩形ABCD的四顶点及它的对角线交点O，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：=、=;=、=;、；、；=、=;=、=.它们中有12个向量是各不相等的.故T是一个12元集.所以T有212个子集.
说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出T中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.
例2 已知；如图，点D在△ABC的边BC上，且与B、C不重合，E、F分别在AB、AC上，=.

(1)求证：△BDE∽△DCF.
(2)求当D在什么位置时，四边形AEDF的面积可以取到最大值?
证明：(1)∵=
∴DF∥AE，｜DF｜=｜EA｜.
从而，得：四边形AEDF是平行四边形
∴DE∥AF，｜DE｜=｜AF｜
由DE∥AF可得：∠BDE=∠C
由DF∥AE可得：∠B=∠FDC
∴△BDE∽△DCF
(2)设｜BC｜=a,｜AC｜=b,｜AB｜=c,｜BD｜=x,则｜DC｜=a-x.
∵△BDE∽△DCF.
∴==
从而，=，设比为k1.
=，设比为k2.
由｜BE｜+｜DF｜=c,｜ED｜+｜FC｜=b.
可得：xk1+(a-x)k1=c,∴k1=.
xk2+(a-x)k2=b,∴k2=.
∴｜DF｜=(a-x)
｜DE｜=x
由点F作FT⊥AB，垂足为T
由锐角三角函数，｜FT｜=｜AF｜sinA=x·sinA
∴S□AEDF=｜DF｜·｜FT｜=(a-x)·x·sinA
= (ax-x2)sinA
=［-(x-)2］sinA≤sinA
当且仅当x=时，等号成立.
答：D是BC边的中点时，S□AEDF取到最大值.
例3 如图A1，A2，…A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2…A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径倍的向量有多少个?

分析：(1)由于A1、A2…A8是⊙O上的八个等分点，所以八边形A1A2…A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是与 (i=1,2,…，8)两类.
(2)⊙O内接正方形的边长是半径的倍，所以我们应考虑与圆心O形成90°圆心角的两点为端点的向量个数.
解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是 (i=1,2，…，8)共8个；另一类是 (i=1,2,…,8)也有8个，两类合计16个.
(2)以A1，A2，…，A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍.所以模为半径倍的向量共有4×2×2=16个.
说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算与 (i=1，2，…，8)两类，一般我们易想到 (i=1,2,…，8)这8个，而易遗漏 (i=1，2，…，8)这8个.
(2)圆内接正方形的一边对应了长为的两个向量.例如边A1A3对应向量与.因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.

【命题趋势分析】
本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.

【典型热点考题】
例1 给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所以(3)也是假命题.
∴选A.
例2 如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.

(1)与向量相等的向量有 ；(2)若｜｜=3，则向量的模等于 .
分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得=且=，所以=.于是E、D、C三点共线，故｜｜=｜｜+｜｜=2｜｜=6.
答：(1) ，；(2)6
例3 下列命题中，正确的是( )
A.｜｜=｜｜= B.｜｜＞｜｜＞
C. =｜｜∥｜｜ D.｜｜=0=0
解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.
∴应排除D，∴应选C.
例4 下列四个命题：①若｜｜=0,则=0；②若｜｜=｜｜,则=或=-；③若与是平行向量，则｜｜=｜｜；④若=，则-=正确命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：①是忽略了0与不同，由于｜｜=0=,但不能写成0；
②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同或相反；
③是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；
④正确，故选A.

本周强化练习：

【同步达纲练习】
一、选择题
1.下列命题中的假命题是( )
A.向量与的长度相等
B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
2.如图，在圆O中，向量，，是( )
A.有相同起点的向量 B.单位向量
C.相等的向量 D.模相等的向量

3.如图，△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有( )
A.一组 B.二组 C.三组 D.四组
4.若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1；⑤=，其中正确的有( )
A.①④⑤ B.③ C.①②③⑤ D.②③⑤
5.四边形ABCD中，若向量与是共线向量，则四边形ABCD( )
A.是平行四边形 B.是梯形
C.是平行四边形或梯形 D.不是平行四边形，也不是梯形
6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一条线段 B.一个圆面
C.圆上的一群弧立点 D.一个圆
7.若，是两个不平行的非零向量，并且∥, ∥，则向量等于( )
A. B. C. D. 不存在
8.命题p：与是方向相同的非零向量，命题q: 与是两平行向量，则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

二、判断题
1.向量与是两平行向量.( )
2.若是单位向量，也是单位向量，则=.( )
3.长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.( )
4.与任一向量都平行的向量为向量.( )
5.若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形.( )
6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.( )
7.设O是正三角形ABC的中心，则向量的长度是长度的倍.( )
8.已知四边形ABCD是菱形，则｜｜=｜｜是菱形ABCD为正方形的充要条件.( )
9.在坐标平面上，以坐标原点O为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆.( )
10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )

三、填空题
1.已知，，为非零向量，且与不共线，若∥，则与必定 .
2.已知｜｜=4,｜｜=8，∠AOB=60°，则｜｜= .
3.如图，已知O是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有 个.

