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第三节 追及、相遇问题和运动图象问题
一、直线运动的x－t图象
1．图象的物理意义
反映了物体做直线运动的__________变化的规律。
2．图线斜率的意义
（1）图线上某点切线的斜率大小表示物体__________。
（2）图线上某点切线的斜率正负表示物体__________。
3．交点
两图线交点，表示两物体____。
4．截距
（1）纵轴截距表示__________________；
（2）横轴截距表示______________。
二、直线运动的v－t图象
1．图象的物理意义
反映了做直线运动的物体的__________变化的规律。
2．图线斜率的意义
（1）图线上某点切线的斜率大小表示物体__________。
（2）图线上某点切线的斜率正负表示____________。
3．两种特殊的v－t图象
（1）若v－t图象是与横轴平行的直线，说明物体做____________。
（2）若v－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做______________。
4．图象与坐标轴围成的“面积”的意义
（1）图象与坐标轴围成的面积表示________________。
（2）若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为______；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为______。
5．交点
两图线交点表示此时两质点________。
6．截距
（1）纵轴截距表示______________；
（2）横轴截距表示______________。
三、追及和相遇问题
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在__________运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的____会不断发生变化，两物体间距离越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。
2．追及问题的两类情况
（1）若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一____，后者的速度一定不____前者的速度。
（2）若后者追不上前者，则当后者的速度与前者____时，两者相距____。
3．相遇问题的常见情况
（1）同向运动的两物体追及即相遇。
（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
1．如图所示为甲、乙两物体相对于同一参考系的x－t图象，则下列说法正确的是（ ）
①甲、乙均做匀变速直线运动
②甲比乙早出发时间t0
③甲、乙运动的出发点相距x0
④甲的速率大于乙的速率
A．①②③ B．①④ C．②③ D．②③④
2．如图所示，A、B两物体相距x＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s的初速度向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历的时间是（ ）
A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s
3．（2013·山西忻州一中检测）如图所示为两个物体A和B在同一直线上沿同一方向同时做匀加速运动的vt图象。已知在第3 s末两个物体在途中相遇，则两个物体出发点的关系是（ ）
A．从同一地点出发 B．A在B前面3 m处
C．B在A前面3 m处 D．B在A前面5 m处
4．易错辨析：下列说法是否正确，对不正确的，请予以更正。
A．x－t图象交点表示两物体通过的位移相同
B．x－t图象斜向上表示物体位移一定增加
C．v－t图象与时间轴所夹面积表示物体通过的位移
D．v－t图象斜向下表示物体一定做减速运动
一、对运动图象的理解
图线类型
x－t图象
v－t图象
直线
匀速直线运动或静止
匀速直线或匀变速直线运动
曲线
变速运动
变速运动
图象的斜率
等于速度，斜率为正（或负）值，表示速度为正（或负）方向
等于加速度，斜率为正（或负）值，表示加速度为正（或负）方向
图象与时
间轴所围
“面积”
等于在该时间内的位移。若此“面积”在时间轴上（或下）方，则位移取正（或负）值
自主探究1（2012·辽宁大连双基测试）一个质点做直线运动，下列所给的图象能够反映该质点最终能回到初始位置的有（ ）
思考1：x－t图象的物理意义是什么？
思考2：x－t图象中纵坐标相同表示什么？
思考3：v－t图象的物理意义是什么？
思考4：v－t图象与时间轴所夹面积表示什么？
二、对追及、相遇问题的理解
自主探究2甲、乙两个物体从同一地点、沿同一直线同时做直线运动，其v－t图象如图所示，则（ ）
A．1 s时甲和乙相遇
B．2 s时甲的速度方向反向
C．2～6 s内甲相对乙做匀速直线运动
D．4 s时乙的加速度方向反向
思考1：两物体相遇条件是什么？
思考2：两物体运动图象平行表示的意义是什么？
命题研究一、运动图象的理解与应用
