人教版九年级数学上册全册完整版课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,人教版,(,数学,),九年级,（,上册,),全册课件,精品,21.1,一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学习目标,1.,理解一元二次方程的概念,.,（难点）,2.,根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数,.,3.,理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题,.(,重点）,导入新课,复习引入,没有未知数,1.,下列式子哪些是,方程？,2+6=8,2,x,+3,5,x,+6=22,x,+3,y,=8,x,-5,18,代数式,一元一次方程,二元一次方程,不等式,分式方程,2.,什么叫方程？我们学过哪些方程？,含有未知数的等式叫做方程,.,我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及,分式方程，,其中前两种方程是,整式方程,.,3.,什么叫一元一次方程？,含有一个未知数，且未知数的次数是,1,的,整式方程,叫做一元一次方程,.,想一想：什么叫一元二次方程呢？,问题,1:,有一块矩形铁皮,长,100cm,宽,50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为,3600cm,2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？,100cm,50cm,x,3600cm,2,解：设切去的正方形的边长为,x,cm,则盒底的长为,（,100,2,x,)cm,宽为,(50,2,x,)cm,根据方盒的底面积为,3600cm,2,得,化简，得,一元二次方程的概念,一,讲授新课,该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？,问题,2:,要组织,要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,解：根据题意，列方程：,化简，得：,该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？,问题,3,在一块宽,20m,、长,32m,的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为,570,m,2,，问小路的宽应为多少？,32,20,x,1,.若设小路的宽是,x,m，那么横向小路的面_m,2,，纵向小路的面积是,m,2,两者重叠的面积是,m,2,.,32,x,2,.由于花坛的总面积是570m,2,.你能根据题意，列出方程吗？,整理以上方程可得：,思考：,2,20,x,32,20,(32,x,220,x,),2,x,2,=570,2,x,2,x,2,-36,x,35,=0,32,20,x,想一想：,还有其它的列法吗？试说明原因.,(20-,x,)(32-2,x,)=570,32-2,x,20-,x,32,20,观察与思考,方程、,都不是一元一次方程,.,那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？,特点,:,都是整式方程,;,只含一个未知数,;,未知数的最高次数是,2,.,x,2,-36,x,35,=0,只含有,一个未知数,x,的整式方程，并且都可以化为,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,b,c,为常数,a,0),的形式，这样的方程叫做一元二次方程,.,ax,2,+,bx,+,c,=,0,(,a,b,c,为常数,a,0),ax,2,称为二次项,a,称为二次项系数,.,bx,称为一次项,b,称为一次项系数,.,c,称为常数项,.,知识要点,一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式是,想一想,为什么一般形式中,ax,2,+,bx,+,c,=0,要限制,a,0,，,b,、,c,可以为零吗？,当,a,=0,时,bx,c,=0,当,a,0,，,b,=0,时,，,ax,2,c,=0,当,a,0,，,c,=0,时,，,ax,2,b,x,=0,当,a,0，,b,=,c,=0,时,，,ax,2,=0,总结：只要满足,a,0,，,b,，,c,可以为,任意实数,.,典例精析,例,1,下列选项中，关于,x,的一元二次方程的是（）,C,不是整式方程,含两个未知数,化简整理成,x,2,-3,x,+2=0,少了限制条件,a,0,提示,判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断,.,判断下列方程是否为一元二次方程？