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中考数学常用知识点
中考数学常用知识点
1． 无理数
无理数：无限不循环的小数。
初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如、；特定结构的无限不循环的小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、°等。
2． 平方根、立方根
（1）表示a的正平方根（或算术平方根），—表示a的负平方根，表示a的平方根。
如：；；；的平方根是。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：表示a的立方根。如。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
（5）①＝a(a≥0)； ②＝丨a丨； ③； ④(a＞0，b≥0)。
3． 科学记数法和有效数字
（1）科学记数法： a×（其中1≤a＜10，n为整数）。 注：万：104 亿：108
（2）一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。如1.2精确到十分位；1.2万精确到千位；0.0120有三个有效数字1，2，0.
4． 乘法公式
①(a＋b)(a－b)＝a2－b2； ②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
③ 常见变形： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； ( a－b)2＝(a＋b)2－4ab。
5． 因式分解
1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
2、因式分解方法：
（1）提取公因式法：
（2）运用公式法：
平方差公式：；
完全平方公式：
注：因式分解时先考虑提取公因式法，再公式法；要分解彻底。
6． 幂的运算性质
①am×an＝am+n； ②am÷an＝am-n； ③(am)n＝amn； ④(ab)n＝anbn； ⑤()n＝；
⑥a-n＝， ⑦a0＝1(a≠0)。
7． 分式
分式定义：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。
（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B≠0时，分式有意义。
（2）分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。
（3）求字母取值范围的依据：1）分母不等于0；2）被开方式大于等于0。
如：中； 中；中。
8． 一元二次方程
（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）
（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
对于方程：ax2＋bx＋c＝0：
求根公式是x＝，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根．（注意：当△≥0时，方程有实数根。）
9． 分式方程
（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法： 去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去。
10． 增长率问题常见等量关系
（1）增长率=增长的量÷原来的量； （2）现在量=原来的量×（1+增长率）；
（3）n次增长后的量=原来的量×(1+平均增长率)n
注意：情形复杂时要善于用列表法分析原来的量、变化后的量。
11． 运用不等式的性质时注意
在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯——就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变。
12． 关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征
点P（a, b）关于x轴的对称点是；关于y轴的对称点是；关于原点的对称点是；
13． 一次函数
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线
k>0，直线经过一、三象限，y随x的增大而增大。
k<0，直线经过二、四象限，y随x的增大而减小
注：上述增减性是在x的整个取值范围内。
14． 反比例函数
反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线。既是中心对称图形又是轴对称图形
（1）k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限，在每一象限内y的值随x值的增大而减小。
k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限，在每一象限内y的值随x值的增大而增大。
O
A
B
x
y
注：上述增减性的前提是：x需同号。
（2）双曲线上的点横纵坐标之积等于k； （3）S△OAB=
（4）如反比例函数当时x的取值范围是
15． 二次函数
（1）.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。
（2）.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
（3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0, )

(,0)

(,)

()
（4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：，∴顶点是，对称轴是直线。
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线。
③ 若已知抛物线上两点，则对称轴方程可以表示为：
（5）.抛物线y=ax2+bx+c中，a，b，c的作用
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
决定抛物线的开口大小：相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧。（左同右异）
③的大小决定抛物线与轴交点的位置。
（6）用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：.已知的三个条件无明显特征时，通常选择一般式.
②顶点式：.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式。
③交点式：。已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。
k变，上加下减
m变，左加右减
（7）抛物线的平移规律：

16． 统计初步
（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
（2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么
（1）的平均数，
（2）加权平均数：如果n个数据中，出现次，出现次，……，出现次（这里），则
（3）极差：极差=最大值-最小值；
（4）方差：
（标准差：方差（）的算术平方根叫做标准差（S））。
17． 频率与概率
（1）频率
频率=，各小组的频数之和等于样本容量，各小组的频率之和等于1。
（2）概率
①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；
P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；
②运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。
③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；
18． 相交线与平行线有关结论
① 过两点有且只有一条直线 ②两点之间线段最短 ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
⑤经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
19． 三角形

