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九年级数学教学案例----
《二次函数的图象与性质》复习课
案例过程：
一、预习交流：
1.形如y=________________的函数叫关于的二次函数。
2.是二次函数，则m的值为（ ）。
A、0，-3 B、0，3 C、0 D、-3
3. 二次函数的图象是__________。
4.二次函数y=-x2-6x-5，
（1）对称轴为________，顶点为__________。
（2）开口向 ，图象有最 点；当x= 时，y有最 值= 。
（3）当x 时，y随着x的增大而增大，
当x 时，y随着x的增大而减小。
（4）图象与x轴交于点 、 ；与y轴交于点 。
（5）图象可由y=-x2的图象向___平移___个单位，再向___平移___个单位得到。
5. 抛物线的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 （ ）
A． B．且
C． D．且
6. 若二次函数的部分图象如图所示，
则关于x的一元二次方程的一个解
，另一个解 。

二、明确目标：
1. 熟记二次函数的性质；
2. 熟练掌握抛物线的对称轴、顶点及与坐标轴交点坐标的求法；
3. 依形判数，由数思形。
4. 理解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与其系数的关系。

三、分组合作：
例题1：
如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）,请判断下列各式的符号：
（二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与其系数的关系）
① a 0; ② b 0;
③ c 0; ④ abc 0；
x
y
O
-1
1
⑤ b2 - 4ac 0;
⑥ 2a－b 0；
⑦ a+b+c 0;
⑧ a-b+c____0.
⑨ 4a-2b+c___0;
⑩ a-c___0.
例题2：
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点
A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），
（1）二次函数的解析式为 ．(待定系数法)
（2）当自变量 x 时，函数值y随x的增大而增大 ；（增减性）
（3）当 时，y＞0;（二次函数与一元二次不等式的结合）
当 时，y＜0 ．
x
1
-1
-3
3
y
O
A
B
C

例题3：
（1）请思考函数y＝ x²－4x＋3,并写出相关结论。
（同学们比一比，赛一赛，看谁写得多）
（分甲乙两个组，5分钟后各自派代表展示该组的相关结论）
（相关结论：开口方向，最值，对称轴，顶点坐标，单调性，与两坐标轴的交点，与之相关联的一元二次不等式的解集，可由函数y＝x²怎样平移得到?）
（2）请写出一个二次函数解析式，使其图象的对称轴为x=1，并且开口向下。

四、展示提升：
拓展1：（二次函数与一次函数的结合）
若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与该抛物线交于B、C两点，
(4)当自变量 时，两函数的函数值都随x的增大而增大．
(5)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值；
(6)当自变量 时，两函数的函数值的积小于0。
1
－1
－3
3
y
O
A
B
C
x

拓展2：（二次函数与平面几何的结合）
如图，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A、B、C三点，且A（－1，0），C（0，－3），若∠ACB=90°，求此二次函数的解析式。
x
-1
-3
y
O
A
B
C

（以上两个题，让学生展示自己的答案以及解题思路和方法）

五、课外扩展：
1、中考题赏析：在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）（2009年兰州）

2、备考笔记：
（1）决定 ____，.（抛物线平移后的值 ）
（2）和共同决定抛物线 的位置.（若=0，则 ）
（3）的大小决定抛物线与 轴交点的位置.
（抛物线过原点，则 ）
（4）的大小决定抛物线与 轴交点的个数.
（抛物线的顶点在x轴上，则 =0）
（5）根据对称轴与直线x=1，-1的位置,判断2a+b, 2a-b等的符号；
（6）看点的位置, 如(1,a+b+c),(-1, a-b+c), (2, 4a+2b+c), (3, 9a+3b+c)等，判断函数值的符号, 即a+b+c ，a-b+c，4a+2b+c，9a+3b+c等的符号。
（7）看图象的走势定函数的增减性.（以对称轴为界）
自左向右看，上升，则y 随 x 增大而增大；下降，则y 随 x 增大而减小。
（8）看部分图象对应的取值范围：
（图象端点向 x 轴引垂线，由垂足对应的数看 x 的取值范围）
（图象端点向 y 轴引垂线，由垂足对应的数看 y 的取值范围）
3、解题技巧：
（1） 要善于借助抛物线的对称性将所判断的问题进行转化。
（2） 要会灵活地将所给式子进行恒等变形。

六、达标测评：
1．请写出一个二次函数解析式，使其图象与x轴的交点坐标为（－1，0）、（2， 0）。
答 。
2．请写出一个二次函数解析式，使其图象与y轴的交点坐标为（0， 2），且图象的对称轴在y轴的右侧。
答 。
3. 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（3，0），则a+b+c的值为 。
4. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点坐标是___________。
5. 关于x的一元二次方程x2-x-n=0无实数根，则抛物线y=x2-x-n的顶点在（ ）
A．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
x
o
y
-1
1

6. 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：
①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a-b+c＞0; ⑤4a+2b+c＞0
正确的个数是 （ ）
A、2个 B、3个
y
x
1
O
－1
－3
C、4个 D、5个

7. 已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，
则方程ax2+bx+c=0的解为 ；
若y＜0，则x的取值范围是
A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3
C．x＜－1或 x＞4 D．x＜－1或 x＞3

x
y
O
-2
8. 下图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，且经过点 （－2，0），
则下列结论中正确的个数有（ ）
①a <0; ②b<0; ③c>0;
④抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是（1，0）;
⑤抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是（4，0）。
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

回顾与反思 ：
1.每一个学生都有一定的知识体验和生活积累,每个学生都会有各自的思维方式和解决问题的策略。这一堂课我让学生成为数学学习的主人,自己充当数学学习的组织者,取得了意想不到的效果,学生不但能用一般式,顶点式解决问题,还能深层挖掘，巧妙地用两根式解决问题,可见学生的潜力无穷。
2.本课遵循尊重学生，相信学生，依靠学生的“主体”教学思想，运用助思，助学，助练的启发式教学方法，启动了师生交流的“匣门”，使教学过程真正成为了师生间的双向活动。

作者：百亩中学刘瑶
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