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2023 年中考数学重难点专题练习-一次函数最大利润问题

一、解答题
1 ．某商户购进一批童装， 40 天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y (件)与销售时间 x (天)之间的

(2x，0 < x 30
关系式是 y = 〈6x + 240，30 < x 40 ，销售单价p (元/件)与销售时间x (天)之间的函数关系如图所示．

(1)第 15 天的日销售量为_________件；
(2)当0 < x 30 时，求日销售额的最大值；
(3)在销售过程中，若日销售量不低于 48 件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？

2． 2022 年北京承办了第 24 届冬季奥林匹克运动会，某商店为了抓住冬奥会的商机，决定购买A， B 两种冬奥会纪
念品，若购进 A 种纪念品20 件， B 种纪念品 10 件，需要 2000 元．若购进 A 种纪念品 10 件， B 种纪念品 8 件，需 要 1150 元．
(1)求购进 A， B 两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店购进这两种纪念品共 1000 件，总费用不超过60000 元，销售每件A 种纪念品可获利润 30 元，每件B 种
纪念品可获利润 20 元．设购进 A 种纪念品a 件，请求出总利润最高时的进货方案．

3． 2022 年翻开序章，冬奥集结号已吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受人民喜爱． 2021 年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200 个和“雪容 融”100 个，销售总额为 32000 元．十二月售出了“冰墩墩”300 个和“雪容融”200 个，销售总额为 52000 元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；

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(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为 90 元/个和60 元/个．进入 2022 年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于 是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共 600 个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的 2 倍，且购进总价不超过 43200 元． 为回馈新老客户， 旗舰店决定对“冰墩墩”降价 10%后再销售， 若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出， 则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．

4．某商场销售成本为每件 40 元的商品．据市场调查分析，如果按每件 50 元销售，一周能卖出500 件；若销售单 价每涨 1 元，每周销量就减少 10 件．设销售单价为 x ( x 50 )元．
(1)写出一周销售量 y (件)与 x (元)的函数关系式．
(2)设一周销售获得毛利润 w 元，写出w 与 x 的函数关系式，并确定当 x 在什么取值范围内变化时，毛利润 w 随 x 的增大而增大．
(3)超市扣除销售额的 20%作为该商品的经营费用，为使得一周内净利润(净利润=毛利润经营费用)最大，超市对 该商品定价为______元，最大毛利润为______元．

5．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30 元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y (件)
与售价 x (元件) (x 为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x (元/件)

y (件)
40

10000
50

9500
60

9000

(1)求 y 与 x 的函数关系式(不求自变量的取值范围)；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价， 且不高于 150 元/件． 若某一周该商品的销售量不少于 6000 件，求 这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
(3) 抗疫期间， 该商场这种商品售价不大于 150 元/件时， 每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元(10 m 60)， 捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m 的取值范围．

6．服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50 元销售，如果卖相同件数的服装，原价的销售额为
9000 元，现价销售额为 8000 元．
(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？
(2)服装店决定增加经销乙种品牌的服装，已知甲种品牌服装每件进价为350 元，乙种品牌服装每件进价为 300 元，

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服装店用不多于 6600 元且不少于 6400 元的资金购进这两种品牌的服装共 20 件．
①问有几种进货方案？
①乙种品牌的服装每件售价为 370 元，服装店决定每售出 1 件乙种品牌服装，返还顾客a 元，要使①所有方案获利 相同，求a 的值．

7．某厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价 x(元)之 间的关系可以近似看成一次函数 y＝－2x＋100．
(1)写出每月的利润 z(万元)与销售单价 x(元)之间的函数解析式． (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据相关部门的规定，这种电子产品的销售单价不得高于32 元，如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润， 那么制造这种产品每月的最低制造成本是多少万元？

8．某商场分两次购进 A， B 两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示
购进所需费用/元

3800

3200
购进数量/件

A

30

40
B

40

30

次数

第一次

第二次

(1)求 A， B 两种商品每件的进价分别是多少元；
(2)商场决定 A 种商品以每件 30 元出售， B 种商品以每件 100 元出售．为满足市场需求，需购进 A， B 两种商品共
1000 件，且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

9．某商店欲购进甲、 乙两种商品， 已知甲的进价是乙的进价的一半， 进 3 件甲商品和 1 件乙商品恰好用 200 元． 甲、 乙两种商品的售价每件分别为 80 元、 130 元，该商店决定用不少于 6710 且不超过 6810 元购进这两种商品共 100 件．
(1)甲、乙两种商品的进价各是多少？
(2)设其中甲商品的进货件数为x 件，商店有几种进货方案？
(3)设销售两种商品的总利润为W 元， 试写出利润W 与x 的函数关系式， 并利用函数的性质说明哪一种进货方案可获 试卷第 3 页，共 6 页

得最大利润，并求出最大利润是多少？

10．二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应 对气候变化全球治理．为保护环境，某市公交公司计划购买A 型和 B 型两种环保节能公交车共 10 辆．若购买 A 型 公交车 2 辆， B 型公交车 3 辆，共需 750 万元；若购买 A 型公交车 3 辆， B 型公交车 4 辆，共需 1040 万元． (1)求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？
(2)预计在某线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次．若该公司购买A 型和 B 型公 交车的总费用不超过 1550 万元，且确保这10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 720 万人次，则该公司有几 种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？

11．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2 瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B 型消毒液共需 41 元， 5 瓶 A 型 消毒液和 4 瓶 B 型消毒液共需 71 元．
(1)这两种消毒液的单价各是多少元？
(2)学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶， 且 A 型消毒液的数量不超过 67 瓶， 请设计出最省钱的购买方案， 并求出最 少费用．

