品质统计原理-常用的机率分佈与统计分布.docx

授 課 目 錄
第1章 導 論
第2章 統計資料的整理與描述
第3章 機率導論
第4章 常用的機率分佈與統計分佈
第5章 描樣方法與描樣分佈
第6章 統計估計
第7章 統計檢定
第8章 變異數分析
第9章 相關分析與迴歸模式
第10章 無母數統計檢定
第11章 類別資料分析---列聯表與卡方檢定

第四章 常用的機率分佈與統計分佈

一組樣本資料常呈現某種特殊型式的機率分配。當獲得母體的樣本資料時，須從各種機率分佈當中，選擇出最接近該母體的機率分佈，使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。
常用的機率分佈有：離散型與連續型二大類。

4.1 離散型機率分佈
離散型機率分佈(p)---常見有二項分佈、卜氏分佈、離散型均勻分佈、超幾何分佈。
若一隨機實驗只有成功和失敗兩種結果，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。令隨機變數x = 1代表成功的事件，x = 0代表失敗的事件，此稱隨機變數X服從白努利分佈(Bernoulli Distribution)。
x
1
0
P(x)
p
1-p
E[X]
1´p
0´(1-p)
V[X]=E[X2]-(E[X])2
p(1-p)
p(x) = P(X=x) = px(1- p)1-x

(1) 二項分佈(Binomial)---執行n次白努利隨機試驗，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。通常以隨機變數X~B(n, p)表示。
其機率密度函數與累積分佈函數為：
p(x) = C(n, x) px (1-p)n-x x =0, 1,…,n (4.1)
F(x) =åxk =0C(n, k) pk (1-p)n-k (4.2)
其期望值與變異數為：
E[X] = np V[X] =np(1-p)

◎二項式分佈當n很大或p接近0.5時呈常態分佈，
◎np接近1 ÞPeak Out，p<0.5Þ右偏， p>0.5Þ左偏

Excel : pp. 99-100, Bernoulli Distribution
pp. 101-110, Binomial Distribution

範例、致遠管理學院約有40%的學生喜歡打籃球，茲隨機機訪問1個學生，試問(a) 此學生喜歡打籃球的期望值與變異數? (b) 隨機機訪問5個學生，此5個均喜歡打籃球的期望值與變異數? 有2個均喜歡打籃球的期望值與變異數? 至少有3個喜歡打籃球的期望值與變異數?
SOL：公式、查表、Excel(binomdist(x,n,p,true))
(a) 令隨機變數X代表喜歡棒與否，則(注意:N/Y)
E[X] = p = 0.4 V[X] = p(1-p) = 0.24
(b) 令隨機變數X代表喜歡棒的人數，則(注意:人數)
E[X] = np = 5* 0.4 = 2 V[X] = np(1-p) = 1.2
P(X=2) = C(5,2)(0.4)2 (0.6)3 = 0.346
/binomdist(2,5,0.4,false)/
P(X ³ 3) = 1- P(X £ 2) = 0.317
/1-binomdist(2,5,0.4,true)/

範例、工管系期末考統計學出20題選擇題(4選1)，每題5分。某學生採完全以猜的方式作答，試問(a) 此學生答對數的期望值與變異數? (b) 此學生期末考統計學分數的期望值與變異數? (c) 此學生考及格的機率? (d) 此學生最多考40分的機率?
SOL：公式、查表、Excel
(a) 令隨機變數X代表此學生答對題數，則(注意:題數)
E[X] = np = 20* 1/4 = 5 V[X] = np(1-p) = 3.75
(b) 分數期望值(注意:分數)
E[5X] = 5E[X] = 25 V[5X] = 25*3.75 = 93.75
(c) 此學生須答對12題以上才能及格，因此，
P(X ³ 12) = 1- P(X < 12) = 0.0009
/ 1-binomdist(11,20,0.25,true)/
(d) P(X £ 8) = 0.9591
/binomdist(8,20,0.25,true)/

