2023年高考数学平面向量小题全归类专项练习题(含答案解析).docx

2023 年高考数学-平面向量小题全归类专项练习题(含答案解析)一、单选题1 (2022 全国 模拟预测)如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2BC = 4， E 为边 AB 上的任意一点(包含端点)， O 为 AC 的中点，则 OB . DE的取值范围是( )A 2,10 B 2,8 C 2,8 D 4, 20【答案】 A【解析】法一：设AE = 入AB(入 0,1)，因为 O 为 AC 的中点，所以BO = 1 (BA+ BC)= 1 ( AB + AD)，2 2所以OB = 2 AB AD 又 DE = AE AD = 入 AB AD，1 ( )所以OB . DE = 1 (AB AD). (入 AB AD)= 1 (入AB2 + AD2 )= 8入 + 2，2 2因为入 0,1，所以8入 + 2 2,10，所以OB . DE 2,10；法二：以 A 为坐标原点， AB， AD 的方向分别为 x， y 轴的正方向，建立如图所示的平面直 角坐标系，则O(2,1)， D (0,2)， B (4,0) ，设E(m,0)(0 m 4)，所以OB = (2, 1)， DE = (m, 2) ，所以 OB . DE = 2m + 2因为0 m 4 ，所以2m + 2 2,10，即OB . DE 2,10.1故选： A2 (2022 江苏南京 模拟预测)已知O 为坐标原点，抛物线C： y2= x .过点T(t,0) (t 0 )的直线l 与C 交于 A， B两点，且三AOB 几 ，则t 的取值范围为( )2A (0,1 B (0,2 C 1,+w) D 2, +w)【答案】 A【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x = t ，则 A(t, t ),B(t, t )，因为三AOB 2(几) 所以 OB OA 共 0，即 OB OA = t2 t 共 0，解得： 0 共 t 共1 ，因为t 0 ，所以0 ，所以 OB OA 共 0，|y + y = 几|ly1 . y2 = t 2即 OB OA = x x + y y = y 2 y 2 + y y = t2 t 共 0，1 2 1 2 1 2 1 2解得： 0 共 t 共1 ，又因为t 0 ，所以0 0)为焦点的双曲线的左支，1 2设双曲线的标准方程为 x2 y2 = 1(a 0,b 0)，a2 b2则2c = 10,2 a = 6，：c = 5,a = 3,b = 4， 点 P 的轨迹方程是x2 y2 = 1(x 3)，9 16MF = F N，1 11 F 为 M、 N 的中点，：PM . PN = (PF + FM). (PF + F N)= PF 2 FM 2 = PF 2 1 MN2 = PF 2 1，1 1 1 1 1 1 1 4 11PF c a = 2，：PM . PN 3， PM . PN 的最小值为 3，当点 P 在双曲线的左顶点时取等号故选： A5 (2022 贵州 高三阶段练习(理)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图 形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角 ABC 的斜边 AB，直角边 BC，AC若BC = 2 3， AC = 2， E 为半圆O1弧的中点， F 为半圆O2 弧上的任一点，则 BE . AF 的最大值为( )BC4A 2 33 +62 6D 4【答案】 B【解析】如图，以 CB, CA 为x, y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,2)， B(2 3,0) ，1 2O ( 3,0)， O (0,1)， E( 3, 3)，半圆弧O2 的方程为 x2 + (y 1)2 = 1(x 0)，设F(cos9 ,1 + sin9 ) ( 9 )， 32 2BE = ( 3, 3), AF = (cos9 , 1+ sin9 )，BE . AF = 3 cos9 + 3 3 sin9 = 3 6 sin(9 + )，4 9 ，则 9 + ， 9 = 时sin(9 + ) 取得最小值是 1， 2 2 4 4 4 4 4 3 3 7 5 所以 BE . AF 取得最大值 3 + 6故选： B.6 (2022 全国 高三阶段练习(理)如图所示，已知圆 O 的半径为 5， OA = 3 ，圆 O 上有u uur一点 B 满足 AB OA ，点 C 为圆 O 上任意一点，则 AB .CB 的取值范围是( )A 4,36 B 4,16 C 8,36 D 10,16【答案】 A【解析】根据题意可得A(3,0 ), B (3,4 )，则 (0,4 )设C(x, y )，其中5 共 x 共 5,5 共 y 共 5 ，则 (3 x,4 y)所以 A(u)B(uur) . C(u)B(ur) = 16 4y ，且5 共 y 共 5所以 =4,36故选:A.7 (2022 山西吕梁 高三阶段练习)如图， 