云南省2010届高考数学热点：数列和解析几何.doc

高考数列考查趋势及重点热点问题一、考查方式及走向按新课程标准命制的海南、宁夏卷08（一小一大）年考了一个纯等差数列的大题，07（两小）、09（两小）年没有数列大题二、考试要求与知识要点1、常见递推数列的类型和解法：（累加法）； （连乘法）； （倒数法）；（待定系数法）；（除法除、待定系数法）等。，待定系数法，转化为等比数列求解。5、已知和的关系，求或，常用作差法，转化的思想。三、近几年考题分析例1、（2009年全国卷即云南卷、理19）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。 （）例2、（2009年全国卷、理20）在数列中， .设，求数列的通项公式； （）求数列的前项和 （）例3、（2008年全国卷即云南卷、理20）设数列的前n项和为.已知，.（）设，求数列的通项公式；（）若求a的取值范围。 分析：（1） （2） 注：注意分析已知求的三条思路。待定系数法，转化法的应用。恒成立问题的解法。例4、（2008年全国卷、文22）在数列中，（）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前n项和.分析：（1） （2）由错项相减法得例5、（2007年全国卷即云南卷、理21）设数列的首项（）求数列的通项公式；（）设证明：，其中n为正整数。 分析：（1） 例6、（2007年全国卷、理22）已知数列中（）求数列的通项公式；（）若数列中，证明：分析：（1） 例7、（2006年全国卷即云南卷、理22） 设数列的前n项和为，且方程有一根为（）求；（）求的通项公式； 分析：（1）；。（2）猜想：由已知得，然后用数学归纳法证明。例8、（2006年全国卷、理22） 设数列的前n项和（）求首项与通项；（）设证明：分析：（1）由已知得，。（2） 四、数列中的常见问题4.1、数列的概念（及其关系）例9、已知数列的前n项和满足，则数列的通项公式是 。答：例10、已知数列中，则数列是 （A）（A）单调递增数列 （B）单调递减数列 （C）摆动数列 （D）先递增后递减数列4.2、等差、等比数列的概念与性质例11、记等差数列的前n项和为，若，则该数列的公差d=（C） （A）7 （B）6 （C）3 （D）2例12、已知数列对任意的满足，那么等于（C） （A）-165 （B）-33 （C）-30 （D）-21例13、设是公比为正数的等比数列，若，则数列前7项的和为（C） （A）63 （B）64 （C）127 （D）128例14、已知等比数列中，则前3项的和的取值范围是（D）（A） （B） （C） （D）例15、（08海南、宁夏17）已知是一个等差数列，且（1）求的通项；（）（2）求前n项和的最大值。（的最大值是4）4.3、递推数列例16、在数列中，（A） （A） （B） （C） （D）例17、设数列满足； （1）求数列的通项公式； （） 特征根法 例18、已知数列中，（1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和分析：（1） （2） 例19、设数列的前n项和（1）求； （2）证明：是等比数列； （3）求的通项公式。 答：例20、在数列中，.（1）、证明数列是等比数列；（2）、求数列的前n项和；（3）、证明不等式，对任意.皆成立。答：，作差比较法。例21、已知，点在函数的图象上，其中（1）、证明数列是等比数列；（2）、设，求及数列的通项。答：，例22、数列的前n项和为，（1）、求数列的通项；（2）、求数列的前n项和.答： 4.4、数列的极限与数学归纳法 例23、已知数列中， 。 答： 例24、在数列中，且成等差数列，成等比数列（1）求，由此猜想的通项公式，并证明你的结论。 答：；数学归纳法证明。例25、在数列中，数列的前n项和满足，为与的等比中项，.（1）、求的值；（2）、求数列的通项公式。 答：4.5、数列与函数、不等式的综合问题例26、已知是由正数组成的数列，且点在函数的图象上。（1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求证：（，作差比较法）五、展望未来高考，数列试题仍会稳定趋易，可化为等差、等比的递推数列是热点，且转化为等差、等比的过程一般都有提示。明年的高考复习关注一下形如（分式型）、的递推数列（例17-例20），数列与数学归纳法的综合，归纳、猜想、证明的思想方法以及合情推理。高考解析几何考查趋势及重点热点问题 云南省 祥云一中 董正洪 邮编（672100）一、考查方式 解析几何的基本思想是借助坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数的方法研究几何问题。