(2)卜氏分佈(Poisson)---在一個單位時段或區域內，某事件發生的次數。通常以隨機變數X~Poi(m)表示。其機率密度函數與累積分配函數為：
p(x) = e-mmx/x! x = 0, 1,… (4.3)
F(x)= åxk =0 e-mmk/k! (4.4)
其期望值與變異數為：
E[X] = m V[X] = m
離散型隨機變數X具有卜氏分配時，有下列特性
(a) 每一個時段或區域內事件的發生皆是相互獨立。
(b) 在一固定時段內，事件發生的機率p均相同。
(c) 卜氏分配可由n很大時的二項分配逼近
limx® ¥C(n,x) px (1-p)n-x = e-mmx/x!

範例、6月至9月為台灣颱風季節，中央氣象局統計資料指出，台灣每年有5個颱風過境，(a) 今年台灣沒有颱風過境之機率? (b) 將有5個颱風過境之機率? (c) 超過7個以上颱風過境之機率?
SOL：公式、查表、Excel
令隨機變數X代表每年颱風過境台灣次數，則
X~Poi(m) X~Poi(5)
P(x = 0) = e-mmx/x! = 0.0067
/=poisson(0,5,false)/
P(x = 5) = e-mmx/x! = 0.1755
/=poisson(5,5,false)/
P(x ³ 7) = 1- P(X £ 6) = 0.2378
/ 1-poisson(6,5,true)/

範例、青輔會資料顯示，台灣大約有2%的成年人具有碩士以上的學歷。茲由全台成年人中，隨機抽取100人，其中洽3人具有碩士以上的學歷之機率?
SOL：公式、查表、Excel(比較二項與卜氏分配)
令隨機變數X代表擁有碩士以上學歷人數，則依二項分配的定義，X~B(100,0.02)，即
P(x=3) = C(100,3)(0.02)3 (0.98)97 = 0.1823
/=binomdist(3,100,0.02,false)/
若依卜氏分配，X~Poi(m)，m = np=2，X~Poi(2)
P(x = 3) = e-mmx/x! = 0.1804
/=poisson(3,0.02,false)/

(3) 離散型均勻分配(Discrete Uniform)---樣本空間有N個相異的元素，{1, 2, 3, …, N}。且此N個元素被抽中的機會皆均等。通常以隨機變數X~DU(N)表示。其機率密度函數與累積分配函數為：
p(x) = 1/N x= 1, 2,…,N (4.5)
F(x) = x/N x = 1, 2,…,N (4.6)
其期望值與變異數為：
E[X] = (N+1)/2 V[X] = (N2-1)/12

範例、擲骰子1次，則擲出點數(X)的期望值與變異數?
x
1
2
3
4
5
6

P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

p(x)
1/6
E[X]
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
7/2
V[X]
E[X2]-(E[X])2 = 91/6 –49/4 = 35/12

(4) 超幾何分配(Hypergeometric)---若母體內含有N個元素，此N個元素分成兩類，其中具某種特性者屬一類共有M個，另外N-M個不具某種特性，屬另一類。通常以隨機變數X~HG(N, M, n)表示。其機率密度函數為：
p(x) = C(M, x)C(N-M, n-x)/C(N,n) x = 0,1,…,n
or
p(x) = C(np, x)C(N-np, n-x)/C(N, n)
p=M/N=constant (4.7)
其期望值與變異數為：
E[X]= n(M/N) V[X] = n(M/N)(1-M/N)[(N-n)/(N-1)]

在二項分配中，每一次的試驗都是互相獨立的，而超幾何分配則互相影響。即二項分配是『歸還』特性；超幾何分配是『不歸還』特性。
※ 如無限的母體，即N®¥時，超幾何分配可視為二項分配。因為母體相當大，隨機抽取有限個樣本，並不足以影響母體。
limx® ¥C(M, x)C(N-M, n-x)/C(N,n) =C(n,x) px (1-p)n-x
where p = M/N= constant
二項分配使用時機：
卜氏分配使用時機：
(1) N/n ³ 10
(1) N/n ³ 10
(2) p = const.
(2) n ³ 16

