2024年广州市调研模拟数学试题及答案理科数学.doc

广州市一般高中毕业班模拟考试
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目标答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）若全集U=R，集合，，则＝
（A） （B） （C） （D）
（2）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则
（A） （B） （C） （D）
（3）下列说法中正确的是
（A）“”是“函数是奇函数”的充要条件
（B）若，则
（C）若为假命题，则，均为假命题
（D）命题“若，则”的否命题是“若，则”
（4）已知在上是奇函数,且满足,当初,，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）执行如图所示的程序框图，输出的成果为
（A） （B）
（C） （D）
（6）各项均为正数的等差数列中，，则前12项和的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
俯视图
（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2
的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个
几何体的体积为
（A） （B） （C） （D）
（8）已知，且，函数的图像
的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为
（A） （B） （C） （D）

（9）若实数满足约束条件 则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（10）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为
（A） （B） （C）2 （D）
（11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学最少保送1
人，则不一样的保送措施共有
（A） 150种 （B） 180种 （C） 240种 （D）540种
（12）已知的三个顶点，，的坐标分别为，O为坐标原点，动点满足，则的最小值是
（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生依照要求做答．
二．填空题：本大题共4小题，每题5分．
（13）已知向量，满足，在方向上的投影是，则 ．
（14）已知，则 ．
（15）展开式中的常数项为，则 ．
（16）已知为R上的连续可导函数，且，则函数
的零点个数为___________．

三．解答题：解答应写出文字阐明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
设为数列的前项和，已知，对任意，都有．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ）若数列的前项和为,求证：.

（18）(本小题满分12分)
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，
A
B
C
D
P
M
N
A1
B1
C1
D1
分别是线段的中点，过线段的中点作的平行线，分别交，于点，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（19）（本小题满分12分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有，不低于80且不超出120的年份有35年，超出120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为对应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（Ⅰ）求在将来4年中，至多1年的年入流量超出120的概率；
（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽也许运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；
年入流量

发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达成最大，应安装发电机多少台？

（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上一点到点的距离的最大值为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．

（21）（本小题满分12分）
已知函数（为自然对数的底数，为常数）在点处的切线斜率为.
（Ⅰ）求的值及函数的极值；
（Ⅱ）证明：当初，；
（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，于点，以为直径的圆与交于点．
F
C
D
A
B
E
O
N
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，点在线段上移动，,
与相交于点，求的最大值．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数）与曲线： (为参数，)．
（Ⅰ）若曲线与曲线有一个公共点在x轴上，求的值；
（Ⅱ）当初，曲线与曲线交于，两点，求，两点的距离．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知定义在R上的函数，，存在实数使成立．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若，，求证：．

广州市一般高中毕业班模拟考试
理科数学答案及评分参考

评分阐明:
1．本解答给出了一个或几个解法供参考，假如考生的解法与本解答不一样，可依照试题的重要考查内容比照评分参考制定对应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未变化该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超出该部分正确解答应得分数的二分之一；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．

一．选择题
（1）C （2）A （3）D （4）B （5）B （6）D
（7）A （8）B （9）B （10）C （11）A （12）A
二．填空题
（13）2 （14） （15）或 （16）0
（其中第15题中，答对2个给5分，答对1个给3分）