【题例1】（2012·安徽理综）质量为0.1 kg的弹性球从空中某高度由静止开始下落，该下落过程对应的v－t图象如图所示。球与水平地面相碰后离开地面时的速度大小为碰撞前的，设球受到的空气阻力大小恒为f，取g＝10 m/s2。求：
（1）弹性球受到的空气阻力f的大小；
（2）弹性球第一次碰撞后反弹的高度h。
思路点拨：（1）由v－t图象可求得弹性球下落的加速度，根据牛顿第二定律即可求出阻力。
（2）由v－t图象知弹性球第一次到达地面时的速度，第一次反弹速度可求出，利用动力学规律可解答。
解题要点：
规律总结
（1）利用图象分析物体的运动时，关键是从图象中找出有用的信息或将题目中的信息通过图象直观地反映出来。
（2）在v－t图象中，由于位移的大小可以用图线和t坐标轴围成的面积表示，因此可以根据面积判断物体是否相遇，还可以根据面积的差判断物体间距离的变化。
（3）利用图象可以直接得出物体运动的速度、位移、加速度，甚至可以结合牛顿第二定律根据加速度来确定物体的受力情况。
命题研究二、追及和相遇问题的规范求解
【题例2】A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？
思路点拨：分析运动过程，运用位移关系和时间关系列方程，并结合运动学公式求解，分析时要注意B车的加速度为零后，B车做匀速直线运动。
解题要点：
规律总结
追及和相遇问题的规范求解
1．解题思路和方法
2．解题技巧
（1）紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
（2）审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
（3）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。
命题研究三、追及和相遇问题的多种解法
【题例3】在水平轨道上有两车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足的条件。
解题要点：
反思总结
解答追及相遇问题的常用方法
（1）物理分析法：应用运动学公式，根据每个物体的运动情况，分别确定出各物体间的位移、时间和速度关系，并列出方程，进行求解。
（2）极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相碰；若Δ＜0，说明追不上或不能相碰。
（3）图象法：将两者的v－t图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解。
1．如图是甲、乙两物体做直线运动的v－t图象，下列表述正确的是（ ）
A．乙做匀加速直线运动
B．0～1 s内甲和乙的位移相等
C．甲和乙的加速度方向相同
D．甲的加速度比乙的小
2．（2012·海南单科）如图，表面粗糙的楔形木块abc固定在水平地面上，ab面和bc面与地面的夹角分别为α和β，且α＞β。一初速度为v0的小物块沿斜面ab向上运动，经时间t0后到达顶点b时，速度刚好为零；然后让小物块立即从静止开始沿斜面bc下滑。在小物块从a运动到c的过程中，可能正确描述其速度大小v与时间t的关系的图象是（ ）
3．2012年6月9日晚，受沿线焚烧秸杆产生烟雾影响，宁洛高速公路安徽省蒙城段发生多起车辆追尾事故。假设髙速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前、乙车在后，速度均为v0＝30 m/s，距离s0＝100 m。t＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如图所示，取运动方向为正方向。下列说法错误的是（ ）
A．t＝6 s时两车等速
B．t＝6 s时两车距离最近
C．0～6 s内两车位移之差为90 m
D．两车在0～9 s内会相撞
4．（2013·福建六校联考）一列货车以28.8 km/h的速度在铁路上运行，由于调度事故，在后方700 m处有一列快车以72 km/h的速度行驶，快车司机发觉后立即合上制动器，但快车要滑行2 000 m才能停下，试通过计算判断两车是否会相撞。
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
一、1．位移随时间
2．（1）速度的大小 （2）速度的方向
3．相遇
4．（1）t＝0时刻的初始位移 （2）位移为零的时刻
二、1．速度随时间
2．（1）加速度的大小 （2）加速度的方向
3．（1）匀速直线运动 （2）匀变速直线运动
4．（1）相应时间内的位移 （2）正方向 负方向
5．速度相同
6．（1）t＝0时刻的速度 （2）速度为零的时刻
三、1．同一直线上 距离
2．（1）位置 小于 （2）相等 最近
基础自测
1．C 解析：图象是x－t图线，甲、乙均做匀速直线运动；乙与横坐标的交点表示甲比乙早出发时间t0，甲与纵坐标的交点表示甲、乙运动的出发点相距x0。甲、乙运动的速率用图线的斜率的绝对值表示，由题图可知甲的速率小于乙的速率。
2．B 解析：物体B减速至静止的时间为t
则－vB＝at，t＝s＝5 s。
物体B向前运动的位移xB＝vBt＝×10×5 m＝25 m。
又因A物体5 s内前进xA＝vAt＝4×5 m＝20 m，显然xB＋7 m＞xFA。
所以A追上B前，物体B早已经静止，设A追上B经历的时间为t′，则t′＝＝8 s，B正确。
