云南省2010届高考数学热点：数列和解析几何.doc

高考数列考查趋势及重点热点问题
一、考查方式及走向
按新课程标准命制的海南、宁夏卷08（一小一大）年考了一个纯等差数列的大题，07（两小）、09（两小）年没有数列大题
二、考试要求与知识要点
1、常见递推数列的类型和解法：
（累加法）； （连乘法）；
（倒数法）；
（待定系数法）；
（除法除、待定系数法）等。
，待定系数法，转化为等比数列求解。
5、已知和的关系，求或，常用作差法，转化的思想。
三、近几年考题分析
例1、（2009年全国卷Ⅱ即云南卷、理19）设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列
（II）求数列的通项公式。 （）

例2、（2009年全国卷Ⅰ、理20）在数列中， .
设，求数列的通项公式； （）
求数列的前项和 （）

例3、（2008年全国卷Ⅱ即云南卷、理20）设数列的前n项和为.已知，.
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若求a的取值范围。
分析：（1）

（2）

注：注意分析已知求的三条思路。待定系数法，转化法的应用。恒成立问题的解法。

例4、（2008年全国卷Ⅰ、文22）在数列中，
（Ⅰ）设证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
分析：（1）

（2）由错项相减法得

例5、（2007年全国卷Ⅱ即云南卷、理21）设数列的首项（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设证明：，其中n为正整数。
分析：（1）

例6、（2007年全国卷Ⅰ、理22）已知数列中
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，证明：
分析：（1）

例7、（2006年全国卷Ⅱ即云南卷、理22）
设数列的前n项和为，且方程有一根为
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的通项公式；
分析：（1）；；。
（2）猜想：
由已知得，然后用数学归纳法证明。

例8、（2006年全国卷Ⅰ、理22） 设数列的前n项和
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设证明：
分析：（1）由已知得
，。
（2）

四、数列中的常见问题

4.1、数列的概念（及其关系）
例9、已知数列的前n项和满足，则数列的通项公式是 。
答：
例10、已知数列中，，则数列是 （A）
（A）单调递增数列 （B）单调递减数列 （C）摆动数列 （D）先递增后递减数列

4.2、等差、等比数列的概念与性质
例11、记等差数列的前n项和为，若，则该数列的公差d=（C）
（A）7 （B）6 （C）3 （D）2
例12、已知数列对任意的满足，那么等于（C）
（A）-165 （B）-33 （C）-30 （D）-21
例13、设是公比为正数的等比数列，若，则数列前7项的和为（C）
（A）63 （B）64 （C）127 （D）128
例14、已知等比数列中，，则前3项的和的取值范围是（D）
（A） （B） （C） （D）
例15、（08海南、宁夏17）已知是一个等差数列，且
（1）求的通项；（）
（2）求前n项和的最大值。（的最大值是4）

4.3、递推数列
例16、在数列中，（A）
（A） （B） （C） （D）
例17、设数列满足；
（1）求数列的通项公式； （） 特征根法

例18、已知数列中，
（1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和
分析：（1） （2）
例19、设数列的前n项和
（1）求； （2）证明：是等比数列； （3）求的通项公式。
答：
例20、在数列中，，.
（1）、证明数列是等比数列；
（2）、求数列的前n项和；
（3）、证明不等式，对任意.皆成立。
答：，，作差比较法。
例21、已知，点在函数的图象上，其中
（1）、证明数列是等比数列；
（2）、设，求及数列的通项。
答：，

例22、数列的前n项和为，，，
（1）、求数列的通项；
（2）、求数列的前n项和.
答：

4.4、数列的极限与数学归纳法
例23、已知数列中， 。 答：
例24、在数列中，，且成等差数列，成等比数列
（1）求，由此猜想的通项公式，并证明你的结论。
答：；数学归纳法证明。
例25、在数列中，，数列的前n项和满足，为与的等比中项，.
（1）、求的值；
（2）、求数列的通项公式。
答：

4.5、数列与函数、不等式的综合问题
例26、已知是由正数组成的数列，，且点在函数的图象上。
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求证：（，作差比较法）