,(2),x,3,+,x,2,=36,(3),x,+3,y,=36,(5),x,+1=0,(1),x,2,+,x,=36,例,2:,a,为何值时，下列方程为一元二次方程？,(1),ax,2,x,=2,x,2,(2)(,a,1),x,|,a,|,+1,2,x,7=0.,解：,(1),将方程式转化为一般形式，得,(,a,-2),x,2,-,x,=0,所以当,a,-20,，即,a,2,时，原方程是一元二次方程；,(2),由,a,+1=2,，且,a,-1 0,知，当,a,=-1,时，原方程是一元二次方程,.,方法点拨：,用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于,2,，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于,0,的字母的值,变式：,方程,(2,a,-,4),x,2,2,bx,+,a,=0,（,1,）在什么条件下此方程为一元二次方程？,（,2,）在什么条件下此方程为一元一次方程？,解（,1,）当,2,a,40,，即,a,2,时是一元二次方程,（,2,）当,a,=2,且,b,0,时是一元一次方程,一元一次方程,一元二次方程,一般式,相同点,不同点,思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？,ax,=,b,(,a,0,）,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0,）,整式方程，只含有一个未知数,未知数最高次数是,1,未知数最高次数是,2,例,3,：,将方程,3,x,(,x,-1)=5(,x,+2),化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数,.,解：,去括号，得,3,x,2,-3,x,=5,x,+10.,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式,3,x,2,-8,x,-10=0.,其中二次项是,3,x,2,系数是,3,；一次项是,-8,x,系数是,-8,；常数项是,-10.,系数和项均包含前面的符号,.,注意,一元二次方程的根,二,一元二次方程的根,使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的,解,（又叫做,根,）,.,练一练：,下面哪些数是方程,x,2,x,6=0,的解,?,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,解：,3,和,-2.,你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根,.,例,4,：已知,a,是方程,x,2,+,2,x,2,=,0,的一个实数根,求,2,a,2,+,4,a,+,2018,的值,.,解：由题意得,方法点拨：,求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值,当堂练习,1.,下列哪些是一元二次方程？,3,x,+2=5,x,-2,x,2,=0,(,x,+3)(2,x,-4)=,x,2,3,y,2,=(3,y,+1)(,y,-2),x,2,=,x,3,+,x,2,-1,3,x,2,=5,x,-1,2.,填空：,方程,一般形式,二次项系数,一次项系数,常数项,-2,1,3,1,3,-5,4,0,-5,3,-2,4.,已知方程,5x+mx-6=0,的一个根为,4,，则的值为,_,3.,关于,x,的方程,(k,2,1)x,2,2(k,1)x,2k,2,0,当,k,时，是一元二次方程,当,k,时，是一元一次方程,1,1,4.,(1),如图，已知一矩形的长为,2,00cm,宽,1,50cm.,现,在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三,.,求挖去的圆的半径,x,cm,应满足的方程（其中取,3,）,.,解：设由于圆的半径为,x,cm,，,则它的面积为,3,x,2,cm,2,.,整理，得,根据题意有，,2,00cm,1,50cm,(2),如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为,75,万辆，两年后增加到,108,万辆,.,求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率,x,应满足的方程,.,解：该市,两年来汽车拥有量的年平均增长率为,x,整理，得,根据题意有，,5,.