(3) p £ 0.1
不屬上述條件者，則使用超幾何機率分配。

範例、工管系欲選派4位學生參加統計學校外競賽。茲有20位實力相當學生報名，其中男生有5位、女生有15位。最後決定以抽籤方式選取，試問選派4位參加統計學校外競賽者中，抽出2位男生之機率? (a) 採取出放回 (b) 採取出不放回。
SOL：公式、查表、Excel(比較二項與超幾何分配)
令隨機變數X代表抽出4位參賽者中男生之個數，則
(a) 取出放回，依二項分配的定義，X~B(100,0.02)，即
P(x=2) = C(4, 2)(0.25)2 (0.75)2 = 0.2109
/=binomdist(2,4,0.25,false)/
(b) 取出不放回，X~HG(N, M, n)=H(20,5,4)
P(x = 2) = 0.2167
/=hypgeomdist(2,4,5,20)/
/=hypgeomdist(x,n,M,N)/ /=binomdist(x,n,p,false)/
/=poisson(x,np,false)/
4.2 連續型機率分配---常見有：
(1) 連續型均勻分配(Continuous Uniform)
在隨機變數X所屬的區域內，機率值是均勻分配的(固定值)。通常以X~U(a, b)表示。其機率密度函數與累積分配函數為：
f(x) = 1/(b-a), xÎ(a, b) (4.8)
= 0, Otherwise
F(x) = (x-a)/(b-a)，xÎ(a, b) (4.9)

其期望值與變異數為：
E[X] = (a+b)/2 V[X] = (b-a)2/12

範例、隨機變數X代表致遠站---台南站間隔發車時間，滿足X~U(3,7)。求f(x)、F(x)、E[X]與V[X]？
SOL：
(a) f(x) = 1/4； F(x) = (x-3)/4
(b) E[X]= 5； V[X] = 4/3

(2) 指數分配(Exponential)
主要用於間隔或等待時間。通常以隨機變數X~Exp(l)表示。其中l為事件發生的平均時間。其機率密度函數與累積分配函數為：
f(x) = e-x/l/l, x > 0 (4.10)
F(x) = 1- e-x/l (4.11)
其期望值與變異數為：
E[X]= l V[X] = l2

範例、工管系舉行迎新烤肉活動，地點是曾文水庫。歸來時大家快樂的走到候車亭等往麻豆的台南客運。不巧，同學們剛到候車亭時，車子正好剛開走。康樂股長看看站牌上寫著：往麻豆班車平均每20分鐘開一班。 (a) 同學們最多再等10分鐘之機率? (b) 超過30分鐘之機率?
SOL：公式、查表、Excel
令隨機變數X代表台南客運到達時間間距，
X~Exp(l) = Exp(20)，則
(a) F(x) = P(x £ 10) = 0.39
/=expondist(10,1/20,true)/
(b) P(x > 30) = 0.2231
/=1-expondist(30,1/20,true)/

(3) 常態分配(Normal )
應用最廣的機率分配，其貼切地模式化或描述很多自然現象或社會科學實例。通常以隨機變數X~N(m,s2)表示。其機率密度函數與累積分配函數為：
-¥<m<¥, s>0 (4.12)
(4.13)
其期望值與變異數為：
E[X] = m V[X] = s2

常態分配具有以下各項特性：
(a) 是一以平均值m為中心線，呈左右對稱鐘狀圖形的分配。s愈大，分配偏離中心m愈遠，曲線圖愈平緩。
(b) 母體的平均值、眾數、中位數均相同值。
(c) 機率分配函數圖形向曲線中心的兩端延伸，該漸趨近橫軸(即機率函數值遞減)。
※ 通常將其X~N(m, s2)標準化。標準化過程是令
Z=(X-m)/s 則Z~N(0, 1)，又稱Z分配。
標準常態機率密度函數
, -¥<x<¥ (4.14)
標準常態分配之期望值與變異數為：
E[X] = 0, V[X] = 1