五、展望
未来高考，数列试题仍会稳定趋易，可化为等差、等比的递推数列是热点，且转化为等差、等比的过程一般都有提示。明年的高考复习关注一下形如（分式型）、的递推数列（例17---例20），数列与数学归纳法的综合，归纳、猜想、证明的思想方法以及合情推理。
高考解析几何考查趋势及重点热点问题
云南省 祥云一中 董正洪 邮编（672100）
一、考查方式
解析几何的基本思想是借助坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数的方法研究几何问题。一般情况下，解析几何在高考中以三小一大的形式出现；小题常考直线和圆，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等；大题考查直线与圆锥曲线的位置关系，用设而不求的思想，借助韦达定理、弦长公式，采用方程的手段、以平面向量、不等式特别是均值不等式为工具来解决问题，计算量大、综合性强，需较强的代数式化简能力。解析几何的学科特征是“算”，特别重视算理和算法，解题时首先将几何条件转化为代数语言，从而把问题转化为方程或函数问题。
二、知识要点
1、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质。了解椭圆的参数方程，了解圆锥曲线的初步应用。
3、轨迹问题。
4、几何问题代数化的思想，曲线与方程的思想，数形结合的思想。
5、韦达定理、弦长公式。
6、平面向量、均值不等式。
三、圆锥曲线内接四边形面积的最值问题
不知为什么？近几年高考反复考查圆锥曲线内接四边形面积的最值问题。
例1、（2009年全国卷Ⅱ、理16）已知、为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为 。
1、合情推理、大胆猜测
由已知可得四边形ABCD的面积。
由均值不等式启发，猜想当和一个最大，一个最小或两者相等时有最值。
过圆内一点最大的弦为直径，最小的为垂直于直径的弦，易求得为2，所以S=4；
当和相等时，由于AC与ＢＤ垂直，ＯＭ为的平分线，，，可求得点Ｏ到ＡＣ的距离为，，得，同理，所以Ｓ＝５。
有理由大胆猜测结果是，Ｓ的最大值为５，最小值为４。
2、综合推理、实证结果
分析：可利用韦达定理、弦长公式，转化为函数的最值问题，但由于点的位置不特殊，计算量太大，不易算不下，特别是最小值，很难求出来（不妨自己尝试一下）。又由于 ，故可采用转换命题法，把M点的坐标换为，四边形ABCD的面积也不变。
设四边形ＡＢＣＤ的面积为Ｓ，则。
（１）、当ＡＣ和ＢＤ的斜率一者为０，另一者不存在时，可求得，
。
（２）、当ＡＣ的斜率存在且不为０时，设其斜率为ｋ。则

由弦长公式得 同理可得

即当且仅当时，Ｓ有最大值５
综上所述得 ，四边形PMQN的面积S的最小值为4，最大值为5。
若只求最大值，也可采用下面的方法：
＝５
当且仅当＝，即时，Ｓ有最大值５。
3、题源探究、寻根找法
高考试题具有很强的连续性，命题人员经常改编以往的考题作为新的考题，已出现过很多次了。由于圆可看作椭圆的特例，例1实际上是下面例2特殊化的结果。
例2、（05年全国卷Ⅱ21题） P、M、Q、N、四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线，与共线，且，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
分析：由得，所以四边形PMQN的面积；
（1）当PQ、MN中有一者斜率为0。另一者的斜率不存在时，有
=
（2）当PQ的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则有

==
当且仅当，即时，取等号，。
综上所述得 ，四边形PMQN的面积S的最小值为，最大值为2。
若只求最小值，还有下面的解法：
=
当且仅当，即时，取等号，S有最小值
注：此题可推广到一般，请自己尝试得出一般性结论，结论是什么呢？
把例1和例2对照一下，可看到其解法都是以均值不等式为工具，借助韦达定理、弦长公式。内接四边形的共同特征均是对角线互相垂直，面积均是对角线积的一半。例1中S取得最大值时，对角线相等；S取得最小值时，对角线一个最大为直径4，一个最小为2。例2恰好相反，S取得最大值2时，对角线一个最大为长轴，一个最小为；S取得最小值时，对角线相等。
4、借助结论、另觅它法
定理：过半径为r，圆心为O的圆内一点M作两条互相垂直的弦AC、BD，则两弦长的平方和为定值。且（ 唐秀颖主编《数学题解辞典》（平面解析几何）315页第512题）
分析：实证结果中的解法提供了此定理的一种解析证明，可设圆O的方程为，点M的坐标为，借助韦达定理、弦长公式证之。
平面几何证法：
作图，由弦长、矩形、勾股定理知：