已知关于,x,的一元二次方程,x,2,+ax+a,=0的一个根是3，求,a,的值.,解：由题意把,x,=3代入方程,x,2,+ax+a,=0，得,3,2,+3,a,+,a,=0,9+4,a,=0,4,a,=,-,9,6.,若关于,x,的一元二次方程,（,m,+2),x,2,+5,x,+,m,2,-4=0,有一个根为,0,，求,m,的值,.,二次项系数不为零不容忽视,解：将,x,=0,代入方程,m,2,-4=0,，,解得,m,=2.,m,+2 0,，,m,-2,，,综上所述,：,m,=2.,拓广探索,已知关于,x,的一元二次方程,ax,2,+bx+c=,0,(,a,0),一个根为,1,求,a+b+c,的值,.,解：由题意得,思考,:,1.,若,a+b+c,=0,你能通过观察,求出方程,ax,2,+bx+c,=0(,a,0),的一个根吗,?,解：由题意得,方程,ax,2,+bx+c,=0(,a,0),的一个根是,1.,2.,若,a,-,b,+,c=,0,4,a,+2,b,+,c,=0,，你能通过观察,求出方程,ax,2,+bx+c,=0(,a,0),的一个根吗,?,x,=2,课堂小结,一元二次方程,概念,是整式方程；,含一个未知数；,最高次数是,2,.,一般形式,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0),其中,(,a,0),是一元二次方程的必要条件；,根,使方程左右两边相等的未知数的值,.,21.2.1,配方法,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,1,课时 直接开平方法,学习目标,1.,会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程,.,(,难点）,2.,运用开平方法解形如,x,2,=,p,或,（,x,+,n,),2,=,p,(,p,0),的方程,.,(,重点）,1.,如果,x,2,=,a,则,x,叫做,a,的,.,导入新课,复习引入,平方根,2,.,如果,x,2,=,a,(,a,0),则,x,=,.,3,.,如果,x,2,=64,则,x,=,.,8,4,.,任何数都可以作为被开方数吗？,负数不可以作为被开方数,.,讲授新课,直接开平方法,一,问题：,一桶油漆可刷的面积为,1500dm,2,，李林用这桶油漆恰好刷完,10,个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？,解：,设正方体的棱长为,x,dm,，则一个正方体的表面积为,6,x,2,dm,2,，可,列出方程,106,x,2,=1500,，,由此可得,x,2,=25,开平方得,即,x,1,=5,，,x,2,=,5.,因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为,5,dm,x,=5,，,试一试：,解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流,.,(1),x,2,=4,(2),x,2,=0,(3),x,2,+1=0,解,:,根据平方根的意义，得,x,1,=2,x,2,=-2.,解,:,根据平方根的意义，得,x,1,=,x,2,=0.,解,:,根据平方根的意义，得,x,2,=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解,.,(2),当,p,=0,时，方程,(I),有两个相等的实数根,=,0,；,(3),当,p,0,时，根据平方根的意义，方程,(I),有两个不等,的实数根 ，；,利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫,直接开平方法,.,归纳,例,1,利用直接开平方法解下列方程,:,(1),x,2,=6,；,(2),x,2,900=0.,解：,（,1,）,x,2,=6,，,直接开平方，得,（,2,）,移项，得,x,2,=900.,直接开平方，得,x,=,30,，,x,1,=30,x,2,=,30.,典例精析,在解方程,(I),时，由方程,x,2,=25,得,x,=5,.,由此想到,:,（,x,+3),2,=5,，,得,对照上面方法，你认为怎样解方程,（,x,+3,）,2,=5,探究交流,于是，方程,（,x,+3,）,2,=5,的两个根为,上面的解法中，由方程,得到,，实质上是,把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程,，这样就把方程,转化为我们会解的方程了,.,解题归纳,例,2,解下列方程：,（,x,1,）,2,=2,；,解,析：,第,1,小题中只要将,（,x,1）,看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解,.,即,x,1,=-1+,，,x,2,=-1-,解：,（,1,）,x,+1,是,2,的平方根，,x,+1=,解析：,第,2,小题先将,4,移到方程的右边，再同第,1,小题一样地解,.,例,2,解下列方程：,（,2,）,（,x,1,）,2,4=0；,即,x,1,=3,，,x,2,=-1,.,解：,（,2,）,移项，得（,x,-