2025年行列式知识点汇总.doc

行列式
矩阵
，

n阶行列式中，共有项，其中正、负各二分之一，若负项个数为偶数，必有
伴随矩阵
（为的代数余子式）
(1) (2)
（5）

代数余子式定理
为的余子式，为的代数余子式；
，
克莱姆法则
n元n阶非齐次线性线性方程组：

即 当有且仅有唯一解
其中

n元n阶齐次线性线性方程组：

（1）齐次线性方程组有非零解的充足必要条件：。
（2）假如，齐次线性方程组只有唯一的零解

转置矩阵及对称矩阵
，A为对称矩阵；A为反对称矩阵阶数n为奇数时，
A和B均为对称矩阵，为对称矩阵的充要条件：
A为正交矩阵时也为正交矩阵；A为对称矩阵时也为对称矩阵；
A为反对称矩阵时A阶数n为奇数，为对称矩阵；n为偶数时，为反对称矩阵
；时不一定有
范德蒙行列式

逆矩阵
矩阵可逆的充足必要条件： （A为非奇异矩阵）（可逆矩阵一定是方阵）
(1)(2) （3）
分块矩阵
，

，
准对角矩阵
，
，，

，分块矩阵转置

求逆矩阵：
求的解：

矩阵的秩
矩阵存在一种K阶子式不为零，并且所有的K+1阶子式全为零，则称A的秩为K，记为：
（1）矩阵可逆的充足必要条件：
（2）任一矩阵每减少一行（或列）其秩减少不超过1
（3）矩阵
（4）设，
（5）A,B均为n阶方阵
（6）A为矩阵，B为矩阵，当时， {n为A的列数}
（7），当
由若A可分解为，且
A的特性值， {当时， 其中}
时，A和B可以不为方阵，中的n为A的列数{理解为中X的个数}

（1） {和同解；}
（2）若；（3）若A可逆，若B可逆

型

表达的列向量组可由A的列向量组线性表达
表达B的列向量是齐次线性方程组的解
（A和B均非零矩阵），
A的列秩<n{A的列向量线性有关}，B的行秩<n{B的行向量线性有关}
等价
（1）向量组与它的极大无关组等价；（2）向量组的任意两个极大无关组之间等价；（3）两个等价的线性无关的向量组所含的向量的个数相似
向量组可由向量组线性表达，则 {向量组可由向量组线性表达，则 }
是方程组的解
A和B为任意两个非零矩阵，A的列向量线性有关，B的行向量线性有关
A为矩阵，B为矩阵，当A的行向量线性无关，B的列向量线性无关

线性方程组
有解
（1） 唯一解;（2） 无穷多种解；（3） 无解
，其中设，，
方程组有解（1） 等同
（2）可由线性表达（类似系数）
齐次线性方程组
（1） 仅有零解；（2） 无穷多种解（包括零解）
假如方程的个数<未知量的个数，即A的行数<列数必有非零解
A是矩阵, 有非零解A的列向量线性有关
A列向量组线性无关只有零解；
A行向量组线性无关列向量组线性无关只有零解
，若列向量=只有零解
设线性无关，可以由线性表达，且
线性无关的充要条件是
假如是的基础解系，要使也是的基础解系线性无关，且可由线性表达，即
向量可以表为向量组的线性表达法唯一的充足必要条件：线性无关
向量组线性无关，而向量组线性有关向量可以表为向量组线性组合
假如为的解向量组的一种极大无关组，则称为该方程组的一种基础解系
只有当齐次线性方程组存在非零解时，才会存在基础解系
中系数矩阵A的秩方程组得解向量组的秩为
（1）向量组可由向量组线性表达，且
的线性有关
{三个向量可以由两个向量线性表达，则该三个向量必线性有关}
（2）向量组线性无关，且可由向量组线性表达
假如向量组可由向量组线性表达，
则
（解释：中的极大线性无关组可由中的极大线性无关组来表达，根据性质（2））
通解：；
通解：
（为的特解，为其导出组的一种基础解系）
假如是的两个解是其导出组的解
设是的解，且也是的解
设是的解，且也是的解

线性组合
极大线性无关组
正交化
（s=1，2，…..）
，，…..,
假如一种向量组中的部分向量组
（1）线性无关
（2）向量组中的每一种向量都可以表为的线性组合
（将向量组中的任意一种向量添加到部分组中，得到新的向量组都线性有关）
为该向量组的一种极大线性无关组
的原则正交基

向量内积性质：（1）
（2），且
（3）
向量的长度（或模）为，记为（自身内积）
假如存在一组数，使得
向量可以表为向量组线性表达
零向量，可由中的任意向量组线性表达；
在中任意向量均可为的线性表达
向量组的秩：
向量组的极大无关组所含的向量个数，为该向量的秩，记
向量组线性无关