範例、工管系期末考統計學成績，經整理得知具有N(50,16)，試問成績於50~60的人數，大概佔所有參加考試人數的比例為多少? 公式、查表、Excel
SOL：令隨機變數X代表考試成績，其具有N(50,16)，則
P(50 £ X £ 60) = P[(50-50)/4 £ (x-50)/4£(60-50)/4]=0.494
/=normdist(60,50,4,true)-normdist(50,50,4,true)/

範例、工管系某品管實驗，經整理資料得知具有N(0.3,0.012)，老師規定此實驗規格應為0.3±0.02之間才合格。試問此實驗不合格的比率有多少?
SOL：公式、查表、Excel
令隨機變數X代表實驗資料，其具有N(0.3,0.012)，則
P(0.28£x£0.32)=
P[(0.28-0.3)/0.01£(x-0.3)/0.01£(0.32-0.3)/0.01]=0.9544
/=normdist(0.32,0.3,0.01,true)-normdist(0.28,0.3,0.01,true)/
(4) 伽瑪分配Gamma Distribution
如隨機變數X，具有以下的機率密度函數，則該分配稱之為伽瑪分配：
(4.15)
其中a、b是伽瑪分配的參數，其值均大於0。
Where the gamma function G is defined as:
Þ
伽瑪函數將被運用到數個統計量分配---Chi-Square, t, F Distribution。

4.3常用的統計分配
母體
樣本
分配、參數
統計量
隨機抽取
推 論
檢定
計算
描述

如何將樣本資料{x1, x2,…,xn}推估母體參數(m, s2)，此種由抽樣資料推論母體的長像，統計上稱為統計推論。為了推論母體所服從的機率分配，即推論該機率分配的母體(m,s2)。從母體中抽取數個樣本，利用這些樣本組成所謂的樣本統計量，而樣本統計量所服從的機率分配則稱之為統計分配，亦稱抽樣分配(Sampling Distribution)。常用的統計分配有常態分配，t分配，卡方分配，F分配等。

統計推論的目的係利用樣本裏的資訊對母體作結論，所採之方法為隨機樣本，即倘母體有N個元素而抽出n個樣本，所有的C(N, n)個可能樣本中的每一個被選中的機率均相等，亦稱隨機抽樣(Random Sampling)。

樣本統計量：
◎ 集中趨勢統計量---平均數。
◎ 離散趨勢統計量---變異數與標準差等。
=(x1 + x2 + …+ xn)/n = (åni =1 xi)/n
S2=[åni =1 (xi-)2]/(n-1)， ([åni =1 (xi-)2]：Sum Square)

常用統計分配：
(1)常態分配
上述已定義過常態分配，主要是用來說明隨機變數的分佈狀況。而在統計應用上，常態分配是用來推論與檢定母體的特徵值。如，以樣本平均值去推論m，『其中的統計分配即常態分配』。

大數法則
從同一母體隨機抽取出n個樣本，當n很大時，則由樣本算出的樣本平均值會接近母體平均數，即
® (n®¥)®m (E[]= m)

中央極限定理
19世紀法國學數家Pierre Simon de Laplace(1749-1827)所提出。他是從觀察到『量測誤差有常態分配的趨向』而得到此定理。『樣本平均數大都趨近於常態分配』。
中央極限定理的精神：從『任何以期望值m，變異數s2的母體中』，隨機抽出n個樣本{x1, x2,…,xn}且x =x1+x2+…+xn，則樣本平均值將會趨近於標準常態分配。
(4.16)
其中s/n1/2稱之為標準誤(Standard Error)；s2/n變異誤(Error Variance)。