1,）,2,=4,.,x,-1,是,4,的平方根，,x,-1=2,.,x,1,=,，,x,2,=,(3),12,（,3,2,x,）,2,3=0,.,解析：,第,3,小题先将,3,移到方程的右边，再两边都除以,12,，再同第,1,小题一样地去解，然后两边都除以,-2,即可.,解,：,(3),移项，得,12,（,3-2,x,）,2,=3，,两边都除以,12,，,得,（,3-2,x,）,2,=0.25,.,3-2,x,是,0.25,的平方根，,3-2,x,=0.5,.,即,3-2,x,=0.5,3-2,x,=-0.5,解：,方程的两根为,解：,方程的两根为,例,3,解下列方程：,1.,能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？,如果一个一元二次方程具有,x,2,=,p,或,（,x,n,）,2,=,p,（,p,0,）,的形式，那么就可以用直接开平方法求解,.,2,.,任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明,.,探讨交流,当堂练习,(C),4(,x,-1),2,=9,解方程，得,4(,x,-1)=3,x,1,=,;,x,2,=,(D),(2,x,+3),2,=25,解方程，得,2,x,+3=5,x,1,=1;,x,2,=-4,1,.,下列解方程的过程中，正确的是（）,(A),x,2,=-2,解方程，得,x,=,(B),(,x,-2),2,=4,解方程，得,x,-2=2,x,=4,D,(1),方程,x,2,=0.25,的根是,.,(2),方程,2,x,2,=18,的根是,.,(3),方程,(2,x,-1),2,=9,的根是,.,3.,解下列方程：,(1),x,2,-81,0,；,(2)2,x,2,50,；,(3)(,x,1),2,=4.,x,1,=0.5,x,2,=-0.5,x,1,3,x,2,-3,x,1,2,x,2,1,2.,填空,:,解：,x,1,9,x,2,9,；,解：,x,1,5,x,2,5,；,解：,x,1,1,x,2,3.,4.,（请你当小老师）,下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗,?,如果有错，指出具体位置并帮他改正,.,解：,解：不对，从开始错，应改为,解方程,:,挑战自我,解：,方程的两根为,课堂小结,直接开平方法,概念,步骤,基本思路,利用平方根的定义求方程的根的方法,关键要把方程化成,x,2,=p,(,p,0),或,(,x+n,),2,=p,(,p,0),.,一元二次方程,两个一元一次方程,降次,直接开平方法,21.2.1,配方法,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,2,课时 配方法,学习目标,1.,了解配方的概念,.,2.,掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题,.,(,重点）,3.,探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系,.,（难点）,导入新课,复习引入,(1),9,x,2,=1,；,(2),(,x,-2),2,=2.,2,.,下列方程能用直接开平方法来解吗,?,1,.,用直接开平方法解下列方程,:,(1),x,2,+6,x,+9=,5,；,(2),x,2,+6,x,+4=0.,把两题转化成,(,x,+,n,),2,=,p,(,p,0),的,形式，再利用开平方,讲授新课,配方的方法,一,问题,1.,你还记得吗？填一填下列完全平方公式,.,(1),a,2,+2,ab,+,b,2,=(,),2,；,(2),a,2,-2,ab,+,b,2,=(,),2,.,a+b,a-b,探究交流,问题,2.,填上适当的数或式,使下列各等式成立,.,（,1,）,x,2,+4,x,+,=(,x,+,),2,（,2,）,x,2,-6,x,+,=(,x,-,),2,（,3,）,x,2,+8,x,+,=(,x,+,),2,（,4,）,x,2,-,x,+,=(,x,-,),2,你发现了什么规律？,2,2,2,3,2,3,4,2,4,二次项系数为,1,的完全平方式：,常数项等于一次项系数一半的平方,.,归纳总结,想一想：,x,2,+,px,+(,),2,=(,x,+,),2,配方的方法,用配方法解方程,二,合作探究,怎样解方程,:,x,2,+6,x,+4=0,(1),问题,1,方程,(1),怎样变成,（,x,+,n,),2,=,p,的,形式呢？,解：,x,2,+6,x,+4=0,x,2,+6,x,=-4,移项,x,2,+6,x,+9=-4+9,两边都加上,9,二次项系数为,1,的完全平方式：,常数项等于一次项系数一半的平方,.,方法归纳,在方程两边都加上,一次项系数一半,的,平方,.,注意是在,二次项系数为,1,的前提下进行的,.,问题,2,为什么在方程,x,2,+6,x,=-4,的两边加上,9,？