这一定理既是例1的题源之一，又提供了此题的一种解法。
分析、设四边形ＡＢＣＤ的面积为Ｓ，则。
利用以上结论得

当且仅当时，四边形ABCD的面积S有最大值5。
例3、（2009年全国卷Ⅰ、理21） 如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。
（I）求得取值范围；
（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标
分析：（I）将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程有两个不相等的正根、
所以有 得.
（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为、、、。
则由（I）根据韦达定理有，
则

令，则
下面求的最大值。
方法一：利用三次均值不等式求解。
三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值不等式类似。

当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。
方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。
下面来处理点的坐标。设点的坐标为：
由三点共线，则得。
所以点P的坐标为（）。
例4、（2008年全国卷Ⅱ即云南卷理21） 设椭圆中心在坐标原点，A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx(k0)与AB相交于D，与椭圆相交于E、F两点。
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值。
分析：（Ⅰ）由已知得椭圆方程为，直线AB为 x+2y-2=0
；
，F）
由得。
（Ⅱ）；设A、B到直线EF：y=kx的距离分别为，则有
=
S
当且仅当，即时，四边形AEBF的面积S有最大值。
例5、（2007年全国卷Ⅰ21） 已知椭圆的左、右焦点分别为F，过F的直线交椭圆于B、D两点，过F的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。
（Ⅰ）设P点的坐标为（），证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。
分析：（Ⅰ）由知，P在以为直径的圆上，故有
1-（）=-=；
（Ⅱ）（1）当BD的斜率不存在或斜率k=0时， 四边形ABCD的面积
（2） 当BD的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则有：
由弦长公式得
同理由弦长公式可得

当且仅当，即时，取等号。
综上所述得，四边形ABCD的面积S的最小值为
方法二：
=
所以
注：S既有最小值，还有最大值4.此题也可推广到一般，请看一看此题的一般性结论与例2的一般性结论有什么关系？
研究高考、研究考纲要结合试题，历年的高考试题不仅是练习的良好素材，也是高考试题的生长点，例4、例5都是以均值不等式为工具，求椭圆内接四边形面积的最值问题，把椭圆换为抛物线，也有类似的问题，请看：
例6、（07年安徽文19） 设F是抛物线G：的焦点。
（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足，延长AF，BF分别交抛物线G于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值。
分析：（1）易求切线方程为 y=2x-4 或 y=-2x-4.
（2）由题设知AC的斜率存在且不为0，故可设AC的斜率为k，则BD的斜率为

四边形ABCD面积S==
当且仅当，即时，取等号，四边形ABCD的面积S有最小值32.
以上六题，有四题均以椭圆（圆）为背景，有两题以抛物线为背景，且六题都可以均值不等式为工具求内接四边形面积的最值，四边形的面积都可转化为三角形的面积来求，四边形的对角线（有四例）都互相垂直，。这种现象是巧合吗？是否应该引起注意？

四、近几年考题分析
例7、（2009全国卷Ⅱ理） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为
（I）求，的值；
（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
分析：(I）设，直线，由坐标原点到的距离为
则，解得 .又.
（II）由(I）知椭圆的方程为.设、
由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设
代入椭圆的方程中整理得，显然。
由韦达定理有：．．．．．．．．①
.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：
点，点P在椭圆上，即。
整理得。
又在椭圆上，即.
故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
将及①代入②解得
,=,即.
当;
当.
评析：处理解析几何题，主要是在“算”上下功夫。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。

例8、（2008年全国卷Ⅰ、理21）
双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为、，经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点，已知、、成等差数列，且与同向；
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段长为4，求双曲线的方程。
分析：
课本探源：
第三章数列、小结与复习的参考例题：
例1、求证：在直角三角形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为3：4：5。
第八章圆锥曲线、习题8.4的第6题：
6、证明从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。
可以看到课本是高考试题的重要来源，例1是以以上两题为背景编拟的；若借助以上两题的结论，可得到此题的一种解法：
方法一：
（Ⅰ） 由已知得双曲线方程为 ，不妨设为，则为，直线AB的方程为
又由OA⊥AF、=c、
由、、成等差数列得：：=3：4：5
又因为∠AOB=2∠AOF。
（Ⅱ）设直线AB与双曲线的交点为D（）、E（）则
由=、=

