第二轮专题讲座——分类讨论思想.doc

高三专题讲座(第二轮)
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分类整合的思想方法
分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。在解题时,我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，划分只是手段，分类研究才是目的，这种“合－分－合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略. 引起分类讨论的原因很多，可以是：(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、斜率的定义 (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等.在分类讨论时要做到分类标准要统一，不重复不遗漏。
1、方程、不等式、函数的类型的确定
例1．（山东文登三中2009）至少有一个正的实根的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
解：当时，方程为，满足。当时，至少有一个正的实根，设，当时，∵，∴一定有一个正的实根；当时，∵，∴即，综上，故选B
评注：对于函数、方程、不等式问题，要先判断其类型，而对于二次函数、二次方程、二次不等式之间常常相互转化，并借助函数的图象，得到方程或不等式（组）解出。
例2．（2008山东省泰安市）已知函数．
（1）当时，证明函数只有一个零点；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，其定义域是，
令，即，
解得或． ，舍去．
当时，；当时，．
∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
∴当时，函数取得最大值，其值为．
当时，，即． ∴函数只有一个零点．
（2）法一：因为其定义域为，
所以
①当时，在区间上为增函数，不合题意
②当时，等价于，即．
此时的单调递减区间为．依题意，得解之得．
③当时，等价于，即·
此时的单调递减区间为，得
综上，实数的取值范围是
法二：
由在区间上是减函数，可得在区间上恒成立．
① 当时，不合题意
② 当时，可得即
评注：对于函数、不等式、方程的类型不确定时，就要对其参数进行讨论。而对于二次不等式恒成立问题可以借助的图象进行分类转化。
2、函数的零点（或方程的根）与所给区间关系的讨论
例3．(2007广东) 已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围.
解：若 , ,显然在上没有零点, 所以 .
令 , 解得
①当 时, 的解为，恰有一个零点在上;
②当，即时，在上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或，综上所求实数的取值范围是 或 .
评注：二次方程的实根分布要结合二次函数的图象对其所给的区间与其对称轴之间的相对位置关系进行分类讨论，可从四个角度考虑①开口方向②对称轴③判别式④端点。
例4．（2008天津卷，文21）已知是实数，函数。
（Ⅰ）若，求的值及曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最大值。
解：（Ⅰ），因为，所以．又当时，，，所以曲线在处的切线方程为．
（Ⅱ）令，解得，．
当，即时，在上单调递增，从而．
当，即时，在上单调递减，从而．
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述，
评注：本题主要考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识，以及运用分类整合的数学思想和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
3、变量对不等式变形的影响
例5．（2008江苏卷14）．设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为
解：若，则不论取何值，≥0显然成立；当 即时，≥0可化为：
设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0可化为，
在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4
4、两个实数大小关系的确定
例6．（2008宁夏银川一中）设且,比较与的大小．
解: -()=,
当且时,∵ ,∴．
当时, ∵ ,∴=．
当时,∵ ,∴。
评注：在比较两个数的大小关系时，要注意参数的取值范围和不同的取值所得到的结果不同。
例7．（2008南通四县）已知函数
(1)当时，恒成立，求的取值范围；
(2)讨论在定义域上的单调性；
解：(1)：由 恒成立,得:在时恒成立
当时，当时即，令 ,
由于时 ,在时为增函数， 在时为减函数
∴ ∴
(2)：，
（Ⅰ）当时，恒成立，在上为增函数．
（Ⅱ）当时，①当时， ，
在上为减函数，在上为增函数。②当时，在上为减函数，在上为增函数．
③当时，，
故在]上为减函数，在[上为增函数．
5、由绝对值的定义引发的讨论
例8．（2008山东省郓城一中）已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且，公比；
（1）求 （2）设，求数列的前n项和。
解：（Ⅰ）依题意得

又
（Ⅱ）

例9．（2008江苏卷20）已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，
（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；
（2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）
解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立. （*） 由于的最大值为，
故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件。
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))

图1
（2）分两种情形讨论
（i）当时，由（1）知（对所有实数）
则由及易知，
再由的单调性可知，
函数在区间上的单调增区间的长度为（参见示意图1）
（ii）时，不妨设，则，于是
当时，有，从而；
当时，有
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))
(x0,y0)
(p2,2)
(p1,1)
图2
从而 ；当时，，及，由方程 解得图象交点的横坐标为 ⑴
显然，
这表明在与之间。由⑴易知
综上可知，在区间上， （参见示意图2）
故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得 ⑵
故由⑴、⑵得
综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。
评注：本题的条件比较复杂，题目中解析式需要自己根据条件确定，进行分类讨论。解决本题的障碍在于有可能读不懂题意，条件比较抽象，从而对问题的转化产生障碍，不能够做到善始善终地解决彻底。
6、参数对函数单调性（极值点）的影响
例10．（2008山东卷，理）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
解：(I) 函数的定义域为.
，
令，则在上递增，在上递减，
.当时，，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，时，
时，时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.
当时，，，
此时在上有唯一的极小值点.
当时，在都大于0 ，在上小于0 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
（III） 当时，
令则在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有.
即当时，有，
对任意正整数，取得
7、由圆锥曲线的范围引发的讨论
y
O

.
.
.
M

x
.
例11．（2007上海文）我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求该
“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当取得最小值时，
在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
解：（1） ，
，
于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则
，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．
．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
例12．（2007陕西卷，文22）已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．