加其他数行吗？,不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方,x,2,+2,bx,+,b,2,的形式,.,方程配方的方法：,要点归纳,像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做,配方法,.,配方法的定义,配方法解方程的基本思路,把方程化为,（,x,+,n,),2,=,p,的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解,例,1,解下列方程：,解：（,1,）移项，得,x,2,8,x,=,1,配方，得,x,2,8,x,+4,2,=,1+4,2,(,x,4),2,=15,由此可得,即,配方，得,由此可得,二次项系数化为,1,，得,解：移项，得,2,x,2,3,x,=,1,即,移项和二次项系数化为,1,这两个步骤能不能交换一下呢,?,配方，得,因为实数的平方不会是负数，所以,x,取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根,解：移项，得,二次项系数化为,1,，得,为什么方程两边都加,1,2,？,即,思考,1,：,用配方法解一元二次方程时，移项时要,注意些什么？,思考,2,：,用配方法解一元二次方程的一般步骤,.,移项时需注意改变符号,.,移项，二次项系数化为,1,；,左边配成完全平方式；,左边写成完全平方形式；,降次；,解一次方程,.,一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成,(,x,+,n,),2,=,p,.,当,p,0,时,则,方程的两个根为,当,p,=0,时,则,(,x,+,n,),2,=0,x,+,n,=0,开平方得方程的两个根为,x,1,=,x,2,=-,n,.,当,p,0,，,当,b,2,-4,ac,0,时，,a,0,4,a,2,0,，,当,b,2,-4,ac,0,时，,而,x,取任何实数都不能使上式成立,.,因此，方程无实数根,.,由上可知，一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0),的根由方程的系数,a,，,b,，,c,确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0),，当,b,2,-4,ac,0,时,，,将,a,，,b,，,c,代入式子,就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的,求根公式,，利用它解一元二次方程的方法叫做,公式法,，由求根公式可知，一元二次方程,最多,有两个实数根,.,注意,用,公式法,解一元二次方程的,前提,是:,1.,必需是一般形式的一元二次方程:,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0);,2.,b,2,-4,ac,0.,视频：求根公式的趣味记忆,公式法解方程,二,例,1,用公式法解方,程 5,x,2,-4,x,-12=0,解：,a,=5,b,=-4,c,=-12,，,b,2,-4,ac,=(-4),2,-45(-12)=2560.,典例精析,例,2,解方程：,化简为一般式：,解：,即：,这里的,a,、,b,、,c,的值是什么？,例,3,解方程：（精确到,0.001,）.,解：,用计算器求得：,例,4,解方程：,4,x,2,-3,x,+2=0,因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根,.,解：,要点归纳,公式法解方程的步骤,1.,变形,:,化已知方程为一般形式,;,2.,确定系数,:,用,a,b,c,写出各项系数,;,3.,计算,:,b,2,-4,ac,的值,;,4.,判断：,若,b,2,-4,ac,0,，则利用求根公式求出,;,若,b,2,-4,ac,0,=0,0,时,方程有两个不相等的实数根,.,b,2,-4,ac=,0,时,方程有两个相等的实数根,.,b,2,-4,ac,-1 B.,k,-1,且,k,0,C.,k,1 D.,k,0,，同时要求二次项系数不为,0,，,即,，,k,0.,解得,k,-1,且,k,0,，故选,B,.,B,例,7:,不解方程，判断下列方程的根的情况,（,1,）,3,x,2,+4,x,3=0,；（,2,）,4,x,2,=12,x,9;(3)7,y,=5(,y,2,+1).,解：（,1,）,3,x,2,+4,x,3=0,，,a,=3,b,=4,c,=,3,b,2,4,ac,=3,2,43(,3)=52,0.,方程有两个不相等的实数根,（,2,）方程化为：,4,x,2,12,x,+9=0,b,2,4,ac,=(,12),2,449=0.,方程有两个相等的实数根,例,7,:,不解方程，判断下列方程的根的情况,(3)7,y,=5(,y,2,+1,).,解：（,3,）方程化为：,5,y,2,7,y,+5=0,b,2,4,ac,=(,7),2,455=,51,0.,方程有两个相等的实数根,1.,解方程：,x,2,+7,x,18=0.,解：这里,a,=1,b,=7,c,=-18.,b,2,-,4,ac,=7,2,4 