《2.绝对值不等式的解法(二)》同步练习1.doc

《绝对值不等式的解法(二)》同步练习
1.已知a，b为实数，则“|a|+|b|<1”是“|a|<且|b|<”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案:B

2.(2013·深圳二调)已知x∈R，则x≥1是|x+1|+|x-1|=2|x|的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案:A

3.不等式|x+2|-|x|≤1的解集是________.

解析:利用零点分段讨论法解绝对值不等式.
①当x≤-2时，原不等式可化为-x-2+x≤1，该不等式恒成立.
②当-2<x<0时，原不等式可化为x+2+x≤1，∴2x≤-1，
∴x≤-，∴-2<x≤-.
③当x≥0时，原不等式可化为x+2-x≤1，不成立.
综上，原不等式的解集为.
答案:
4.不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是________.

解析:方法一 不等式等价转化为|x+1|≥|x-3|，两边平方得(x+1)2≥(x-3)2，解得x≥1，故不等式的解集为[1，+∞).
方法二 不等式等价转化为|x+1|≥|x-3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点-1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x=1，故不等式的解集为[1，+∞).
答案:[1，+∞)

5.已知不等式|x-2|>1的解集与不等式x2+ax+b>0的解集相等，则a+b的值为________.

答案:-1

6.(2014·广州一模)若不等式|x-a|<1的解集为{x|1<x<3}，则实数a的值为________.

答案:2

7.解不等式:
(1)|x2-2x+3|<|3x-1|；
(2)|x+7|-|x-2|≤3；
(3)≥.

解析:(1)原不等式⇔(x2-2x+3)2<(3x-1)2
⇔[(x2-2x+3)+(3x-1)][(x2-2x+3)-(3x-1)]<0
⇔(x2+x+2)( x2-5x+4)<0
⇔x2-5x+4<0(因为x2+x+2恒大于0)
⇔1<x<4.
所以原不等式的解集是{x|1<x<4}.
(2)原不等式
⇔或
或
⇔x<-7或-7≤x≤-1或x∈∅⇔x≤-1.
所以原不等式的解集是{x|x≤-1}.
(3)∵|x|+2>0，
∴原不等式可转化为2(3-|x|)≥|x|+2.
整理得|x|≤，从而得-≤x≤.
∴原不等式的解集为.

8.在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为________.

答案:

9.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，B={x∈R|x=4t+-6，t∈(0，+∞)}，则集合A∩B=________.

解析:|x+3|+|x-4|≤9，
当x<-3时，- x-3-(x-4)≤9，即-4≤x<-3；
当-3≤x≤4时，x+3-(x-4)=7≤9恒成立；
当x>4时，x+3+x-4≤9，即4<x≤5.
综上所述，A={x|-4≤x≤5}.
又∵x=4t+-6，t∈(0，+∞)，
∴x≥2-6=-2，当t=时取等号.
∴B={x|x≥-2}，∴A∩B={x|-2≤x≤5}.
答案:{x|-2≤x≤5}

10.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是________.

答案:(-∞，-3)

11.(2013·重庆卷)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解，则实数a的取值范围是________.

解析:利用三角不等式求解.
∵|x-5|+|x+3|=|5-x|+|x+3|≥
|5-x+x+3|=8，
∴(|x-5|+|x+3|)min=8，
要使|x-5|+|x+3|<a无解，只需a≤8.
答案:(-∞，8]

12.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立，则实数a的取值范围是________.

解析:不等式|x-a|+|x-1|≤3可以表示数轴上的点x到点a和点1的距离之和小于等于3，且为数轴上的点x到点a和点1的距离之和最小时即是x在点a和点1之间，此时距离和为|a-1|，要使不等式|x-a|+|x-1|≤3，则|a-1|≤3，解得-2≤a≤4.
答案:[-2，4]

13.已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)证明:-3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.

解析:(1)f(x)=|x-2|-|x-5|=
当2<x<5时，-3<2x-7<3.
所以-3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知，
当x≤2时，f(x)≥x2-8x+15的解集为空集；
当2<x<5时，f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5}.
当x≥5时，不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
综上，不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.

14.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围.
解析:(1)当a=-3时，f(x)≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3
⇔或
或
⇔x≤1或x∈∅或x≥4.
故不等式解集为{x|x≤1或x≥4}.
(2)原命题⇔f(x)≤|x-4|在[1，2]上恒成立⇔|x+a|+2-x≤4-x在[1，2]上恒成立⇔-2-x≤a≤2-x在 [1，2]上恒成立⇔-3≤a≤0.
故a的取值范围是[-3，0].