微积分第三章3.2.doc

第3.2节 L’Hospital法则

微积分教学设计
教学札记

教学对象：财经类，管理类等专业
教学内容：洛必达（L’Hospital）法则
教学目的：掌握洛必达（L’Hospital）法则，正确使用洛必达法则求极限
教学方法：利用多媒体进行启发式教学
教学重点：洛必达（L’Hospital）法则
教学难点：判断不定式，利用洛必达法则求极限

教学过程
根据极限的四则运算法则，如果
则有：

但如果当时，作为两个无穷小量之比，其极限可能存在也可能不存在，在这种情况下，的变化趋势不能根据极限的四则运算法则来判定，因此我们称之为型不定式。同样如果当时，我们也无法确定的变化趋势，这也是一种不定式，称为型的不定式，此外还有等诸多类型的不定式。以下我们以型和型为基础来讨论如何求不定式的极限。至于其余几种类型的不定式，一般均可化为这两种不定式来解决。
定理3.2.1 设函数f(x),g(x)满足条件:
（1）在点附近(点除外)，f(x),g(x)均可导，且
（2）
（3）
则存在，且有
(A可以是无穷大)

教学心得

证明 函数f(x),g(x) 在点附近(点除外)处处可导，因而也是处处连续的，但在点甚至可能没有定义。不妨补充定义：

由定理条件（2），f(x),g(x) 在点就连续了。对于点附近的任意的x（），由Cauchy中值定理有

其中ξ是介于x与之间的某一点，令（从而），取极限，便有

定理证毕。
定理3.2.1中极限过程是，对于时的型不定式，只要作简单的变换：，就可化为定理3.2.1的情况。因此定理3.2.1无论对于，还是都是适用的。
例3.2.1 求极限
定理3.2.2 设函数f(x),g(x)满足条件:
（1）在点附近(点除外)，f(x),g(x)均可导，且
（2）
（3）
则存在，且有
(A可以是无穷大)
例3.2.2 求极限
例3.2.3 求极限
例3.2.4 求极限
例3.2.5 求极限
例3.2.6 求极限
例3.2.7 求极限
L’Hospital法则在求极限的过程中是个常用的有效的方法，但在应用L’Hospital法则时应注意以下诸方面：
（1）L’Hospital法则是不定式的定值法则，它只适用于七种类型的不定式。如果不是不定式，不能滥用。因此，每当使用L’Hospital法则之前，应先判断要求的极限是不是不定式。
教学札记

教学心得

例如，极限这本不是不定式，如误用L’Hospital法则，便导致如下错误：

（2）定理3.2.1和定理3.2.2中说的是当存在时，也存在，且有但如果存在，而不存在时，就不能再用L’Hospital法则。
例如，是型不定式，且有 ，如果误用定理3.2.2，则有

上式右端极限并不存在。因此，注意定理的条件是十分必要的。
（3）极限式子千变万化，有些式子求导后，变得十分复杂，应当注意随时化简，能消的消掉，利用极限的运算法则，能分的分开，这样可以简化运算，避免错误。
（4）利用L’Hospital法则求极限时并非其他求极限的方法都不能用了，应将L’Hospital法与求极限的其他方法结合起来使用，以利于我们能够迅速准确地得到结果。

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教学札记

教学心得

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