（两个向量组等价，则两个向量组的极大无关组所含向量个数相等）
向量长度性质
且；
，且线性有关
非零向量化为单位向量或原则化向量的措施：
线性有关：存在R中S个不全为零的数，使得
线性无关：只有时，才成立
单位向量组线性无关
充足必要条件
可以表达任一种n维向量与等价
线性无关充足必要条件：可表达任一种n维向量
向量可以表为向量组的线性组合的充足必要条件：
s元非齐次线性方程组有解
向量组线性有关 s元齐次线性方程组有解；
向量组线性无关 s元齐次线性方程组仅有零解
在中向量组的线性有关的充足必要条件：
中至少有一种向量可以表为其他向量的线性组合
两个向量线性有关的充要条件：对应元素成比例
施密特正交化措施
设是中的一种线性无关的向量组，令
，，

是一种正交向量组，且
中的几种向量满足：
（1）中任意两个向量都正交
（2）称为的一种原则正交基
即：，

为原则正交基，A为正交矩阵
向量组的线性无关{}，若将该向量组的每一种向量都增长m个分量，得到向量组线性无关
{}；若或者线性有关，则前者也必然有关。
向量组的个数不小于向量组的维数此向量组线性有关（列>行）
中的任意n+1个向量一定线性有关

矩阵特性值和特性向量
相似矩阵与矩阵可对角化
设A为n阶矩阵，假如对于数，存在非零列向量，使得，
则称为A的一种特性值，为A的属于特性值的特性向量
相似矩阵
设A、B为n阶矩阵，假如存在一种n阶可逆矩阵P，使得矩阵A与B相似，记
性质：（1）（反身性） （2）（传递性），
,；,；当A可逆时,{}
{相似矩阵都可逆或都不可逆}；A，B具有相似特性值{}[A、B有相似特性值,A和B不一定相似]
， （其中：为n阶方阵A的多项式）
，

设为n阶矩阵，则为A的特性值，为A的属于特性值的特性向量的充足必要条件：
（1）为特性方程根；（2）为齐次线性方程组非零解
（1）设是A的一种特性值
对应的特性向量与其他特性值对应的特性向量也相似
注：的特性向量不一定是A的特性向量
是的一种特性值
是的一种特性值
是的一种特性值
是的一种特性值
（2）设A是n阶矩阵A与有相似的特性值特性向量不一定相似
（3）相似矩阵的特性向量是不一样样的,若为A的特性向量,
B的特性向量是
（4）n阶矩阵A可逆的充足必要条件：它的任一特性值不等于零
（1）A是实对称矩阵,B为对角矩阵,若；（2）,且B是实对称矩阵A与B有相似秩和特性值,且A也是实对称矩阵
（2）A通过行的初等变换变为B,则A的行向量组与B的行向量组等价{}
A通过列的初等变换变为B,则A的列向量组与B的列向量组等价{}；A和B行列向量组都等价
（3）同型矩阵A和B等价的充足必要条件： {矩阵A和B等价表明A经初等变化可得到B}
实对称矩阵
（1）实对称矩阵A的属于不一样特性值的特性向量互相正交；
（2）实对称矩阵必可对角化,即
（3）n阶实对称矩阵A，则存在正交矩阵Q，
使得成为对角矩阵
实对成矩阵对角化措施：
（1）求特性方程的根；
（2）每个特性值，解齐次线性方程组的基础解系；
（3）将基础解系向量组正交化，再单位化正交矩阵Q
正交矩阵
假如向量正交；假如一种非零向量组中的向量两两正交，则称为一种正交向量组
与自身正交的向量只能是零向量；为正交向量组线性无关
设A为一种n阶实矩阵，假如，则称A为一种n阶正交矩阵
n阶实矩阵A为正交矩阵的充足必要条件是A可逆，且
n阶实矩阵A为正交矩阵的充足必要条件是
假如A是正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵
假如A，B是n阶正交矩阵、是n阶正交矩阵
假如A是正交矩阵
设A是n阶矩阵，是A的m个不一样的特性值，
分别是A的属于的特性向量线性无关
特性值和特性向量求矩阵：

矩阵A的所有特性值之和等于 ；
矩阵A的所有特性值之积等于
（若A不可逆0是A的特性向量）（ n阶矩阵A可逆的充足必要条件：它的任一特性值不等于零）
矩阵可对角化
n阶矩阵A相似于n阶对角矩阵的充足必要条件：A有n个线性无关的特性向量（即）
n阶矩阵A有n个互不相似的特性值A与对角矩阵相似（）
其中：对角矩阵 （但：n阶矩阵A可对角化，不能断定A必有n个互不相似特性值）

（A通过其特性向量构成的可逆矩阵P的左乘右乘相似于对角矩阵）
n阶矩阵A相似于对角矩阵的充足必要条件：对A的重特性值，；即：特性矩阵方程有个解