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2．3 恰当微分方程与积分因子
一、恰当微分方程
将改写成关于的对称形式: .
1． 定义：若(2.42)的左端恰好是某个二元函数的全微分，即
则称(2.42)为恰当微分方程。其中在某个矩形区域内是连续函数且具有连续的一阶偏导数。
2．通解：为任意常数。
3．恰当微分方程的判别及求解方法。
命题1 方程是恰当微分方程的充要条件是。
证明 ： 必要性， 若方程是恰当微分方程，则存在某个二元函数，使得
成立，有，,所以
，
而是连续函数且具有连续的一阶偏导数，知，即有。
充分性 ，由所找的满足，把看成参数，积分得，
，
又由，得
只需说明上式右端与x无关，关于它对 x求导，
从而
得
有，
因而方程为恰当微分方程。
例1 求的通解。
解: 这里 ,
, 方程为恰当微分方程.
设 满足
（1）
, （2）
对（1）关于积分得
再对y求导
所以
从而 , 通解为 （c为任意常数）
例
解: 这里
方程为恰当微分方程，
设 满足
， （1）
， （2）
对（1）关于积分得
再对y求导
于是，，取。
所以，通解为（c为任意常数）。
分项组合方法：把那些本身已经构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分的方法。
熟记一些二元函数的全微分
例2 利用分项组合方法求的通解。（例1）
解: 分项组合得
有 ,
得通解为 .（c为任意常数）
例3 求解方程
解: 因为 , 为恰当微分方程.
分项组合得 ,
得通解为 .（c为任意常数）
解法2: 这里
，方程为恰当微分方程，
设 满足
， （1）
， （2）
对（1）关于积分得
再对y求导
于是，，
所以，通解为（c为任意常数）。
小结：求解恰当微分方程的步骤：
1） 判断方程是否为恰当微分方程
2） 利用，求，（或用分项组合方法）
3） 方程通解为为任意常数。
练习：P60 1 （1）
2 （1） （4） （5）
（1）
解： ，=1 .
则，所以此方程是恰当方程。
分项组合得
得 ：，（c为任意常数）
（3）
解：
则 ，因此此方程是恰当方程。
（1）
（2）
对（1）关于的积分，则
= （3）
对（3）做的积分，则
=
=
则
故此方程的通解为（c为任意常数）。
2（1）2x(y-1)dx+dy=0
解：= 2x , =2x
所以，=，故原方程为恰当方程
分项组合得：2xydx+dy-2xdx =0
所以，d(y-x)=0
故所求的解为y-x=C（c为任意常数）。
（4）
解：两边同除以 得
即，
故方程的通解为（c为任意常数）。
（5）
解：方程可化为：
即，
故方程的通解为： （c为任意常数）。
同时，y=0也是方程的解。
作业：P60 1 （3） （5）， 2 （2） （3）
二、积分因子
1．定义：若存在连续函数，使得
为恰当微分方程，则称为的积分因子。
注：1）当时，若已求得方程的通解为，则它是的通解。
2）若方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不唯一。
2．积分因子的求法。
（回忆）命题1 方程是恰当微分方程的充要条件是。
命题2 函数是的积分因子的充要条件是，即
证明：由命题1得证。
特殊情况：
1.，，则。
2.，若，则。
例
解:因为，所以积分因子为，
方程两边乘以，得
分项组合得，
解为，（c为任意常数）
还有解。
例4 试用积分因子的方法求解线性方程.
解: 方程改写为 ,
, 从而有只与有关的积分因子,
乘方程两端得
即 ,
从而通解为 ,
即 （c为任意常数）
贝努利方程：的积分因子。
解:
不能做！
两边同乘以，令，
线性方程有积分因子：
，
故原方程的积分因子为：。
例5 求解方程.
解: 方程改写为 ,
或 , 两边乘以 得
从而通解为 ,（c为任意常数）
即
例6 求解方程.
解:
解法一, 只与有关的积分因子为 ,
乘积分因子得
或
因而通解为 .（c为任意常数）
此外, 也是原方程的解.
解法二, 方程改写为
可观察的积分因子为 , 得 ,
因而通解为 .（c为任意常数）
此外, 也是原方程的解.
解法三, 方程改写为 做变量替换，即，有，从而方程变为 .
因而通解为
代回原变量 有 ，（c为任意常数）
此外, 也是原方程的解.
解法四, 把看成未知函数, 看成自变量,方程变为线性方程
可解得 （c为任意常数）
此外, 也是原方程的解.
练习
1. 解方程
2． 解方程
1． 解方程
解 这里,注意
它仅是依赖与，因此有积分因子
给方程两边乘以因子得到
分项组合得
从而可得
通解 （c为任意常数）
2．解方程
解 这里方程不是恰当的.但是
它有仅依赖于的积分因子
方程两边乘以积分因子得到
分项组合得
所以
从而可得到隐式通解
（c为任意常数）
另外，还有特解. 它是用积分因子乘方程时丢失的解.
作业：P61 2 （7） （8） （10）
附加题：
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