一般情况下，解析几何在高考中以三小一大的形式出现；小题常考直线和圆，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等；大题考查直线与圆锥曲线的位置关系，用设而不求的思想，借助韦达定理、弦长公式，采用方程的手段、以平面向量、不等式特别是均值不等式为工具来解决问题，计算量大、综合性强，需较强的代数式化简能力。解析几何的学科特征是“算”，特别重视算理和算法，解题时首先将几何条件转化为代数语言，从而把问题转化为方程或函数问题。二、知识要点1、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质。了解椭圆的参数方程，了解圆锥曲线的初步应用。3、轨迹问题。4、几何问题代数化的思想，曲线与方程的思想，数形结合的思想。5、韦达定理、弦长公式。6、平面向量、均值不等式。三、圆锥曲线内接四边形面积的最值问题不知为什么？近几年高考反复考查圆锥曲线内接四边形面积的最值问题。例1、（2009年全国卷、理16）已知、为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为 。1、合情推理、大胆猜测由已知可得四边形ABCD的面积。由均值不等式启发，猜想当和一个最大，一个最小或两者相等时有最值。过圆内一点最大的弦为直径，最小的为垂直于直径的弦，易求得为2，所以S=4；当和相等时，由于AC与垂直，为的平分线，可求得点到的距离为，得，同理，所以。有理由大胆猜测结果是，的最大值为，最小值为。2、综合推理、实证结果分析：可利用韦达定理、弦长公式，转化为函数的最值问题，但由于点的位置不特殊，计算量太大，不易算不下，特别是最小值，很难求出来（不妨自己尝试一下）。又由于 ，故可采用转换命题法，把M点的坐标换为，四边形ABCD的面积也不变。设四边形的面积为，则。（）、当和的斜率一者为，另一者不存在时，可求得，。（）、当的斜率存在且不为时，设其斜率为。则由弦长公式得 同理可得即当且仅当时，有最大值综上所述得 ，四边形PMQN的面积S的最小值为4，最大值为5。若只求最大值，也可采用下面的方法：当且仅当，即时，有最大值。3、题源探究、寻根找法高考试题具有很强的连续性，命题人员经常改编以往的考题作为新的考题，已出现过很多次了。由于圆可看作椭圆的特例，例1实际上是下面例2特殊化的结果。例2、（05年全国卷21题） P、M、Q、N、四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线，与共线，且，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。分析：由得，所以四边形PMQN的面积；（1）当PQ、MN中有一者斜率为0。另一者的斜率不存在时，有 =（2）当PQ的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则有=当且仅当，即时，取等号，。综上所述得 ，四边形PMQN的面积S的最小值为，最大值为2。若只求最小值，还有下面的解法：=当且仅当，即时，取等号，S有最小值注：此题可推广到一般，请自己尝试得出一般性结论，结论是什么呢？把例1和例2对照一下，可看到其解法都是以均值不等式为工具，借助韦达定理、弦长公式。内接四边形的共同特征均是对角线互相垂直，面积均是对角线积的一半。例1中S取得最大值时，对角线相等；S取得最小值时，对角线一个最大为直径4，一个最小为2。例2恰好相反，S取得最大值2时，对角线一个最大为长轴，一个最小为；S取得最小值时，对角线相等。4、借助结论、另觅它法定理：过半径为r，圆心为O的圆内一点M作两条互相垂直的弦AC、BD，则两弦长的平方和为定值。且（ 唐秀颖主编数学题解辞典（平面解析几何）315页第512题）分析：实证结果中的解法提供了此定理的一种解析证明，可设圆O的方程为，点M的坐标为，借助韦达定理、弦长公式证之。平面几何证法：作图，由弦长、矩形、勾股定理知：这一定理既是例1的题源之一，又提供了此题的一种解法。分析、设四边形的面积为，则。利用以上结论得当且仅当时，四边形ABCD的面积S有最大值5。例3、（2009年全国卷、理21） 如图，已知抛物线与圆相交于、四个点。（I）求得取值范围；（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标分析：（I）将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得（）抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：方程有两个不相等的正根、所以有 得. （II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为、。则由（I）根据韦达定理有，则 令，则 下面求的最大值。方法一：利用三次均值不等式求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值不等式类似。 