範例、致遠管理學院女學生平均身高為160cm，標準差為9cm；茲隨機抽取36位女學生，試問平均身高大於160cm而小於162cm的機率有多少? 公式、查表、Excel
SOL：令隨機變數代表隨機抽取36位的平均身高，即 =160, s/ n1/2 = 9/(36)1/2=1.5，則
P(160 ££ 162) =
P[(160-160)/1.5 £ (-160)/1.5£(162-160)/1.5]=0.4082
/=normdist(162,160,1.5,true)-normdist(160,160,1.5,true)/
範例、致遠管理學院學生選修『科技與人生』人數服從二項分配B(n, p= 0.07)，為了避免選修該課程的人數過多，影響教學品質，倘選修的人數超過80人則開2班上課。試問本學期有1000人可選此門課，則此門課開2班上課的機率有多少? 公式、查表、Excel
SOL：令隨機變數X代表選修該課程的學生人數，則
P(X³80)=1-binomdist(79,1000,0.07,true)= 0.1207
另應用中央極限定理，因E[X]=np=70、V[X]=np(1-p)=65.1，則
P(X³80)=P[(X-70)/(65.1)1/2 ³(80-70)/(65.1)1/2]=0.1075

(2)卡方分配(Chi-Square)
一個可用『常態隨機變數』來定義的重要的抽樣分配就是卡方分配(c2)。倘z1, z2,…,zk為k個獨立且相同分配的常態隨機變數，期望值0且變異數1，簡記為NID(0,1)(Normally and Independently Distribution)，隨機變數 x = z12+z22+…+zk2，即會依循自由度為k的卡方分配，其機率密度函數。通常以隨機變數X~ c2k表示。
卡方機率密度函數
，0 £ x< ¥ (4.17)
The gamma function G is defined as:

其期望值與變異數為：
E[X] = k V[X] = 2k
卡方分配是不對稱的統計分配，其對應的機率分配隨著自由度k而有所不同。

假設{x1, x2,…,xn}是一個來自N(m, s2)分配的隨機樣本。則其平方和除以s2後就依循卡方分配。
SS/s2= [åni =1 (xi-)2]/s2= c2n-1 另
S2=[åni =1 (xi-)2]/(n-1) = SS/(n-1)= [s2/(n-1)]c2n-1
S2的分配為[s2/(n-1)]c2n-1。故樣本變異數的抽樣分配為一個常數乘以卡方分配。[如下圖，卡方分配(k =1, 5, 15)]

假設隨機變數X~ c2n-1，定義c2a,n-1為自由度(n-1)之卡方分配其右邊(累積)機率等於a的臨界值，即P(X ³ c2n-1)= a，則
P(X ³ c21- a/2,n-1)= 1- a/2，
及 P(c21- a/2,n-1 £ X £ c2a/2,n-1)= 1- a
a = 0.1，a/2 = 0.05，c2a/2= c20.05，c21- a/2= c20.95

倘P(X ³ c21- a/2,n-1)= 1- a/2， P(c1- a/2,n-12 £ X £ c a/2,n-12)= 1- a
c20.95

c20.05

c20.95

請查表c20.975,4，c20.95,13，c20.01,4，c20.10,13。
/=chiinv(0.975,4)/，/=chiinv(0.95,13)/
/=chiinv(0.01,4)/，/=chiinv(0.10,13)/
c20.1,6= 10.6446 c20.05,10= 18.3070

(3) t分配(Student)
倘z與c2k分別為獨立標準常態NID(0,1)與卡方分配，則隨機變數
tk= z/(c2k/k)1/2 (4.18)
依循k個自由度的t分配，通常以t~ tk表示。
t機率密度函數
， -¥ < x< ¥ (4.19)
其期望值與變異數為：
E[X] = 0， V[X] =k/(k-2)
t分配與標準常態分配類似，其對應的機率分配皆對稱於原點，尤其當樣本數n愈大時，t分配機率分配情形愈趨近於標準常態分配。假設{x1, x2,…,xn}是一個來自N(m, s2)分配的隨機樣本，則
~ tn-1 (4.20)
t分配最早由W. S. Gosset所發現，因故用Student的筆名發表，又稱Student的t分配。[如下圖，t分配(k = 1, 10, 100)]

