高二数学教学设计：球(二).doc

球（二）

　　●教学目标
　　(一)教学知识点
　　1．利用“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法推导球体积公式：V＝pR3．
　　2．球体积公式V＝pR3的应用．
　　3．几何体的接切问题．
　　(二)能力训练要求
　　1．使学生了解这种“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法．
　　2．使学生熟练掌握球体积公式V＝pR3．
　　3．使学生能熟练解决几何体的相接相切问题．
　　(三)德育渗透目标
　　培养学生用普遍联系的观点看问题．

　　●教学重点
　　球体积公式V＝pR3的应用．

　　●教学难点
　　了解“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法．

　　●教学方法
　　启发式
　　由于对推导球体积公式V＝pR3的过程并不要求学生准确掌握，重要的是让学生必须了解推导过程中所用的基本数学思想方法，即“分割——求近似和——化为准确和”这一重要的数学思想方法，这将有利于学生进一步学习微积分和近代数学知识．因此教师只须指导学生体会用“分割——求近似和——化为准确和”的这一重要数学思想在研究数学问题中的应用即可．
　　球体积公式V＝pR3的应用尤为重要．本节通过引入几何体的接切概念，将球体积公式的应用体现在与球有关的接切问题中．教学中，在解决与球有关的接切问题时，教师要启发学生自己归纳：在一般情况下，需要通过作一个怎样的适当截面，就可以将问题转化平面问题去解决．

　　●教具准备
　　多媒体课件一个：
　　作球O，过球心O作一截面，得一半球，则半球的底面是截面⊙O，把半球的垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n层．让学生观察得，若n无限大时，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”．
　　投影片四张：
　　第一张：本课时教案练习(记作§9．10．2 A)
　　第二张：课本P68例2(记作§9．10．2 B)
　　第三张：本课时教案例1(记作§9．10．2 C)
　　第四张：本课时教案例2(记作§9．10．2 D)

　　●教学过程

　　Ⅰ．复习回顾
　　［师］上节课我们讨论了球及其性质，学会了求地球上两点间的球面距离，现在请大家思考：若A、B为球面上相异的两点，则通过A、B可作的大圆个数为几个？为什么？
　　(学生思考，动手画)
　　［生甲］一个，因为A、B及球心O三点确定一个平面，所以这样的大圆只有一个．
　　［师］有不同意见吗？
　　［生乙］一个或无数个，当A、B及球心O不共线时，可作一个大圆；当A、B恰是球直径的两个端点时，即当A、B及球心O共线时，这样的大圆可作无数个．
　　［师］生甲只注意到其中的一种情况，漏掉了另一种情况，导致问题分析的不全面、不严谨，以后学习过程中应引起注意．
　　接下来，我们再练习一题．
　　(打出投影片§9．10．2 A，读题)
练习：设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两个点A、B，A在西经40°，B在东经50°，求A、B两点间的球面距离．
　　［师］A、B两点的球面距离，就是球面上两点之间的最短距离，是一段弦，请大家回忆上节课学习的计算A、B两点间的球面距离的一般步骤是什么？
　　［生］①计算线段AB的长；②计算A、B对球O的张角∠AOB；③计算大圆劣弧AB的长．
　　［师］好，下面请同学们画出这个题目的图形，找出A、B所在位置，按照以上步骤完成A、B两点间的球面距离．
　　(请一位同学板书，其余学习练习，教师查看指导)
　　解：如图所示：设45°纬度圈中心为O1，地球中心为O，则∠AO1B＝40°＋50°＝90°

　　∵　OO1⊥面O1所在平面，
　　∴　OO1⊥O1A，OO1⊥O1B．
　　∵　A、B在北纬45°圈上，
　　∴　∠AOO1与∠BOO1都等于纬度45°的余角45°．
　　∴　AO1＝BO1＝R．
　　在Rt△AO1B中，AB＝AO1＝R．
　　∴　△AOB为等边三角形，
　　∴　∠AOB＝．
　　∴　＝|a|·R＝R
　　∴　A、B两点的球面距离为R．
　　［师］解决这个问题的关键是确定球心角∠AOB．以上解法是将各分散的已知元素和所求元素都集中在较为熟悉的几何体——四面体之中，从而变未知为已知，使问题获解．
　　这节课，我们对球继续讨论，讨论球的体积及其在与球有关的相接相切问题中的应用．