1(,-,18)=121,0,即,x,1,=-9,x,2,=2.,当堂练习,2.,解方程,（,x,-,2)(1,-,3,x,)=6,.,解：去括号，得,x,2,-,3,x,2,+6,x,=6,化简为一般式,3,x,2,-,7,x,+8=0,这里,a,=3,b,=,-,7,c,=8.,b,2,-,4,ac,=(,-,7),2,4 3 8=49,96,=,-,47 0,即,x,1,=,x,2,=,4.,关于,x,的一元二次方程 有两个实根，则,m,的取值范围是,.,注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况,.,解：,5.,不解方程，判断下列方程的根的情况,（,1,）,2,x,2,+3,x,-4=0,；（,2,）,x,2,-,x,+=0;(3),x,2,-,x,+1=0.,解：（,1,）,2,x,2,+3,x,-4=0,，,a,=2,b,=3,c,=-4,b,2,-4,ac,=3,2,-42(-4)=41,0.,方程有两个不相等的实数根,（,2,）,x,2,-,x,+=0,a,=1,b,=-1,c,=.,b,2,-4,ac,=(-1),2,-41 =0.,方程有两个相等的实数根,（,3,）,x,2,-,x,+1=0,，,a,=1,b,=-1,c,=1.,b,2,-4,ac,=(-1),2,-411=-3 0,时,方程有两个不相等的实数根,.,b,2,-4,ac=,0,时,方程有两个相等的实数根,.,b,2,-4,ac,0,.,方程有两个实数根,.,设方程的两个实数根是,x,1,x,2,那么,x,1,+,x,2,=-7,x,1,x,2,=6,.,（,2,）,2,x,2,-,3,x,-,2=0,.,解：,这里,a,=2,b,=,-,3,c,=,-,2,.,=,b,2,-,4,ac,=,（,-,3,）,2,4,2,(,-,2)=25 0,方程有两个实数根,.,设方程的两个实数根是,x,1,x,2,那么,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=,-,1,.,例,2,已知方程,5,x,2,+,kx,-6=0,的一个根是,2,，求它的另一个根及,k,的值,.,解：设方,程,的两个根分别是,x,1,、,x,2,，其中,x,1,=2,.,所以：,x,1,x,2,=2,x,2,=,即：,x,2,=,由于,x,1,+,x,2,=,2+,=,得：,k,=,7.,答：方程的另一个根是,，,k,=,7.,变式：,已知方程,3,x,2,-18,x,+,m,=0,的一个根是,1,，求它的另一个根及,m,的值,.,解：设方程的两个根分别是,x,1,、,x,2,，其中,x,1,=1,.,所以：,x,1,+,x,2,=1+,x,2,=6,，,即：,x,2,=5,.,由于,x,1,x,2,=15=,得：,m,=15.,答：方程的另一个根是,5,，,m,=15.,例,3,不解方程，求方程,2,x,2,+3,x,-1=0,的两根的平方和、倒数和,.,解：根据根与系数的关系可知：,设,x,1,x,2,为方程,x,2,-4,x,+1=0,的两个根，则,:,（,1,）,x,1,+,x,2,=,(2),x,1,x,2,=,(3),(4),.,4,1,14,12,练一练,例,4,：,设,x,1,，,x,2,是方程,x,2,-2(,k,-1),x,+,k,2,=0,的两个实数根，且,x,1,2,+,x,2,2,=4,，求,k,的值,.,解：,由方程有两个实数根，得,=4,（,k,-,1,）,2,-,4,k,2,0,即,-,8,k,+4 0,.,由根与系数的关系得,x,1,+,x,2,=2(,k,-,1),x,1,x,2,=,k,2,.,x,1,2,+,x,2,2,=(,x,1,+,x,2,),2,-,2,x,1,x,2,=4(,k,-,1),2,-,2,k,2,=2,k,2,-,8,k,+4,.,由,x,1,2,+,x,2,2,=4,，,得,2,k,2,-,8,k,+4,=,4,解得,k,1,=0,k,2,=4,.,经检验，,k,2,=4,不合题意，舍去,.,总结,常见的求值,:,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入,.,归纳,当堂练习,1.,如果,-1,是方程,2,x,2,x,+,m,=0,的一个根，则另一个根是,_,，,m,=_.,2.,已知一元二次方程,x,2,+,px,+,q,=0,的两根分别为,-2,和,1,，则：,p,=,q,=,.,1,-2,-3,3.,已知方程,3,x,2,-19,x,+,m,=0,的一个根是,1,，求它的另一个根及,m,的值,.,解