假設隨機變數X~ tn-1，定義tn-1為自由度(n-1)之t分配其右邊(累積)機率等於 a的臨界值，即P(X ³ tn-1)= a，則
P(X ³ ta/2, n-1)= a/2，
及 P(-ta/2, n-1 £ X £ ta/2, n-1)= 1- a
a = 0.1，a/2 = 0.05， ta/2 = t0.05= -t0.05，
倘P(X ³ ta/2, n-1)= a/2， P(-ta/2, n-1 £ X £ ta/2, n-1)= 1- a
t0.05
- t0.05
t0.05

請查表t0.1, 4，t0.05, 13，t0.01, 4，t0.025, 13。
/=tinv(0.1*2,4)/，/=tinv(0.05*2,13)/
/=tinv(0.01*2,4)/，/=tinv(0.025*2,13)/
/ t0.1, 5 = 1.476/，/ t0.05, 10 = 1.812/

(4) F分配
倘c2u與c2v分別為二個獨立卡方分配，則隨機變數
Fu, v = (c2u/u)/( c2v/v) (4.21)
依循分子u個自由度、分母v個自由度的F分配，通常以F~ Fu, v表示。
F機率密度函數
， 0 < x< ¥ (4.22)

其期望值與變異數為：2v2(u+v-2)/[u(v-2)2(v-4)]
E[X]=u/(v-2), v>2； V[X]= 2v2(u+v-2)/[u(v-2)2(v-4)]

假設分別來自二個不同母體的隨機樣本，各取樣本n1 , n2，其各別樣本變異為S21與S22則

[如下圖，F分配(u=4,v=10, 30;u=10,v=10, 30)]

假設隨機變數X~，定義為自由度(n1-1, n2-1)之F分配其右邊(累積)機率等於 a的臨界值，即P(X³)= a，則
P(X ³)= a，另
請查表F0.1, 4, 10，F0.9, 10, 4，F0.025, 4, 10，F0.975, 10, 4 。
/=finv(0.1,4,10)/，/=finv(0.9,10,4)/
/=finv(0.025,4,10)/，/finv(0.975,10,4)/
/F0.1, 4, 10 = 2.61/，/F0.9, 10, 4 = 0.383828/，(2.61=1/0.383828)
/ F0.025, 10, 8 = 4.30/

習題一
1. 假設X～B(4,0,2)，求(A) P(X=2)=C(4,2)(0.2)2 (0.8)2=0.1536
(B) P(x≧2)= å4x =2 C(4,x)(0.2)x(0.8)4-x=0.1808
(C) P(x≦2) = å2x =0 C(4,x)(0.2)x(0.8)4-x=0.9728
(D) E[X]=np =0.8 (E) Var[X]=np(1-p)=0.64。
2. 若每一個燈炮之壽命大於5小時之機率為0.135，現在隨機抽取3個燈炮。試求(A)至少有一個燈炮壽命大於5小時之機率?
P(x≧1)=1-p(x=0)=1-(1-0.135) 3=0.303；