　　Ⅱ．讲授新课
　　［师］球的体积就是球体所占空间大小的度量，球体积公式的推导过程使用了“分割、求近似和、再由近似和转化为准确和”方法，即先将半球分割成n部分；再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；最后通过考虑n变到无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
　　下面，我们一起来体会这种数学思想方法的应用．
　　(教师边讲边演示多媒体课件，学生观察、思考)
　　［师］由以上的演示过程，我们得到被分成n层的半球的每一层都是近似于圆柱形的“小圆片”．显然，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积．那么如何计算这些“小圆片”的体积呢？
　　［生］由于这些“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积．
　　［师］好！思路很正确，大家顺着这一思路自己阅读课本P67~68，完成“求和”及“化为准确和”的学习过程．
　　(学生自学，教师指导，可能有的学生对于第三步“化为准确和”中的“当n变得无穷大时，→0”的理解有困难，教师要及时地指导学生通过“n＝100，1000，10000，100000，…时的相应变化趋势”去直观地认识．)
　　［师］同学们理解了用“分割——求近似和——化为准确和”的这一思想方法推导球体积公式的过程了，那么对球的体积V与球的半径R之间的函数关系就搞清了，即V＝pR3，下面，我们来体会一下它的作用．(板书球体积公式)
　　(打出投影片§9．10．2 B，读题)
　　［师］怎样利用球体积公式处理这个问题呢？
　　［生］因为钢球的质量等于钢球的密度乘以钢球的体积，而钢球的体积又等于倍的外半径的立方减去倍的内半径的立方．故有：
　　解：设空心钢球的内径为2x cm，那么钢球的质量是：
　　7．9·［p·()3-px3］＝142，
　　x3＝()3-≈11.3，
　　由计算器算得x≈2.24．
　　2x≈4.5 cm
　　答：空心钢球的内径约为4.5 cm．
　　［师］两个几何体相接或相切的问题是立体几何中的重要内容．一般情况下，两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点(包括某一个面的周线上所有点或某一个面上的所有点)，都在另一个几何体的表面上．两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切．下面，我们研究与球有关的相接相切问题．
　　(打出投影片§9．10．2 C，读题)
［例1］求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
　　［师］解答本题的关键是根据问题的题设和所求，将问题的空间图形想清楚．那么，该如何去画呢？
　　［生］画出球及它的外切圆柱、等边圆锥的公共轴截面，再寻找几何体与几何体之间元素的关系．
　　(师生共同分析图形，教师板书解答过程)
　　解：如图所示，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1．

　　设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有
　　OB＝O1O·cot30°＝R
　　SO＝OB·tan60°＝R·＝3R
　　∴　V球＝pR3，V柱＝pR2·2R＝2pR3
　　V锥＝p·(R)2·3R＝3pR3
　　∴　V球∶V柱∶V锥＝4∶6∶9
　　［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系．
　　让我们继续体会有关球的相接相切问题．
　　(打出投影片§9．10．2 D，读题)
［例2］半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？
　　［师］同学们分析题目，整理你的思路．
　　［生］先用R表示正四面体的棱长，再求内切球的半径．
　　［师］内切球的半径怎样求呢？
　　［生］根据几何体相切的定义知内切球球O到正四面体各面距离为内切球的半径，故可以通过等体积法求之．
　　(学生分析，教师板书解答过程)
　　解：如图所示，大球O的半径为R；设正四面体A-BCD的棱长为a，它的内切球半径为r，依题意BO1＝·a＝a，

　　AO1＝＝a．
　　又∵　BO2＝BO12＋OO12，
　　∴　R2＝(a)2＋(a-R)2，
　　∴　a＝R，
　　连结OA，OB，OC，OD，内切球球心到正四面体各面距离为r，＝VO-ABC＋VO-ACD＋
　　VO-ADB＋VO-BCD
　　∴　·S△BCD·AO1＝4··S△BCD·r，
　　∴　r＝，
　　∴　r＝R＝R，
　　∴　V小球∶V大球＝p·(R)3∶p·R3＝1∶27．
　　∴　内切球与外接球的体积比为1∶27．
　　［师］整个解题过程中，最关键是什么？
　　［生］关键在于求正四面体的高．
　　［师］好！本例题的难点显然是利用等体积求内切球的半径，突破这一难点需要同学们有较强的空间想象和分析能力．所以，同学们在平时学习过程中就应该注重培养自己的观察、判断推理的数学技能．

　　Ⅲ．课堂练习
　　课本P69练习1、2．
　　1．球的直径伸长为原来的2倍，计算球的体积变为原来的几倍．
　　答案：设原来球体积为pR3，则当球的直径伸长为原来的2倍时，体积变为·p·(2R)3，所以，显然球的体积变为原来的8倍．
　　2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4 cm，求这个球的体积．
　　答案：因正方体的顶点都在球面上，所以正方体的体对角线长等于球的直径，即＝2R，又有V＝pR3＝p·()3＝32p cm3．

　　Ⅳ．课时小结
　　本节课学习了球体积公式及与球有关的相接相切的问题，对于前者，要求同学们要理解并能体会出“分割——求近似和——化为准确和”的这种重要数学思想方法的应用．对于处理后者的问题时，一般可通过作一适当的截面，使得问题转化为平面问题而获解，这类截面常常是圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每一个几何体的主要元素，并且这个截面能反映出几何体与几何体之间的位置关系与数量关系．

