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(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称 D．关于点对称
解析：由题意知T＝＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin，又f＝sin＝sinπ＝0.
答案：B
2．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为( )
A．1 B. C. D．2
解析：|MN|＝|sina－cosa|＝|sin(a－)|，
∴|MN|max＝.
答案：B
3．如图所示，点P是函数y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)的图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若·＝0，则ω＝( )
A．8 B. C. D．4
解析：由·＝0得PM⊥PN，又PM＝PN，所以△PMN为等腰直角三角形，因此MN＝2yP＝4，T＝8＝，得ω＝.
答案：C
4．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
解析：将y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝sin(x－) 的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin(x－)的图象．
答案：C
5．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A. B.
C. D．3
解析：由题意知T＝≤，∴ω≥，即ω的最小值为.
答案：C
6．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为( )
A．[－，2] B．[，2]
C．(，2] D．(，2)
解析：令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示：
若2sin＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以<a<2.
答案：D
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0,0＜φ＜，则函数解析式为__________．
解析：由题设得，A＝2，n＝2，ω＝4，且当x＝时，
sin(π＋φ)＝±1，故φ＝.
所求解析式为y＝2sin(4x＋)＋2.
答案：y＝2sin(4x＋)＋2
8．给出下列六种图象变换方法：
(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
(3)图象向右平移个单位；
(4)图象向左平移个单位；
(5)图象向右平移个单位；
(6)图象向左平移个单位．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sinx的图象变换到函数y＝sin(＋)的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．
解析：y＝sinxy＝sin(x＋)y＝sin(＋)，或y＝sinxy＝sinxy＝sin(x＋)＝sin(＋)．
答案：(4)(2)或(2)(6)
9．如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|∈(0，))图象的一部分，则f()＝________.
解析：由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.
由于2＝2sinφ＋1，且|φ|∈(0，)，得φ＝.
由图象知ω(－π)＋φ＝2kπ－，
得ω＝－2k＋(k∈Z)．
又>2π，∴0<ω<1.∴ω＝.
∴函数f(x)的解析式是f(x)＝2sin(x＋)＋1.
∴f()＝2sin(×＋)＋1＝3.
答案：3
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)试确定f(x)的解析式；
(2)若f()＝，求cos(－a)的值．
解：(1)由题图可知A＝2，＝－＝，
∴T＝2，ω＝＝π.
将点P(，2)，代入y＝2sin(ωx＋φ)，得sin(＋φ)＝1.又|φ|<，∴φ＝.
故所求解析式为f(x)＝2sin(πx＋)(x∈R)．
(2)∵f()＝，∴2sin(＋)＝，
即sin(＋)＝.
∴cos(－a)＝cos[π－2(＋)]
＝－cos2(＋)＝2sin2(＋)－1＝－.
11．(2010·合肥质检)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·sin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋
＝sin(2ωx＋)＋.[来源:Zxxk.Com]
令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋.
经过题设的变化得到的函数
g(x)＝sin(x－)＋.
当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值.
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，
即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间．
12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；
(2)问哪几个月能盈利？
解：(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得，
A＝2，B＝6，ω＝，φ＝－，
所以f(x)＝2sin(x－)＋6(1≤x≤12，x为正整数)，
g(x)＝2sin(x－π)＋8(1≤x≤12，x为正整数)．
(2)由g(x)>f(x)，得sinx<.
2kπ＋π<x<2kπ＋π，k∈Z，
∴8k＋3<x<8k＋9，k∈Z，
∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3<x<9，
∴x＝4,5,6,7,8；
k＝1时，11<x<17，∴x＝12.
∴x＝4,5,6,7,8,12，
故4,5,6,7,8,12月份能盈利．
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