判定及性质
直
角
三
角
形
① 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
② 直角三角形两个锐角互余。
③ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
④ 在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2=c2 。
等腰
三角形
①等腰三角形的两个底角相等。
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
等边三角形
① 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
② 三边相等的三角形是等边三角形。
③ 有两角等于60°的三角形是等边三角形。
相
似
三角形
性质：①相似三角形对应高、对应中线和对应角平分线的比都等于相似比。
②相似三角形周长的比等于相似比。
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
④相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
判定方法:　（1）平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
　 （2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,
　 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,
　 （4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,
全
等
三
角
形
① SSS ② SAS ③ ASA ④ AAS ⑤ HL
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
三角形
中位线
①连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
②三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
2）线段垂直平分线的性质：1）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
2））与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3）角平分线的性质：1）角平分线上的点到角两边距离相等。
2）到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上。
4）黄金分割：
A
B
P
·
·
·
（1）定义： 若，则点P是AB的黄金分割点；
（2）黄金比：
20． 锐角三角形
①设∠A是直角△ABC的一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1。
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。
②特殊角的三角函数值：

Sinα

Cosα

tanα

1

h
l
α
④斜坡的坡度：i＝＝．设坡角为α，则i＝tanα＝。
21． 多边形内角和、外角和公式
多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180º（n≥3，n是正整数），外角和等于360º
22． 四边形
⑴面积公式：
① S平行四边形＝底×高
② S菱形＝底×高＝×(对角线的积)，
③
④S△= S正△＝×(边长)2．
⑵

判定
性质
平
行
四
边
形
①两组对边分别平行。
②两组对边分别相等。
③两条对角线互相平分。
④一组对边平行且相等。
①对角相等。
②两组对边平行且相等。
③两组对角线互相平分。
④是中心对称图形。

菱
形

①有一组邻边相等的平行四边形。
②两条对角线互相垂直的平行四边形。
③四条边都相等的四边形。
①具有平行四边形的一切性质。
②四条边都相等。
③对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。
④既是轴对称图形，也是中心对称图形。
矩
形
①有一个角是直角的平行四边形。
②对角线相等的平行四边形。
③有三个角是直角的四边形。

①具有平行四边形的一切性质。
②四个角都是直角。
③对角线相等。
④既是轴对称图形，也是中心对称图形。
正方形
如：①有一组邻边相等的矩形。
②有一个角是直角的菱形。

①具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
②既是轴对称图形，也是中心对称图形。
等
腰
梯
形
①两腰相等的梯形。
②同一底上的两个底角相等的梯形。
①两条腰相等。
② 对角线相等。
③ 同一底上的两个底角相等。
④ 是轴对称图形。
注：1）上述四边形的关系图

2）梯形问题中的常用辅助线：

3）判定梯形：证明一组对边平行并不相等或一组对边平行另一组对边不平行。
⑶顺次连结各边中点得到的图形：
①顺次连结对四边形各边中点得平行四边形。
②顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
③顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
④顺次连结对角线垂直相等的四边形各边中点得正方形。
23． 圆中的一些性质及公式
（1）直线和圆的位置关系：（半径为r ，圆心O到直线l的距离为d）
相离：d>R 相切：d=R 相交：d<R
（2）圆和圆的位置关系：（圆心距d ，半径分别为R 、r 且 R> r）
外离：d>R+r 外切：d=R+r 相交：R-r<d<R+r 内切：d=R-r 内含：
（3）垂径定理：如果一条经过圆心的直线具备以下三个性质中的任意一个性质：①垂直弦；②平分弦；③平分弦所对的弧，那么这条直线就具有另外二个性质．注：具备②时，弦不能是直径。
（4）圆内接四边形的对角互补。
（5）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点。
三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．
常见结论：①Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径；
②△ABC的周长为，面积为S，其内切圆的半径为r，则
（6）1.圆的周长：C=2πr=πd 2.圆的面积：S=πr2; 3.扇形弧长：
4扇形面积：（R为半径，n是圆心角的度数，为扇形的弧长）
5.圆锥侧面积：S=πrl 6. 圆柱侧面积： S=2πrh＝底面周长×高
6. 弓形面积

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