4.如图所示，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形，则
①与向量共线的向量有 ；
②若｜｜=1.5,则｜｜= .
5.已知四边形ABCD中，=,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD的形状是 .

四、解答题
1.如图，在△ABC中，已知：向量=,=,求证：=.

2.在直角坐标系中，将所有与y轴共线的单位向量的起点移到x轴上，其终点的集合构成什么图形?

【素质优化训练】
1.已知、是任意两个向量，下列条件：①=;②｜｜=｜｜;③与的方向相反；④=或=;⑤与都是单位向量.其中，哪些是向量与共线的充分不必要条件 .
2.已知ABCD是等腰梯形，AB∥DC，下列各式：①=;②=;③｜｜=｜｜;④｜｜≠｜｜;⑤∥.
正确的式子的序号是 .
3.不相等的向量和，有可能是平行向量吗?若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.
4.下列各组量是不是向量?如果是向量，说明这些向量之间有什么关系?
(1)两个三角形的面积S1，S2；
(2)桌面上两个物体各自受到的重力F1，F2；
(3)某人向河对岸游泳的速度v1与水流的速度v2；
(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.

【生活实际运用】
某人从A点出发向西走了10米，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15米到达C点，最后又向东走了10米到达D点.
(1)作出向量、、 (用1cm长的线段表示10m长)；
(2)求｜｜.
解：(1)

(2)显然=,故｜｜=｜｜=15cm

【知识验证实验】
已知某轮船从S岛沿北偏西30°的方向航行了45海里，请你用有向线段表示此轮船的位移.

【知识探究学习】
一小球在30m高处，以2m/s的速度水平抛出，请你用有向线段画出小球经过2S后的水平位移，竖直位移，并计算出实际位移的大小.(g=10m/s2)

解：依题意：v0=2m/s,t=2s
水平位移x=2×2=4m
竖直位移h=gt2=20m
实际位移大小是：｜｜===4m

参考答案
【同步达纲练习】
一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A
二、1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.× 7.√ 8.√ 9.√ 10.×
三、1.不共线 2.4 3.12 4.①，，，，，， ②3 5.等腰梯形
四、1.提示：证F平分AC，E平分BC.
2.平行于x轴，且与x轴的距离为1的两条直线
【素质优化训练】
1.①③④ 2.②④⑤
3.有三种情况：(1)两个向量和中有一个是零向量，另一个是非零向量；
(2)向量，为模不相等，方向相同的两个非零向量；
(3)向量，为非零向量且方向相反
4.(1)不是向量 (2)是向量，它们是方向相同的向量 (3)是向量，不共线 (4)模相等方向相反的向量

巧用几何条件

解中考数学压轴题时要运用众多的数学思想方法，当用到数形结合的思想方法时，若能巧用题中的几何条件，便能达到事半功倍的效果．现以2010年某些省市中考数学压轴题为例，谈谈如何巧用几何条件解压轴题．
1． 把握图形的最佳条件，化繁为简巧解题．
某些压轴题以函数图象和特殊四边形为背景，图形有多条性质对解题都有帮助，但运算量差异较大，由于运算费时会造成考试隐形失分．如能把握图形的最有利条件，会达到化繁为简巧解题的效果．
例1、（临沂市）如图1，二次函数y=﹣x2 + ax + b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
A
C
B
图1

【简析】：题（3）求P点的坐标，首先要用到分类讨论的思想，具体情况为：①以BC为底边；②以AC为底边，其解题方法相同．
在运用直角梯形性质时有两种不同的解法：其一、运用BC∥AP，如图2所示，先求直线BC的解析式，再由BC∥AP求直线AP的解析式，∵点既在抛物线上，又在直线上，∴点的纵坐标相等，进一步通过一元二次方程求解．

其二、构造Rt△APD如图3所示，由Rt△APD∽Rt△BCO得，即可解得P点的坐标．

（例2图1）
2．构造相似三角形，寻求捷径巧解题．
以函数图象和显形或隐含的三角形为背景的压轴题，解题中若注意构造相似或全等三角形，并利用其某些性质，能达到寻求捷径，提高解题效率的效果．
例2、(杭州市)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.
(1) 写出点M的坐标；
(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
【简析】：题（2）① 求t关于x的函数解析式，其中“四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形”这一条件怎么用？从Rt△OMC联想构造Rt△HQP，进一步发现CM∥PQ，因此有Rt△HQP∽Rt△OMC，如图4，过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，由△HQP∽△OMC，得：，即： t = x – 2y ，∴ t = –+ x –2.
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值，要用到分类讨论的思想，具体情况为： (Ⅰ)当CM > PQ时，则点P在线段OC上，CM = 2PQ ，从Rt△HQP∽Rt△OMC得，点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，∴t = –+ 0 –2 = –2；(Ⅱ) 当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，其解题方法相同．