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。下面来处理点的坐标。设点的坐标为：由三点共线，则得。所以点P的坐标为（）。例4、（2008年全国卷即云南卷理21） 设椭圆中心在坐标原点，A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx(k0)与AB相交于D，与椭圆相交于E、F两点。（）若，求k的值；（）求四边形AEBF面积的最大值。分析：（）由已知得椭圆方程为，直线AB为 x+2y-2=0；，F）由得。（）；设A、B到直线EF：y=kx的距离分别为，则有=S当且仅当，即时，四边形AEBF的面积S有最大值。例5、（2007年全国卷21） 已知椭圆的左、右焦点分别为F，过F的直线交椭圆于B、D两点，过F的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P。（）设P点的坐标为（），证明：；（）求四边形ABCD的面积的最小值。分析：（）由知，P在以为直径的圆上，故有 1-（）=-=； （）（1）当BD的斜率不存在或斜率k=0时， 四边形ABCD的面积 （2） 当BD的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则有：由弦长公式得 同理由弦长公式可得当且仅当，即时，取等号。综上所述得，四边形ABCD的面积S的最小值为 方法二： = 所以注：S既有最小值，还有最大值4.此题也可推广到一般，请看一看此题的一般性结论与例2的一般性结论有什么关系？ 研究高考、研究考纲要结合试题，历年的高考试题不仅是练习的良好素材，也是高考试题的生长点，例4、例5都是以均值不等式为工具，求椭圆内接四边形面积的最值问题，把椭圆换为抛物线，也有类似的问题，请看：例6、（07年安徽文19） 设F是抛物线G：的焦点。（）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程；（）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足，延长AF，BF分别交抛物线G于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值。 分析：（1）易求切线方程为 y=2x-4 或 y=-2x-4. （2）由题设知AC的斜率存在且不为0，故可设AC的斜率为k，则BD的斜率为 四边形ABCD面积S=当且仅当，即时，取等号，四边形ABCD的面积S有最小值32.以上六题，有四题均以椭圆（圆）为背景，有两题以抛物线为背景，且六题都可以均值不等式为工具求内接四边形面积的最值，四边形的面积都可转化为三角形的面积来求，四边形的对角线（有四例）都互相垂直，。这种现象是巧合吗？是否应该引起注意？四、近几年考题分析例7、（2009全国卷理） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值；（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。分析：(I）设，直线，由坐标原点到的距离为 则，解得 .又.（II）由(I）知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然。由韦达定理有：.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点，点P在椭圆上，即。整理得。 又在椭圆上，即.故将及代入解得,=,即.当;当.评析：处理解析几何题，主要是在“算”上下功夫。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。例8、（2008年全国卷、理21） 双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为、，经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点，已知、成等差数列，且与同向；（）求双曲线的离心率；（）设AB被双曲线所截得的线段长为4，求双曲线的方程。分析：课本探源： 第三章数列、小结与复习的参考例题： 例1、求证：在直角三角形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为3：4：5。 第八章圆锥曲线、习题8.4的第6题： 6、证明从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。 可以看到课本是高考试题的重要来源，例1是以以上两题为背景编拟的；若借助以上两题的结论，可得到此题的一种解法： 方法一： （） 由已知得双曲线方程为 ，不妨设为，则为，直线AB的方程为又由OAAF、=c、由、成等差数列得：=3：4：5又因为AOB=2AOF。