控工课后习题.doc

★1.试求下列函数的拉氏变换：
(1)f(t)=(4t+5) δ(t)+(t+2)·1(t);
解：F(s)=L[(4t) δ(t)]+L[5δ(t)]+L[t·1(t)]+L[2·1(t)]
=0+5+1/S2+2/S=5+2/S+1/S2
(2)f(t)=sin(5t+)·1(t);
解：F(s)=L{[sin5tcos+cos5tsin]·1(t)}
=L[sin5t·1(t)+cos5t·1(t)]
=
(4)f(t)=[4cos(2t-)]·1(t-)+·1(t);
解：F(s)=L{[4cos2(t-)]·1(t-)+ ·1(t)}
=+=+
(7)f(t)= (cos8t+0.25sin8t) ·1(t);
解：F(s)=L[cos8t·1(t)+0.25sin8t·1(t)]
=+=
(2-(2))F(s)=;
解：f(t)=L-1{×}=sin2t·1(t)
★2-3.用拉氏变换法解下列微分方程：
(1)+ 6+8x(t)=1,其中x(0)=1,
=0;解：对原方程取拉氏变换，得
S2X(s)-sx(0)- +6[sX(s)-x(0)]+8X(s)=
将初始条件代入，得
S2X(s)-s+6sX(s)-6+8X(s)=
(S2+6s+8)X(s)= +s+6
X(s)= =++
取拉氏变换，得x(t)= +-
(2) +10x(t)=2,其中x(0)=0;
解：对原方程去拉氏变换，得
sX(s)-x(0)+10X(s)=
将初始条件x(0)=0代入，得sX(s)+10X(s)=
由此得 X(s)= =-
取拉氏变换，得x(t)=0.2(1-)
(3) +100x(t)=300,其中=50.
解：当t=0时，将初始条件=50代入方程，得
50+100x(0)=300 则x(0)=2.5
对原方程去拉氏变换，得sX(s)-x(0)+100X(s)=
将x(0)=2.5代入，得sX(s)-2.5+100X(s)=
由此得X(s)= =-
取拉氏变换，得x(t)=3-0.5
★2-6化简图所示的方块图，并确定其传递函数。
(b)

解：

依照化简后的方块图，得
=
=
(c)

解：

依照化简后的方块图，得
=
=
★2-9试求题图２－９所示机械系统的传递函数。

解：(b)阻尼器的等效弹性刚度为DS ,依照力平衡，有
=
整顿得
(c)阻尼器D的等效弹性刚度为Ds，依照力平衡，有

整顿得
(e)依照牛顿第二定律，有

零初始条件下，上式拉氏变换为

整顿得
★2-26试求图（ａ）、（ｂ）所示系统的传递函数。

解：(a)

解（b）
★3-7设单位反馈系统的开环传递函数为,
试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。
当初，试分析放大倍数Ｋ对单位
阶跃输入产生的输出动态过程特性的影响。 解：
(1)
得 则

因此

（进入5%误差带）
（2）
得
则

则（1）当，即时，
系统为临界阻尼，系统不产生振荡。
（2）当，即时，
系统为过阻尼，系统亦不产生振荡。
（3）当，即时，
系统为零阻尼，系统产生等幅振荡。
（4）当，即时，
系统为欠阻尼，此时

K增大时，减小。
K增大时，减小。

K增大时，也增大。

当K较大时，基本不受K变化的影响。
★3-11.设一单位反馈系统的开环传递函数为，
该系统的阻尼比为0.157，无阻尼自振角频率为3.16rad/s，
现将系统改为如题图所示，使阻尼比为0.5，试确定值。

解：

依题意，有1+10==3.16
解之得 =0.216，即为所求。
★3-20某单位反馈系统的开环传递函数为
当阻尼比为0.5时，求Ｋ值，并求单
位阶跃输入时该系统的调整时间、最大超调量和峰值时间。
解：
由
则

★3-25两系统的传递函数分别为和
，当输入信号为１（ｔ）时，试阐明
其输出抵达各自稳态值的６３．２％的先后。
解：
因此系统先抵达稳态值的63.2%。
★4-01例题：某系统传递函数为，当输入为
时，试求其稳态输出。
解：当给一个线性系统输入正弦函数信号时，其系统输出为
与输入同频率的正弦信号，其输出的幅值与相角取决于系统
幅频特性与相频特性。已知则
; ;
又有
则

因此
★4-1用分贝数（dB）体现下列量：（1）2；（2）5；（3）10；
（4）40；（5）100；（6）0.01；（7）1；（8）0.
解：（1）（2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
★4-2当频率和时，
试确定下列传递函数的幅值和相角。
（1） （2）
解：(1)

因此,
(2)

★4-3试求下列函数的幅频特性A（w），相频特性，
实频特性U（w）和虚频特性V（w）。
（1）（2）.
解：（1）
；，
，。
（2）
，
，。
★4-4某系统传递函数，当输入为
时，试求系统的稳态输出。
解：

又有
则

因此
★4-13写出图示最小相位系统的开环传递函数。

解：（a）
（b）
★4-16.某单位反馈系统的开环传递函数为
试求其剪切频率，并求出该频率对应的相角。
解：

解
得

★4-21对题图所示的最小相位系统，试写出其传递函数。

解：(a)
(b)
(c)
(d)
★5-4对于如下特性方程的反馈控制系统，试用代数
判据求系统稳定的K值范围。

解：（１）其劳斯阵列为

解得
即为所求。
（2）其劳斯阵列为

解

此不等式组无实数解，因此，无论Ｋ取什么值，系统总不稳定。
（3）解：

得即为所求。
（4）其劳斯阵列为

解

此不等式组无实数解，因此，无论Ｋ取什么值，系统总不稳定。
★5-10设单位反馈系统的开环传递函数为

试用乃氏判据确定该系统在K=1和K=10时的稳定性。
解：

解得

其乃氏图如图所示。

当K<84/5时，乃氏图不过点（-1，j0）点，系统稳定。
当K=1或K=10时，K<84/5，故此时系统稳定。
★5-11对于图示的系统，试确定(1)使系统稳定的ａ值；(2)
使系统特性值均落在ｓ平面中Re=-1这条线左边的ａ值。

解：
（1） 解得
0<a<8为使系统稳定的a值范围。
（2） 令s=z-1，则闭环特性方程为

解
得1.2<a<3为使系统特性值落在Re=-1这条线左边的a值。
★5-12.设一个单位反馈系统的开环传递函数为，
现希望系统特性方程的所有根都在s=-a这条线的左边区域中，
试确定所需的K值与T值范围。
解：系统闭环特性方程为，
令S=z-a，则闭环特性方程变为
即
解得即为所求。
★5-16.设单位反馈系统的开环传递函数为
试确定使系统稳定的K值范围。
解：系统闭环特性方程为
即，解
得即为所求。
★5-20.设单位反馈系统的开环传递函数为，
确定系统稳定的K值范围。解：系统闭环特性方程为
即
解得即为所求。
★5-22.设系统的开环传递函数为，
试画出其伯德图，并确定系统是否稳定。
解：
其伯德图如图所示，

由图示可见，
因此系统稳定。