在 ABC 中，O 为线段 BC 上一点， 且 BO = 2OC， G 为线段 AO 的中点， 过点 G 的直线分别交直线 AB，AC 于 D，E 两点， AB = mAD (m 0)，m m +4nAC = nAE (n 0)，则 1 + 9 的最小值为( )52A33B44C3D 2【答案】 C【解析】因为 BO = 2OC，所以AO AB = 2 (AC AO )，即 AO = 1 AB + 2 AC，3 3又因为 G 为线段 AO 的中点，所以AG = 2(1) (|(3(1)AB + 3(2) AC)| = 6(1) AB + 3(1)AC，因为 AB = mAD， AC = nAE，所以 AG = AD + AE，m n6 3因为 D、 G、 E 三点共线，所以 m + n = 1 ，即m +2n = 6，6 3D所以 m(1) + m 4n = (|(m(1) + m 4n)| (|(10 + m m(+)4n + mn )| 12(1) (|(10 + 2 )| = 12(1) (10 + 2 9 )= 3(4)，当且仅当 = ，即m = 2n = 3 时取等号m + 4n 9mm m + 4n故选： C.8 (2022 重庆八中高三阶段练习)如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点 O,2 AE = EO ，若DE = 入AB+ 山AD(入, 山 =R)，则入 + 山 等于( )6A 1B 1C 2 318【答案】 C【解析】因为平行四边形 ABCD 的对角线相交于点O,2 AE = EO ，所以DE = 2 DA + 1 DO = 2 DA + 1 (DA + AB )= 1 AB 5 AD .3 3 3 6 6 6因为DE = 入AB+ 山AD(入, 山 =R )，所以入 = 1 , 山 = 5 .6 6所以入+ 山 = .23故选： C二、多选题9 (2022 全国 模拟预测)已知平面向量a = (1,1)， b = (3,4)，则下列说法正确的是( )2A cos a,b =B b 在 a 方向上的投影向量为 a 2210(4 3)C与 b 垂直的单位向量的坐标为 |(5 , 5)|D若向量 a+入b与向量 a入b共线，则 入 = 0【答案】 AD【解析】由题意知 a = 12 +12 = 2， b = (3)2 +42 = 5， a .b = 1根(3)+1根4 = 1 ，则cos a, b = = = ， A 正确；a .b 1 2a b 2 根5 10b 在 a 方向上的投影向量为 b cos a, b . a(a) = 5 根 10(2) . a2 = 2(1)a， B 错误；0 0设与 b 垂直的单位向量的坐标(x0 , y0 )，则有y(+) 2(4)解得 或 ，所以与 b 垂直的单位向量的坐标为 )|或 (|( 5(4) , 5(3)|， C 错误；(x = 4 (x = 4|l 0 5 |l 0 5显然 a 与 b 不共线.因为a +入b = (1,1)+入(3,4)= (1 3入,1+4入)， a 入b = (1,1) 入(3,4)= (1+3入,14入)，向量 a + 入b与向量 a 入b共线，根据共线向量的坐标表示可得， (1 3入)(1 4入)(1+ 3入)(1+ 4入)= 0，整理可得14入 = 0 ，解得 入 = 0， D 正确.故选： AD.10 (2022 福建 泉州五中高三期中)已知扇形 AOB 的半径为 1， 三AOB = 120。，点 C 在弧AB 上运动， OC = xOA + yOB ，下列说法正确的有( )A当 C 位于 A 点时， x + y 的值最小 B当 C 位于 B 点时， x + y 的值最大C CA .CB 的取值范围为 2(1) ,0 D OC .BA的取值范围 【答案】 ACD【解析】以O 为原点，以OA 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设三AOC =9 ，则C(cos9,sin9) ，其中0剟9 A(1,0)， B (|( )|因为OC = xOA + yOB，cos9 = x 2(1) y y sin9所以 ，即 ，sin9 = 23 y x = cos9 + 33 sin97所以 x + y = cos9 + 3sin 9 = 2sin (|(9 + 6()|所以当9 = 时， x + y 取得最大值 2 ，此时点C 为 AB的中点，3当9 = 0 或9 = 2 时， x + y 取得最小值1，此时点C 为 A 或 B 点，故 A 正确， B 错误，3而 CA = (1 cos9, sin9)， CB = (|( 2(1) cos9, 23 sin9)|，所以CA .CB = (cos9 +1)(|( 2(1) cos9)| + (|( 23 sin9)|(sin9)，= 2(1) 2(1) cos9 23 sin9 = 2(1) sin (|(9 + 6()|因为 0剟9 3(2) ，所以 6()剟9 + 故 2(1) 元 sin (|(9 + 6()| 元1 ，因此 2(1) 元 2(1) sin (|(9 + 6()| 元 0， 所以 CA .CB 的取值范围为 2(1),0 ，故 C 正确，OC .