12．疫情当前，口罩非常紧俏，某药店进货N95 口罩和普通医疗口罩两种口罩共 8000 个惠民销售，已知15 个普通 医疗口罩与 4 个 N95 口罩的价格相同， 3 个 N95 口罩比 5 个普通医疗口罩贵 2.5 元．
(1)求普通医疗口罩和N95 口罩的单价分别是多少？
(2)设进货 N95 口罩 a 个，两种型号口罩的销售总价为 m 元．
①若两种型号口罩的销售总价不低于 5400 元，则至少进货N95 口罩多少个？
①请写出 m 与 a 之间的函数关系式；若根据实际需求， 进货的普通医疗口罩不少于 5000 个， 则该药店这一批口罩的 销售总价最多是多少元？

13．某体育用品店计划花 7000 元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20 元．若花 3000 元购买篮球， 4000 元
购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．
(1)求篮球和足球的进价；
(2)篮球的销售单价为 100 元， 足球的销售单价为 120 元， 求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润w
(元)与购买的篮球的数量 m (只)之间的函数关系式，并直接写出 w 最大时的进货方案．
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14． “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京 2022 年冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物．该吉祥物深受全世界人民的喜爱， 某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600 件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如下
表所示：

原料成本(元/件)
生产提成(元/件)
销售单价(元/件)
“冰墩墩”
36
6
50
“雪容融”
28
7
41

设该厂每天制作“冰墩墩”挂件 x 件，每天获得的利润为 y 元．
(1)求出 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)若该厂每天投入总成本不超过 23800 元，应怎样安排“冰墩墩”和“雪容融”制作量，可使该厂一天所获得的利润最 大，请求出最大利润和此时两个挂件的制作量．

15．某商店出售普通练习本和精装练习本， 150 本普通练习本和100 本精装练习本销售总额为1450 元； 200 本普通
练习本和50 本精装练习本销售总额为1100 元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进500 本练习本， 普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3 倍， 已知普通练习本的进价为2 元/个，精装练习本的进价为 7 元/个，设购买普通练习本x 个，获得的利润为W 元；
①求W 关于x 的函数关系式
①该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．

16．大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次，在1~
12 月份中，该公司前x 个月累计获得的总利闻y (万元)与销售时间 x (月)之间满足二次函数关系．

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(1)求y 与x 函数关系式；
(2)求 9 月份一个月内所获得的利润；
(3)在前 12 个月中，哪个月该公司所获得利润最大?最大利润为多少?

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参考答案：
1． (1)30
(2)2100 元
(3)9 天

2． (1)购进 A 种纪念品每件需要 75 元， B 种纪念品每件需要 50 元
(2)当购进 A 种纪念品 400 件， B 种纪念品600 件时，获得的利润最大，最大利润是 24000 元

3． (1)“冰墩墩”销售单价为 120 元， “雪容融”的销售单价为 80 元；
(2)“冰墩墩”购进 200 个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600 元．

4． (1) y=1000 10x(50 x 100)
(2)W = 10(x 70)2 + 9000 ，当50 x 70 时，毛利润 w 随 x 的增大而增大

(3)75， 5000

5． (1) y = 50x +12000； (2)这一周该商场的最大利润为540000 元，售价为120 元； (3)

29 < m 60
6． (1)400 元
(2)①5 种； ①20

7． (1) z = 2x2 +136x 1800；
(2)当销售单价为 34 元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是512 万元；
(3)制造这种产品每月的最低制造成本是 648 万元．

8． (1)A 种商品每件的进价为 20 元， B 种商品每件的进价为 80 元；
(2)当购进 A 种商品 800 件、 B 种商品200 件时，销售利润最大，最大利润为12000 元．

9． (1)进价为 40 元，乙商品的进价为 80 元
(2)有三种进货方案：方案 1，甲种商品 30 件，乙商品70 件；方案 2，甲种商品 31 件，乙 答案第 1 页，共 2 页

商品 69 件；方案 3，甲种商品 32 件，乙商品68 件
(3) m = 30 时， W 最大，此时W = 4700

10． (1)购买 A 型公交车每辆需 120 万元，购买 B 型公交车每辆需 170 万元 (2)该公司有五种购车方案， 当采购 A 型 7 辆， 采购 B 型 3 辆时， 费用最低， 最低费用为 1350 万元

11． (1)A 型消毒液的单价为 7 元， B 型消毒液的单价为 9 元
(2)最省钱的购买方案是购买 A 型消毒液 67 瓶，购买 B 型消毒液 23 瓶，最低费用为 676 元

12． (1)普通医疗口罩每个 0.4 元， N95 口罩每个 1.5 元
(2)①2000 个； ①6500 元

13． (1)篮球进价为 60 元 / 只，足球的进价为 80 元 / 只
(2)当 m = 114 时，利润w 最大，对应的方案是购买篮球 114 只，足球 2 只

14． (1) y = x + 3600(0 < x < 600)

(2)当每天生产“冰墩墩”400 件， “雪容融”200 件时，可使该厂一天所获得的利润最大，最大 为 4400 元

15． (1)普通练习本： 3 元；精装练习本： 10 元
(2) ①w = 2x +1500； ①普通练习本进 375本， 精装练习本进125 本， 利润最大， 最大为750 元

16． (1) y = x2 6x

(2)11 万元

(3)该公司 12 月所获得利润最大，最大利润为 17 万元

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