：,将,x,=1,代入方程中：,3,-19,+,m,=0,.,解得,m,=16,设另一个根为,x,1,则：,1,x,1,=,x,1,=,4.,已知,x,1,x,2,是方程,2,x,2,+2,kx,+,k,-1=0,的两个根，且,（,x,1,+1)(,x,2,+1)=4,；,（,1,）,求,k,的值；,（,2,）,求,(,x,1,-,x,2,),2,的值,.,解,：,(1),根据根与系数的关系,所以,(,x,1,+1)(,x,2,+1)=,x,1,x,2,+(,x,1,+,x,2,)+1=,解得：,k,=-7,；,（,2,）,因为,k,=-7,所以,则：,5.,设,x,1,x,2,是方程,3,x,2,+4,x,3=0,的两个根,.,利用根系数之间的关系,求下列各式的值,.,(1),(,x,1,+1)(,x,2,+1),;(2),解,:,根据根与系数的关系得：,（,1,）,(,x,1,+1)(,x,2,+1)=,x,1,x,2,+,x,1,+,x,2,+1=,（,2,）,6.,当,k,为何值时，方程,2x,2,-kx+1=0,的两根差为,1.,解：设方程两根分别为,x,1,x,2,(x,1,x,2,),，则,x,1,-x,2,=1,(x,1,-x,2,),2,=(x,1,+x,2,),2,-4x,1,x,2,=1,拓展提升,由根与系数的关系，得,7.,已知关于,x,的一元二次方程,m,x,2,-2mx+,m,-2=0,（,1,）若方程,有实数根,求实数,m,的取值范围,.,（,2,）若方程两根,x,1,x,2,满足,x,1,-x,2,=,1,求,m,的值,.,解：,(1),方程有实数根,m的取值范围为m0,(2),方程有实数根,x,1,x,2,(x,1,-x,2,),2,=(x,1,+x,2,),2,-4x,1,x,2,=1,解得m=8,.,经检验m=8是原方程的解,课堂小结,根与系数的关系,（韦达定理）,内 容,如果一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0),的两个根分别是,x,1,、,x,2,，那么,应 用,21.3,实际问题与一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,1,课时 传播问题与一元二次方程,学习目标,1.,会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程,.,（重点）,2.,正确分析问题（传播问题）中的数量关系,.,（难点）,3.,会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并建模解决问题.,视频引入,导入新课,导入新课,图片引入,传染病，一传十,十传百,讲授新课,传播问题与一元二次方程,一,引例：,有一人患了流感,经过两轮传染后共有,121,人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人,?,分析,：,设每轮传染中平均一个人传染了,x,个人,.,传染源记作小明，其传染示意图如下：,合作探究,第,2,轮,小明,1,2,x,第,1,轮,第,1,轮传染后人数,x+,1,小明,第,2,轮传染后人数,x,(,x+,1)+,x,+1,注意：不要忽视小明的二次传染,x,1,=,x,2,=,.,根据示意图，列表如下：,解方程,得,答,:,平均一个人传染了,_,个人,.,10,-12,(,不合题意,舍去,),10,解,:,设每轮传染中平均一个人传染了,x,个人,.,(1+,x,),2,=121,注意,:,一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验,.,传染源人数,第,1,轮传染后的人数,第,2,轮传染后的人数,1,1+,x,=(1+,x,),1,1+,x,+,x,(1+,x,)=(1+,x,),2,想一想：,如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感,?,第,2,种做法,以第,2,轮传染后的人数,121,为传染源,传染一次后就是,:,121(1+,x,)=121(1+10)=1331,人,.,第一轮传染后的人数,第二轮传染后的,人数,第三轮传染后的,人数,(1+,x,),1,(1+,x,),2,分析,第,1,种做法,以,1,人为传染源,3,轮传染后的人数是,:,(1+,x,),3,=(1+10),3,=1331,人,.,(1+,x,),3,传染源,新增患者人数,本轮结束患者总人数,第一轮,1,1,x,=,x,1+,x,第二轮,1+,x,(1+,x,),x,1+,x,+,(1+,x,),x,=,第三轮,第,n,轮,思考：,如果按这样的传染速度，,n,轮后传染后有多少人患了流感？