（）设直线AB与双曲线的交点为D（）、E（）则由=、=得b=3,a=6，双曲线方程为： 若借助课本的结论，依据题意还可得以下解法： 方法二： （） 由已知得双曲线方程为 ，不妨设为，则为，直线AB的方程为 若与同向；则有AOB为锐角， (ab) 所以由、成等差数列得所以仔细分析题意，要求与同向，这容易让人联想到与可以不同向。变式探究：若与反向AOB为钝角 此时A（，B（），由、成等差数列得所以b=2a，若再把AB被双曲线所截得的线段长=4变为=4，结合以上的讨论，易得以下结论及变式： 结论：若与同向且=4；双曲线方程为：。变式1：若与反向且=4；双曲线方程为： 。变式2：若与同向且=4；双曲线方程为：。变式3：若与反向且=4；双曲线方程为：。例9、（2007年全国卷即云南卷理20） 在直角坐标系xoy中，以O为圆心的圆与直线相切。（）求圆O的方程；（）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使成等比数列，求的取值范围。分析：（1）圆的方程为 （2）由成等比数列得P点的轨迹方程为 点P在圆内，得所以有 所以 例10、（2006年全国卷20） 在平面直角坐标系xoy中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求：（）点M的轨迹方程；（）的最小值。分析：（1）椭圆方程为，曲线C：设，则，切线方程为： M点的轨迹方程为：；（2）当且仅当时，有最小值3。例11、（2006年全国卷即云南卷理21） 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。分析：（1）设，有因为，由得由过A点的切线方程为：；过B点的切线方程为：；所以；（2）当且仅当时，S有最小值4。五、高考解析几何试题的特点及对未来高考的展望5.1特点：1、平面向量为语言。2、均值不等式为主要工具。当时：，。3、函数、的性质为辅助工具。4、圆锥曲线为背景，求四边形、三角形面积的最值为对象。5、考查设而不求的思想、韦达定理、弦长公式。6、综合性强，运算量大，能力要求较高，对中学数学的四种主要思想：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想都有考查。通过对以上几例的学习、研究，可探究高考解析几何命题的一些规律和处理解析几何问题的方法、思路。5.2、新课程标准对圆锥曲线的要求：文科：1、经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。2、了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程、知道它们的简单几何性质。3、通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。理科：1、经历从具体情景中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程、知道双曲线的有关性质。3、能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。4、通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。5.3、近四年全国卷圆锥曲线考查内容：2009年2008年2007年2006年全国卷抛物线与圆双曲线椭圆椭圆与导数全国卷椭圆椭圆圆、不等式抛物线与导数海南、宁夏卷椭圆椭圆与抛物线、（文圆）椭圆、（文圆）5.4、趋势：未来高考，椭圆是重点，抛物线次之，双曲线有弱化的趋势。5.5、展望：2010年全国卷圆锥曲线你认为会考什么呢（以什么曲线为载体）？ 2009-10-9由一道全国卷数列试题看课本的学习云南省 祥云一中 董正洪 邮编（672100）一例考题：例、（2009年全国卷、理20）在数列中， ，.设，求数列的通项公式；求数列的前项和 分析：（1）、此题的解答并不困难，但由此题可得到很多启示。为了方便说明，略解如下由，又因为所以， ，由累加法得（2）、，由分组求和法与错项相减法得课本链接：此题充分体现了高考试题“源于课本，高于课本”的命题原则。解答过程中所用方法均出自课本，但又高于课本。1、等比数列前n项和公式的直接应用：.2、错项相减法：等比数列前n项和公式的推导方法。课本题：求和：S=.（P151页复习参考题B组第6题）3、分组求和法：求通项为的数列的前n项和。（P144页习题3.5第6题）4、累加法：等差数列通项公式的推导方法。课本学习：从以上例题我们可以看到学习课本应该学习什么？1、结论知识：定义、公式、定理等基础知识及其应用。2、过程知识：公式、定理得来过程中所体现的数学思想和方法。3、课本上重要的例题、习题及其拓展。