3．C 解析：在第3 s末两个物体在途中相遇，但两个物体A和B的v－t图象与横轴所夹面积（位移）不相同，说明两物体出发点不同，两物体位移差Δx＝×3×4 m－×3×2 m＝3 m，即B在A前面3 m处，选项C正确。
4．答案：正确的是AC。
x－t图象在时间轴下方，表示物体运动的速度方向与位移方向相反，物体的位移并不一定增加。同理v－t图象在时间轴下方，表示速度方向与初速度方向相反，并不一定减速。
核心理解深化
【自主探究1】AD
提示：位移—时间图象的物理意义是表述位移随时间变化规律，质点能回到初始位置，则初末时刻纵坐标相同，选项A符合题意，选项B表示末位置在初位置关于坐标原点的对称点；速度—时间图象的物理意义是表述速度随时间的变化规律，图线与横轴所包围的面积表示该过程的位移，且有正负之分，选项C中所包围的面积为正，选项D中横轴上下面积恰好抵消，故选项D符合题意。
【自主探究2】C
提示：由题图可知，1 s时两图线相交，表示此时它们的速度相同，选项A错；2 s时它们的瞬时速度都取正值，表示它们的速度方向都与规定的正方向相同，选项B错；根据图象可知，2～6 s内，它们的加速度相同，而沿纵轴方向上的速度差值不变，这表示甲相对乙的速度不变，即甲相对乙做匀速直线运动，也可以根据v甲＝2v0＋at，v乙＝v0＋at，得v甲－v乙＝v0（恒定不变）来判断，选项C对；4 s时，图线的斜率不变，表示加速度相同，所以选项D错。
考向探究突破
【题例1】答案：（1）0.2 N （2）m
解析：（1）设弹性球第一次下落过程中的加速度大小为a1，由题图知
a1＝＝m/s2＝8 m/s2①
根据牛顿第二定律，得
mg－f＝ma1②
f＝m（g－a1）＝0.2 N。③
（2）由题图知弹性球第一次到达地面时的速度大小为v1＝4 m/s，设球第一次离开地面时的速度大小为v2，则
v2＝v1＝3 m/s④
第一次离开地面后，设上升过程中球的加速度大小为a2，则mg＋f＝ma2
a2＝12 m/s2⑤
于是，有0－v＝－2a2h⑥
解得h＝ m。⑦
【题例2】答案：6 s
解析：设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两车在t0时相遇。则有
xA＝vAt0①
xB＝vBt＋at2＋（vB＋at）（t0－t）②
式中，t0＝12 s，xA、xB分别为A、B两车相遇前行驶的路程。依题意有
xA＝xB＋x③
式中x＝84 m，由①②③式得
t2－2t0t＋＝0④
代入题给数据vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s2⑤
解得t1＝6 s，t2＝18 s⑥
t2＝18 s不合题意，舍去。因此，B车加速行驶的时间为6 s。
【题例3】答案：v0≤
解析：解法一：（物理分析法）A、B车的运动过程（如图甲），利用位移公式、速度公式求解。
甲
对A车有
xA＝v0t＋×（－2a）×t2
vA＝v0＋（－2a）×t
对B车有xB＝at2，
vB＝at
对两车有x＝xA－xB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
解法二：（极值法）利用判别式求解，由解法一可知
xA＝x＋xB，即v0t＋×（－2a）×t2＝x＋at2
整理得3at2－2v0t＋2x＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝（2v0）2－4×3a×2x＜0，即v0＜时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
乙
vA＝v＝v0－2at，
对B车有vB＝v＝at
以上两式联立解得t＝
经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝v0·t＝v0·＝
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
演练巩固提升
1．A 解析：由题图可知，乙做匀加速直线运动而甲做匀减速直线运动，A正确；由v－t图线的斜率的大小表示物体加速度的大小，正负表示加速度的方向可知，C、D错误；0～1 s内甲的位移大，B错误。
2．C 解析：由受力情况可知，小物块从a→b和从b→c的过程中，均做匀变速运动，D项错误；设小物块到达c的速度大小为vc，因克服摩擦力做功，则v0＞vc，故A项错误；小物块从a到b的过程中的平均速度＝，从b到c的过程中的平均速度＝，由＝可知，小物块从a到b的时间小于从b到c的时间，故B项错误，C项正确。
3．D 解析：由加速度图象可画出两车的速度图象，如图所示。由图象可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为 0～6 s内两车位移之差，
Δx＝×30×3 m＋×30×（6－3）m＝90 m＜100 m，故不会相撞。
4．答案：两车将会发生碰撞。
解析：v快＝72 km/h＝20 m/s
v货＝28.8 km/h＝8 m/s
因快车要滑行2 000 m才能停下，由匀变速运动规律可得：
0－v＝2ax
a＝－v/2x＝－0.1 m/s2
快车减速到与货车速度相同时需要时间为t
t＝Δv/a＝120 s
这段时间内两车的位移分别为：
s快＝（v－v）/2a＝1 680 m
s货＝v快t＝960 m
因为s货＋Δs＜s快
所以两车将会发生碰撞。
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