,(1+,x,),2,(1+,x,),n,(1+,x,),3,经过,n,轮传染后共有,(1+,x,),n,人患流感,.,(1+,x,),2,(1+,x,),2,x,(,1,+x,),2,+(1+,x,),2,x,=,例,1,：,某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是,91,每个支干长出多少小分支,?,主干,支干,支干,小分支,小分支,小分支,小分支,x,x,x,1,解,:,设每个支干长出,x,个小分支,则,1+,x,+,x,2,=,91,即,解得,x,1,=9,x,2,=,10(,不合题意,舍去,),答,:,每个支干长出,9,个小分支,.,交流讨论,1.,在分析,引例和例,1,中的数量关系时它们有何区别？,每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染,.,2.,解决这类传播问题有什么经验和方法？,（,1,）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；,（,2,）可利用表格梳理数量关系；,（,3,）关注起始值、新增数量，找出变化规律,.,方法归纳,建立一元二次方程模型,实际问题,分析数量关系,设未知数,实际问题的解,解一元二次方程,一元二次方程的根,检 验,运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？,例,2,：,某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有,100,台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，,4,轮感染后，被感染的电脑会不会超过,7000,台？,解：,设每轮感染中平均一台电脑会感染,x,台电脑，则,1,x,x,(1,x,),100,，即,(1,x,),2,100.,解得,x,1,9,，,x,2,11,(,舍去,),x,9.,4,轮感染后，被感染的电脑数为,(1,x,),4,10,4,7000.,答：每轮感染中平均每一台电脑会感染,9,台电脑，,4,轮感染后，被感染的电脑会超过,7000,台,1.,电脑,勒索,病毒,的,传播非常快，如果,开始有,6,台电脑被感染，经过两轮感染后,共,有,2400,台电脑被感染,.,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑,？,练一练,解：,设每轮感染中平均一台电脑会感染,x,台电脑,.,答：,每轮感染中平均一台电脑会感染,8,台电脑；,第,三轮感染,中,，被感染的电脑台数,不,会超过,700,台,.,解得,x,1,=19,或,x,2,=-21 (,舍去,),依题意,60+60,x,+60,x,(1+,x,),=2400,60,(1+,x,),2,=2400,2.,某种细胞细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞,.,（,1,）经过三轮分裂后细胞的个数是,.,（,2,）,n,轮分裂后，细胞的个数共是,.,8,2,n,起始值,新增细胞,本轮结束细胞总数,第一轮,第二轮,第三轮,第,n,轮,1,2,2,2,4,4,4,8,8,=2,2,=2,3,=2,1,2,n,1.,元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡,1980,张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有,x,名学生，那么所列方程为（）,A.,x,2,=1980 B.,x,(,x,+1)=1980,C.,x,(,x,-1)=1980 D.,x,(,x,-1)=1980,2.,有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是,73,，设每个枝干长出,x,个小分支，根据题意可列方程为（）,A.1+,x,+,x,(1+,x,)=73 B.1+,x,+,x,2,=73,C.1+,x,2,=73 D.(1+,x,),2,=73,当堂练习,D,B,3.,早期，甲肝流行，传染性很强，曾有,2,人同时患上甲肝,.,在一天内，一人平均能传染,x,人，经过两天传染后,128,人患上甲肝，则,x,的值为（）？,A.10 B.9 C.8 D.7,D,4.,为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请,n,个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请,n,个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有,111,个人参与了传播活动，则,n,=_.,10,5.,某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了,6,场，求初三有几个班？,解：初三有,x,个班，根据题意列方程，得,化简，得,