三．解答题
（17）证明：（Ⅰ）因为，
当初，，
两式相减，得，
即，
因此当初，.
因此.
因为，因此.
（Ⅱ）因为，，，
因此．
因此

．
因为，因此．
因为在上是单调递减函数，
因此在上是单调递增函数．
因此当初，取最小值．
因此.
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（18）（Ⅰ）证明：因为,是的中点,因此,.
因为，分别为，的中点，因此．
因此.
因为平面,平面，因此.
又因为在平面内,且与相交,
因此平面.
A
B
C
D
P
M
N
A1
B1
C1
D1
F
E
（Ⅱ）解法一:连接,过作于,
过作于,连接.
由（Ⅰ）知,平面,
因此平面平面.
因此平面,则.
因此平面,则.
故为二面角的平面角(设为)．
设,则由,,有,.
又为的中点，则为的中点，因此.
在，，在中，.
从而,．
因此.
因为为锐角，
因此．
故二面角的余弦值为.
A
B
C
D
P
M
N
A1
B1
C1
D1
x
y
z
解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重叠)．
则,.
因为为的中点,因此分别为的中点,
故,
因此,,．
设平面的法向量为，
则 即 故有
从而 取,则,
因此是平面的一个法向量．
设平面的法向量为,
则 即 故有
从而 取,则,
因此是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为,又为锐角，
则
.
故二面角的余弦值为.
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（19）解：（I）依题意，
，．
由二项分布，在将来4年中至多有1年入流量超出120的概率为：

．
（Ⅱ）记水电站年总利润为（单位：万元），
因为水库年入流量总不小于40,因此最少安装1台．
①安装1台发电机的情形：
因为水库年入流量总不小于40，因此一台发电机运行的概率为1，
对应的年利润，．

②安装2台发电机的情形：
当初，一台发电机运行，此时，
因此．
当初，两台发电机运行，此时，
因此.
因此的分布列如下：

4200
10000

0.2
0.8

因此．
③安装3台发电机的情形：
当初，一台发电机运行，此时，
因此．
当初，两台发电机运行，此时，
此时．
当初，三台发电机运行，此时，
因此．
因此的分布列如下：

3400
9200
15000

0.2
0.7
0.1

因此．
综上，欲使水电站年总利润的均值达成最大，应安装2台发电机．

（20）解：（Ⅰ）因为，因此．
则椭圆方程为即．
设，则
．
当初，有最大值为．
解得，则．
因此椭圆的方程是．
（Ⅱ）设曲线：上的点，因为，
因此直线的方程为：． ①
将①代入椭圆方程中整顿，
得．
则有．
且．
因此
．
设点到直线的距离为，则．
因此的面积．
．
当初取到“=”，经检查此时，满足题意．
综上，面积的最大值为．

（21）（I）解：由，得.
因为,因此．
因此，.
令,得．
当初, 单调递减；当初, 单调递增.
因此当初, 取得极小值,且极小值为无极大值．
（Ⅱ）证明：令,则.
由（I）得,故在R上单调递增．
因此当初，，即．
（Ⅲ）证明一：①若,则.
由（Ⅱ）知，当初，.因此当初, .
取,当初，恒有．
②若,令,
要使不等式成立，只要成立．
而要使成立，则只要,只要成立．
令,则.
因此当初, 在内单调递增.
取,因此在内单调递增.
又，
易知．
因此.即存在,当初，恒有．
综上，对任意给定的正数，总存在,当初,恒有．
证明二：对任意给定的正数，取，
由（Ⅱ）知，当初，，因此．
当初，．
因此，对任意给定的正数，总存在,当初,恒有．
证明三：首先证明当初，恒有．
令，则．
由（Ⅱ）知，当初，，
从而，在上单调递减。
因此，即．
取，当初，有．
因此，对任意给定的正数，总存在,当初,恒有．

（22）解：（Ⅰ） 在中，，于点，
因此，
因为是圆的切线，
由切割线定理得．
因此．
（Ⅱ）因为，因此．
因为线段的长为定值，即需求解线段长度的最小值．
弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点或重叠．
因此．

（23）解：（Ⅰ）曲线：的直角坐标方程为．
曲线与轴交点为．
曲线：的直角坐标方程为．
曲线与轴交点为．
由，曲线与曲线有一个公共点在x轴上，知．
（Ⅱ）当初, 曲线：为圆．
圆心到直线的距离．
因此两点的距离．

（24）解：（Ⅰ）因为．
要使不等式有解，则，解得．
因为，因此．
（Ⅱ）因为，
因此，即．
因此
．
（当且仅当初，即，等号成立）
故．