(B)令隨機變數X代表3個燈炮中壽命大於5小時之燈炮個數，求
E[X]=np=3*0.135=0.405及Var[X]= =np(1-p)=0.35。
3. 前往百貨公司某櫃員機結帳的顧客人數呈卜氏分配，平均每小時有8位顧客前去結帳。則在8：00～9：00 p.m.的時段之間，求(A)剛好有8位顧客結帳的機率P(x=8)=(e -8 8 8/8!)=0.14。
(B)結帳的顧客不超過2位的機率P(x≦2)=P(x=0,1,2)=0.0138。
4. 現有10支燈管，其中3支是損壞的，以不放回的方式從中抽取5支燈管來檢查，請問：(A)5支燈管全是好的機率；(B)最多有2支燈管損壞的機率。
5. 假設隨機變數X具有期望值為μ常態分配，則P(X<μ)=1/2
6. 假設隨機變數具有平均數500，變異數100的常態分配，求P(475≦X≦500)=0.4938。
7. 某腳踏車製造產量大約服從μ=200，σ=40的常態分配，則求(A)產量大於250輛之機率=0.105；(B)產量大於200輛且小於250輛之機率=0.394。
8. 有一群台灣學生想要申請國外企管研究所(MBA)入學，這群學生的托福(TOFEL)成績服從μ=450、σ=36的常態分配。(A)令隨機變數X代表某學生之成績，試求P(425≦X≦525)=0.736 (B)若要進入伊利諾大學企管所，540是最低標準分數，則在這群50名學生中，有多少學生符合此項標準=0。
9. 分別求出以下各隨機變數X的期望值與變異數(A)白努利分配，X～B(p)，E[X]=p，Var[X]=p(1-p) (B)卜氏分配，X～Poi(μ)，E[X]=μ，Var[X]=μ (C)指數分配，X～Exp(λ)，E[X]=1/λ，Var[X]=1/λ2。
10. 試由查表求出下列的臨界值：(A) c20.01(12)=26.21 (B) c20.05(6)=12.59 (C) t0.01(10)=2.76 (D) t0.05(5)=2.01 (E) F0.01(7,15)=4.14 (F) F0.05(15,6)=3.94。
11. 隨機變數X代表櫻桃甜點所含的櫻桃數，其機率分配如下：
X
5 6 7 8
P(X=x)
0.3 0.4 0.2 0.1
試求隨機變數X的期望值與變異數。E[X]=6.1，Var[X]=0.86。
12. 投擲一公正銅板100次，令Y表示出現正面的次數，則Y～B(100,0.5)，請利用中央極限定理求取P(50<Y<75)之值。
E[Y]=np=100*1/2=50，Var[Y]=np(1-p)=100*1/2*1/2=25
P(50<Y<75)= P[(50-50)/5<(Y-50)/5<(75-50)/5)]=0.5
習題二
1. 下述樣本(1.75，1.75，1.75，1.75，1.75，1.75)的標準差為何( 0 )。
2. 丟二個銅板，若正面為1，反面為0，請完成下表，求變異數值V[x]=1.5。
隨機變數x
p(x)
E[X]
V[X]
0
1/4
0
0
1
2/4
1/2
1/2
2
1/4
1/2
1