得b=3,a=6，双曲线方程为：
若借助课本的结论，依据题意还可得以下解法：
方法二：
（Ⅰ） 由已知得双曲线方程为 ，不妨设为，则为，直线AB的方程为
若与同向；则有∠AOB为锐角，

(a>b)
所以
由、、成等差数列得
所以
仔细分析题意，要求与同向，这容易让人联想到与可以不同向。
变式探究：
若与反向∠AOB为钝角

此时A（，B（）
，，
由、、成等差数列得
所以b=2a，
若再把AB被双曲线所截得的线段长=4变为=4，结合以上的讨论，易得以下结论及变式：
结论：若与同向且=4；双曲线方程为：。
变式1：若与反向且=4；双曲线方程为： 。
变式2：若与同向且=4；双曲线方程为：。
变式3：若与反向且=4；双曲线方程为：。
例9、（2007年全国卷Ⅱ即云南卷理20）
在直角坐标系xoy中，以O为圆心的圆与直线相切。
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使成等比数列，求的取值范围。
分析：（1）圆的方程为
（2）由成等比数列得P点的轨迹方程为
点P在圆内，得
所以有

所以
例10、（2006年全国卷Ⅰ20）
在平面直角坐标系xoy中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ）的最小值。
分析：
（1）椭圆方程为，
曲线C：
设，则，切线方程为：

M点的轨迹方程为：；
（2）
当且仅当时，有最小值3。

例11、（2006年全国卷Ⅱ即云南卷理21）
已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。
分析：
（1）设，有因为，由得

由
过A点的切线方程为：；
过B点的切线方程为：；
所以；

（2）

当且仅当时，S有最小值4。

五、高考解析几何试题的特点及对未来高考的展望
5.1特点：
1、平面向量为语言。
2、均值不等式为主要工具。当时：，。
3、函数、的性质为辅助工具。
4、圆锥曲线为背景，求四边形、三角形面积的最值为对象。
5、考查设而不求的思想、韦达定理、弦长公式。
6、综合性强，运算量大，能力要求较高，对中学数学的四种主要思想：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想都有考查。
通过对以上几例的学习、研究，可探究高考解析几何命题的一些规律和处理解析几何问题的方法、思路。

5.2、新课程标准对圆锥曲线的要求：
文科：
1、经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
2、了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程、知道它们的简单几何性质。
3、通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
理科：
1、经历从具体情景中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程、知道双曲线的有关性质。
3、能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
4、通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。

5.3、近四年全国卷圆锥曲线考查内容：

2009年
2008年
2007年
2006年
全国卷Ⅰ
抛物线与圆
双曲线
椭圆
椭圆与导数
全国卷Ⅱ
椭圆
椭圆
圆、不等式
抛物线与导数
海南、宁夏卷
椭圆
椭圆与抛物线、（文圆）
椭圆、（文圆）

5.4、趋势：未来高考，椭圆是重点，抛物线次之，双曲线有弱化的趋势。

5.5、展望：2010年全国卷Ⅱ圆锥曲线你认为会考什么呢（以什么曲线为载体）？

2009-10-9
由一道全国卷数列试题看课本的学习
云南省 祥云一中 董正洪 邮编（672100）
一例考题：
例、（2009年全国卷Ⅰ、理20）在数列中， ，.
设，求数列的通项公式；
求数列的前项和
分析：（1）、此题的解答并不困难，但由此题可得到很多启示。为了方便说明，略解如下
由，又因为
所以， ，由累加法得

（2）、，由分组求和法与错项相减法得
课本链接：
此题充分体现了高考试题“源于课本，高于课本”的命题原则。解答过程中所用方法均出自课本，但又高于课本。
1、等比数列前n项和公式的直接应用：.
2、错项相减法：等比数列前n项和公式的推导方法。
课本题：求和：S=.（P151页复习参考题B组第6题）
3、分组求和法：求通项为的数列的前n项和。（P144页习题3.5第6题）
4、累加法：等差数列通项公式的推导方法。
课本学习：
从以上例题我们可以看到学习课本应该学习什么？
1、结论知识：定义、公式、定理等基础知识及其应用。
2、过程知识：公式、定理得来过程中所体现的数学思想和方法。
3、课本上重要的例题、习题及其拓展。