．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值．
8、由位置关系引发的讨论
例13．（2008广东省深圳中学）已知方程
（1）当时，求方程的各个实根；
（2）若方程
均在直线的同侧，求实数的取值范围。
解：（1）当时，，解得
（2）
函数的图象相交于两点（2，2），（—2，—2）
函数的图象相交于两点（1，1），（—1，—1）
①当时，点的直线的异侧
②当时，要使与的两个交点在同直线的右侧
满足；
当时，要使与的两个交点在同直线的左侧
需满足
所以满足条件的的取值范围是（
例14．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号，2号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有（ ）
分析：由于本题中有特殊的元素和多余的元素，所以需要根据特殊元素有没有入选进行分类。
解：分三类：（1）不选1号，2号小麦品种，有种选法；
（2）1号，2号小麦品种只选1种，有种不同的选法；
（3）1号，2号小麦品种都选，有种选法。
综上，共有240种选法。
例5．已知，求的值
解析：已知，但不知角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上；应根据的值来确定角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况来求的值。
（1）当，即（此时角的终边在轴上）时，
（2）当，为第一或第三象限角
若角在第三象限，则若角在第三象限，则
（3）当，为第二或第四象限角
若角在第二象限，则若角在第四象限，则
综上所述，当角在第一象限、轴的正方向及第四象限角时，
当角在第二象限、轴的负方向及第三象限角时，

9、概率中的分类整合
例15．（2008南通四县市）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为．
（1）求直线与圆相切的概率；
（2）将,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,事件总数为6×6=36．
∵直线与圆相切的充要条件是
即：，由于
∴满足条件的情况只有；或两种情况．
∴直线与圆相切的概率是
（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,事件总数为6×6=36．
∵三角形的一边长为5
∴当时， 1种
当时， 1种
当时， 2种
当时， 2种
当时， 6种
当a=6时， 2种
故满足条件的不同情况共有14种

答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．
例16．（2008福建卷，20）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，
求的数学期望E.
解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.
(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，
则.
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.
(Ⅱ)由已知得，，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

故
答：该考生参加考试次数的数学期望为.
10、数列中的分类整合
例17．（2007上海卷，理20）若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项
（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和
解：（1）设的公差为，则，解得 ，
数列为．
（2）
，
，
当时，取得最大值． 的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
对于①，当时，．
当时，
．
对于②，当时，．
当时，．
对于③，当时，．
当时，．
对于④，当时，．
当时，．
11、预测题
（1）函数在上有最大值，则实数的取值范围为
解法一、当时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意。
当时，函数，其对称轴为
当时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意。
当时，当即时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意。
综上：当时，函数在上有最大值。
解法二、由得，要使函数在上有最大值，需使在上为单调增函数，由，当时成立，当，得，因为在上的最大值为，所以。
综上：当时，函数在上有最大值。
答案：
（2）．（2008福建德化一中）已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底, )
（Ⅰ） 求的解析式;
（Ⅱ）设求证：当，时，；
（Ⅲ）是否存在负数，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由。
解：（Ⅰ）设，则，所以
又因为是定义在上的奇函数，所以
故函数的解析式为
（Ⅱ）证明：当且时，，设 因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以 又因为，所以当时，，此时单调递减，所以
所以当时，即
（Ⅲ）解：假设存在负数，使得当时，有最小值是3，则
①当，由于，则，故函数 是上的增函数．所以，解得（舍去）
②当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数．
所以，解得满足题意。
综上可知，存在负数，使得当时，有最小值３
（3）．（2007湖北卷21）已知数列和满足：,
其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为
又,所以当,此时不是等比数列：
当时，,由上可知bn≠0，∴.
故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当,不满足题目要求.
∴，故知，于是可得Sn=
要使对任意正整数成立，即
, ①则
当n为正奇数时，;
∴的最大值为,的最小值为,
于是，由①式得,
当时，不存在实数满足题目要求；
当存在实数，使得对任意正整数,都有,且的取值范围是
（4）（2008浙江省余姚中学）设是的一个极值点，
⑴求与的关系式（用表示）并求的单调区间.
⑵是否存在实数，使得对任意及总有恒成立，若存在求出的范围。若不存在，说明理由.
解：（1）
由得 ∴

令得
由于是的极值点，故，即
① 当时，，故为的单调增区间； 为的单调减区间。
② 当时，，故为的单调增区间； 为的单调减区间。
（2）由得，从而知在上单调递减，在上单调递增，的值域为
假设存在实数满足题设，依题意有：
恒成立，即恒成立，
令，则有，解得，即
评注:本题在导函数值为0时,方程的根的大小问题上产生分歧而需要分类讨论.
（5）（2007全国1理21）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．
（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．
证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则，
；
因为与相交于点，且的斜率为，
所以，．
四边形的面积．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
（6）（山东省济宁市2009）已知函数，，且对于任意实数，恒有
（Ⅰ）的解析式；
（Ⅱ）数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅲ）数有几个零点？
解：（Ⅰ）
根据题意，对于任意实数，恒有
即，即，所以
所以
（Ⅱ），
∵函数在区间上单调递减，
∴在区间上，即在区间上恒成立. ∴，即
（Ⅲ），
令，解得或或
当时，；当时，；当时，；当时，
；
①当且，即时，函数没有零点；
②,即时, 函数有两个零点；
③且，即时，函数有四个零点；
④时, 函数有三个零点；⑤且，即时，函数有两个零点；
综上所述，当时，函数没有零点；当时，函数有四个零点；当时，函数有两个零点
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