1
1
1.5
3. 隨機變數x=1, 2, 3, 4，機率f(x)=ax，求a=( 1/10 )，E[X]=( 3 )，V[X]=( 1 ) 。 HINT：所有機率和=1
4. 一批製品有4個合格品，1個疵品，自其中抽取1個，X表示取出為不合格品數目，求E[X]=1/5及V[X]=4/25。
5. 一項投資可能有3種結果獲利100元、獲利600元、損失400元，其機率各為0.2, 0.3, 0.5求投資者之期望所得E[X]=100*0.2+600*0.3-400*0.5=0。
6. 連續隨機變數X，在x = 0與2之間有一密度函數f(x)=ax，求a=( 1/2 )，P(1＜X＜1.6)=( 0.39 )，E[X]=( 1.33 ) ， V[X]=( 0.22 )。
7. E(X)=1，E(X2)=4，求V[X]=( 3 )，V[2X+3]=( 12 )，E[3X-4]=( -1 )。
8. E(X)=0.5，V(X)=0.5，E[2X]=( 1 )，V[2X-1]=( 2 )，E[X^2]=( 0.75 )。
9. 求P(1≦X≦3)=3/8+3/8+1/8=7/8
X
P(X)
F(X)

0
X＜0
0
1/8
1/8
0≦X＜1
1
3/8
4/8
1≦X＜2
2
3/8
7/8
2≦X＜3
3
1/8
1
X≧3
10. 連續隨機變數在0≦X≦4，f(x)=ax，求a=( 1/8 )及累積分佈函數F(X)= (x2 /16)。
11. 隨機變數X之機率分佈如下表，請寫出分佈函數F(X)及繪圖
X
0
1
2
f(x)
1/4
1/2
1/4
F(x)
1/4
3/4
1
12. 100件物品中有10%件不合格品，抽5件檢查，1收2退之機率= (C(90,5)C(10,0)/C(100,5) + C(90,4)C(10,1)/C(100,5) =0.9231 )。
13. 一批共N= 50個，不合格率P= 0.06，隨機抽取10件加以檢驗，求E[X]=0.6及E[X^2]=0.82及V[X]=0.46。
14. 50件有3個不合格品，抽取3件有1個不合格品之機率。
取後不放回之機率=( 3*3/50*47/49*46/48=0.1655 )，超幾何分佈之機率=( 0.1655 )，取後放回時之機率=( 0.159 )。
15. 5個製品中含有2個不合格品求每次取出1個檢驗其為合格品或不合格品後仍投返原處，以此進行3次，問其中1個為不合格品之機率=( C(3,1)(2/5)1(3/5)2 =54/125=0.432 )。
16. 同上題，取出不放回時取出3次，1個不合格品之機率=( C(3,2)C(2,1)/C(5,3) =3/5=0.6)。
17. 機台故障率為0.2，今有8部機器，其故障期望值=( 1.6 )部，變異數V[X]=( 1.28 )。
18. 同上題，試求故障機台不超過2部的機率((P(0)+P(1)=C(8,0)(0.2)0(0.8)8 + C(8,1)(0.2)1(0.8)7 =0.8 )。
19. 擲銅板32次，應用謝比雪夫定理，求出正面次數至少3/4之區間。
E[X]=np=16, Var[X]=np(1-p)=8, 標準差=2.83，1-1/K=3/4, K=2, 16±2*2.83, (10.34, 21.66)
20. p=2%，抽50個均為合格品之機率=( C(50,0)(0.02)0(0.98)50 =0.364 )。
21. AQL=0.15%，樣本大小=80時，為0收1退之機率。(C(80,0)(0.15/100)0(1-0.15/100)80 =0.89)
22. 雙方約定消費者最低不合格水準LTPD=5%(β=0.1)，每批之批量N=250，已知供應商製程平均不合格率為1%，以Dodge-Romig之單次抽樣計劃為n=70，c=1，請計算p=0.05實際允收之機率。(P(0)+P(1)=C(70,0)(0.05)0(0.95)70 + C(70,1)(0.05)1(0.95)69 =0.129 )
23. 不合格率= 0.1，抽樣數n=20，0個不合格品之機率(C(20,0)(0.1)0(0.9)20 ) 。
24. 設某機器之故障率0.004，運轉該機器50次，問其發生二次故障之機率(0.16)。
25. 卜氏分配當期望值增加時，變異數( )填增加或減少。
26. 服從m=np=2之卜氏分佈的隨機變數X，與服從m=np=3的卜氏分佈的隨機變數Y，則E(3X+2Y)=( 3E[X]+2[Y]=3*2+2*3=12 )。
27. 在20個產品中有2個不合格品，抽樣2顆有1顆不合格品機率。
用超幾何分佈求P(1)=(C(18,1)C(2,1)/C(20,2)=0.189)，二項式分佈求出P(1)=( C(2,1)(0.1)(0.9)=0.18 )，用卜氏分佈求出P(1)=( 0.164 )。
28. 同上題，抽樣2顆(抽樣採取出後放回)有1顆不合格品機率( 2*2/20*18/20 )。
29. 同上題，抽樣2顆(取出不放回)有1顆不良品機率( 2*2/20*18/19 )。
30. 投一銅板之期望值及變異數( 1/2, 1/4 )。
31. 17.5, 17.55, 17.60, 17.65, 17.8, 17.85, 18.00, 18.15, 18.22, 18.20為(A) 右偏態 (B) 左偏態 (C) 高峰分佈 (D) 低峰分佈(hint: 以直方圖判斷)。
32. 規格為100±5mm，但實際品質平均值為100mm，標準差4mm，合格率=( 0.7887 )。
33. 規格為100±5mm，但實際品質為平均值101mm，標準差2mm，合格率=( 0.9759 )。
34. 洗衣機壽命平均數5年，標準差1.2年，若保證期間定為1年，求退貨率( 0.00043 )。
35. 同上題免費換新的機率為1%時，求保證期限( 5.348 years )。
36. 常態分配，-1<Z<3之機率=( 0.86 )，Z<1.