3、转换图形背景，另辟蹊径巧解题
以四边形或隐含的全等、相似三角形为背景的压轴题，解题中若另辟蹊径应用图形面积的等积变换，可以免去繁杂的运算，使问题得到巧解.
例3、( 湖南常德市)如图5，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
(1)当正方形GFED绕D旋转到如图6的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
(2)当正方形GFED绕D旋转到如图7的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.
①求证：AG⊥CH；
②当AD=4，DG=时，求CH的长.
A
B
C
D
E
F
图5
G
A
D
图6
F
E
B
C
G
A
D
B
C
E
F
H
M
图7

【简析】：题（2）②求CH的长，若从Rt△AHC下手用勾股定理，那么求AH的长运算相当繁杂（要用两次相似和一次勾股定理，有兴趣的读者可自己研究）. 如果从研究四边形ACDG的面积，运用面积的等积变换可达到达到事半功倍的效果．如图8， ，从而有AD·PG+AD·DC=AG·CH+CD×1（以CD为底边的△CDG的高=PD=1），求PG、AG比较简单，只要过作于，有
∴，，进一步有的长为.

图8

高中数学公式口诀大全
一、《集合与函数》
内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。
复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。
指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。
函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数；
正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。
两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Y＝X是对称轴；
求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。
幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，
奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。
二、《三角函数》
三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；
中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，
顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，
变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，
将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，
余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；
1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；
三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；
利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；
三、《不等式》
解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。
四、《数列》
等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。
数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，
取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：
一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：
首先验证再假定，从 K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。
五、《复数》
虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。
对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。
箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。
代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。
一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。
利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，
减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。
三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。
辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，
两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。
六、《排列、组合、二项式定理》
加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。
七、《立体几何》
点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。
垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。
方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。
立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。
异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。
八、《平面解析几何》
有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。
笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。
两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。
三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。
四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。
解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。

1.诱导公式   
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π2-a)=cos(a)
cos(π2-a)=sin(a)
sin(π2+a)=cos(a)
cos(π2+a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
3.和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)
cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)
cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)
4.二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(b)
cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)

5.半角公式
sin2(a2)=1-cos(a)2
cos2(a2)=1+cos(a)2
tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)
6.万能公式
sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)
cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)
tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)

7.其它公式(推导出来的 )
a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba
a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab
1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2
1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2
公式分类
公式表达式
乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)/2a
-b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系
X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a
注：韦达定理
判别式
b2-4a=0

注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0

注：方程有一个实根
b2-4ac<0

注：方程有共轭复数根
三角函数公式

两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A)
ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)
sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)
cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))
tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))
ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB
注：角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
直棱柱侧面积
S=c*h
斜棱柱侧面积
S=c'*h

正棱锥侧面积
S=1/2c*h'
正棱台侧面积
S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积
S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l
球的表面积
S=4pi*r2

圆柱侧面积
S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积
S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式
l=a*r
a是圆心角的弧度数r >0
扇形面积公式
s=1/2*l*r
锥体体积公式
V=1/3*S*H
圆锥体体积公式
V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积
V=S'L

注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
柱体体积公式
V=s*h
圆柱

一生受用的数学公式
  作者：HITMAN编辑
　　坐标几何
一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0)，称为

原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。
　　一条直线可以用方程式y＝mx＋c来表示，m是直线的斜率（gradient）。这条直线与y轴相交于 (0,

c)，与x轴则相交于(–c/m, 0)。垂直线的方程式则是x＝k，x为定值。
　　通过(x0, y0)这一点，且斜率为n的直线是
y–y0＝n(x–x0)
一条直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为–1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是
y＝(y2–y1／x2–x1)(x–x2)＋y2　　 x1≠x2
　　若两直线的斜率分别为m与n，则它们的夹角θ满足于
tanθ＝m–n／1＋mn
半径为r、圆心在(a, b)的圆，以(x–a) 2＋(y–b) 2＝r2表示。

三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z轴而已，例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球，

以(x–a) 2＋(y–b) 2＋(z–c) 2＝r2表示。
三维空间平面的一般式为ax＋by＋cz＝d。
　 三角学
　　边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为：正弦（sine）、余弦

（cosine）、正切（tangent）、余割（cosecant）、正割（secant）和余切（cotangent）。
sinθ＝b/c　　cosθ＝a/c　　tanθ＝b/a
cscθ＝c/b　　secθ＝c/a　　cotθ＝a/b

若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。
a＝cosθ　　　　b＝sinθ
依照勾股定理,我们知道a2＋b2＝c2。因此对于圆上的任何角度θ，我们都可得出下列的全等式：
cos2θ＋sin2θ＝1

　　三角恒等式

根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式（identity）：
tanθ＝sinθ/cosθ，cotθ＝cosθ/sinθ
secθ＝1/cosθ，csc