　　Ⅴ．课后作业
　　(一)课本P71　5、6．
　　(二)
　　1．预习内容：课本P69~P71
　　2．预习提纲
　　(1)再次体会“分割——求近似和——化为准确和”的这种重要的数学思想方法．
　　(2)在球的表面积公式中体会S与R之间的关系．

　　●板书设计
§9．10．2　球(二)
　　1．球体积公式的推导：　　　例1　　　例2
　　分析　　 分析
　　2．与球有关的相接切问题：　解　　　　解
　　练习1．
　　2．
　　小结

　　●备课资料

　　一、球体积公式的学习
　　球体积公式叙述了球的体积与球半径之间的函数关系，即V(R)＝ pR3，教学中应要求学生熟练掌握在各种不同条件下求出球的半径，进而求出球的体积，下面，我们通过例题的分析体会不同条件下对球半径R的不同求法．
　　［例1］一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，则此球的体积是(　)
　　A．p　　　　 B．p C．p D．4(＋1)p
　　分析：正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合，这样就找到了正方体的对角线与球直径相等这一重要关系．
　　解：∵　正方体的体积是8．
　　∴　正方体的棱长为2．
　　又∵　球的半径与内接正方体棱长的关系为2r＝a，
　　∴　r＝．
　　∴　球的体积V＝p()2＝4p．
　　答案：B
　　评述：此题的关键是寻找球半径与其内接正方体棱长之间的关系．
　　［例2］正三棱锥P-ABC的侧棱长为l，两侧棱的夹角为2a，求它的外接球的体积．
　　分析：利用正三棱锥的性质及平面几何知识求出球的半径．
　　解：如图所示，作PD⊥底面ABC于D，则D为正△ABC的中心．

　　∵　OD⊥底面ABC，
　　∴　P、O、D三点共线，
　　∵　PA＝PB＝PC＝l，∠APB＝2a．
　　∴　AB＝＝2lsina，
　　∴　AD＝AB＝lsina，
　　再设∠APD＝b，作OE⊥PA于E，
　　在Rt△APD中，
　　∵　sinb＝sina，
　　又OP＝OA＝R，∴　PE＝PA＝l．
　　在Rt△POE中，
　　∵　R＝PO＝，
　　∴　V球＝p［ ］3
　　∴　V球＝
　　评述：此题应准确把握图形特点，找出几何体内各个元素之间的关系，进而求出球的半径．
　　［例3］一个高为16的圆锥内接于一个体积为972p的球，在圆锥内又有一个内切球．
　　求：(1)圆锥的侧面积；
　　(2)圆锥内切球的体积．
　　分析：作出轴截面图，将问题转化为已知△ABS的外接圆半径和高，求它的边AS、BS的长和内切圆半径，可通过平面几何知识解决．
　　解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于⊙O，而⊙O1内切于△SAB．

　　设⊙O的半径为R，则有：
　　pR3＝972p．
　　∴　R3＝729，R＝9．
　　∴　SE＝18．
　　已知SD＝16，
　　∴　ED＝2，连结AE，则由SE是直径，SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝18·16＝288，
　　∴　SA＝12．
　　∵　AB⊥SD，
　　∴　AD2＝SD·DE＝16×2＝32．
　　∴　AD＝4．
　　∴　S圆锥侧＝p·4·12＝96p．
　　(2)设内切球O1的半径为r，
　　∵　△SAB的周长为2(12＋4)＝32．
　　∴　r×32＝ ×8×16．
　　∴　r＝4．
　　∴　内切球O1的体积V球＝pr3＝p．
　　评述：①在处理与球有关的相接相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将问题由立体转化为平面问题解决，而这类截面常指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．
　　②通过此例的分析，应使学生注意归纳、总结解决综合性较强的数学问题的规律和方法．

　　二、参考练习题
　　1．球与正四面体的6条棱都相切，则球与正四面体的体积比是多少？
　　解：如图所示，设正四面体棱长为a，球半径为R，取AB中点E，CD中点F，连结AF、BF，EF则AF＝BF＝，

　　∴　EF⊥AB，同理可得EF⊥CD．
　　∴　EF是AB、CD的公垂线，
　　∴　EF是AB、CD的距离．
　　EF＝＝a．
　　又∵　球与正四面体的6条棱都相切，
　　∴　EF是该球的直径，即2R＝a，
　　∴　R3＝a3．
　　∴　V球＝pR3＝p·pa3，
　　又V正四面体＝a3，
　　∴　V球∶V正四面体＝p∶2
　　2．棱长为a的正四棱锥的外接球的体积是多少？
　　解：如图所示，设正四棱锥P-ABCD，作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，

　　∴　OA＝OB＝OC＝OD＝a．
　　又∵　PA＝PC＝a，AC＝a，
　　∴　∠APC＝90°．
　　∵　O为AC的中点，
　　∴　OP＝a．
　　∵　O到A、B、C、D距离相等．
　　∴　球半径R＝OA＝a，
　　∴　V球＝p·(a)3＝pa3．