(OA OB) = (cos9， sin9 )， (|( 2(3) , 23 )| = 2(3) cos9 23 sin9 = 3 cos (|(9 + 6()|，因为 0剟9 3(2) ，所以 6()剟9 + 故 23 元 cos (|(9 + 6()| 元 23 ，： 3 cos (|(9 + 6()| = ， ：OC .(OA OB) = ，所以 D 正确故选： ACD11 (2022 福建三明 高三期中)已知向量a = ( 2,1),b = (cos9,sin9)(0 9 ) ，则下列命题正确的是( )A a b 的最大值为 3B存在9 ，使得 a +b = a + bC若a b ，则 tan9 = 23 2D若 b 在a 上的投影向量为 6 a ，则向量a 与 b 的夹角为 3【答案】 ABD2【解析】对于 A， a .b = 2 cos9 +sin9 = 3sin (9 +Q)，其中tanQ = 2,Q =(|(0, 2()|， 所以当9 +Q= ， a .b 最大值为 3， A 正确.对于 B，因为09 0 时， a +b = a + b ，即9 使得 cos9 = ， sin 9 = 时，符合题意，所以 B 正确.6 33 38B对于 C，若 a b，则 a .b = 2 cos9 + sin9 = 0，此时 tan9 = 2， C 错误.a cos a, b 3对于 D， b 在 a 上的投影向量为 b cos a, b . = a = a，a 3 6所以 cos a, b = 1 ，所以 a 和 b 的夹角为 2 ， D 正确.2 3故选： ABD.912 (2022 湖北 华中师大一附中高三期中) 如图，1 1ABC 中， BD = BC， AE = AC， AD3 2与 BE 交于点F ，则下列说法正确的是( )1 2A AD = AB + AC 3 31BF = BE2C S : S = 1:3 BFD AFEDAF + 2BF + CF = 0【答案】 BCD【解析】为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设A, B, C 三点共线， O 为线外一点，则OB = mOC +(1 m)OA，即 OA与OC 前系数和为 1，证： A, B, C 三点共线，：AB = mAC，：OB OA = m (OC OA)，：OB = mOC +(1 m)OAAD = AB + BD = AB + 1 BC = AB + 1 (AC AB)= 2 AB + 1 AC，3 3 3 3故 A 错；B, F , E 三点共线，：AF = 入AB +(1 入)AE = 入AB + (1 入)AC， 2A, F, D 三点共线，：AF = 山AD = 2山 AB + 山 AC， 3 3：| 3 = 入 ，(2山 3(山) = 1 入入 = 2(1)解得|l山 ：AF = 1 AB + 1 AE， 2 2 F 为 BE 的中点，：BF = 1 BE ，故 B 对； 2S = S = .S ，1 1 1BFD 4 ABD 4 3 ABCS = S = .S ，1 1 1AFE 2 ABE 2 2 ABC：S : S = 1:3 ，故 C 对； BFD AFE取 AB 中点 G， BC 中点 H，如下图，则 G , F , H 三点共线，：AF + 2BF + CF = (AF + BF )+ (BF + CF )= (FA + FB )+ (FB + FC)= (2FG + 2FH)= (EA + EC )= 0 ，故 D 对故选： BCD三、填空题13(2022 全国 模拟预测)在梯形 ABCD 中，AB/CD，E 是 BC 的中点，若 AB = 3， CD = 2，且 AB .AD = 3，则 AE .AB =_10【答案】 9【解析】过点 E 作 EF/AB ，交 AD 于点 F，易得 F 是 AD 的中点，如下图则 EF = 1 (AB + CD )= 5，2 2：AE . AB = (AF + FE ). AB = AF . AB + FE . AB = 1 AD . AB + 3人 5 = 3 + 15 = 9 2 2 2 2故答案为： 914 (2022 全国 模拟预测) 如图， 已知 A， B， C 为圆O 上的三点， 三ACB = ， AB = 4 2， 4M ， N 分别在 OA， OB 上运动，且MN = 2 ，点G 在劣弧 AB上，则 GM . GN 的最小值为_ .【答案】 8 【解析】因为三ACB = ，所以 三AOB = ，4 2又 AB = 4 2 ，所以OA = OB = 4，以 OA， OB 所在直线分别为x， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(4,0)， B(0,4) ，令三NMO = 9 ，则M (2cos 9 ,0)， N(0,2sin 9) ，设G(4cos a,4sin a)(|(0 共 a 共 2() )|，11故 GM = (2cos 9 4cos a , 4sin a )， GN = (4cos a ,2sin 9 4sin a ) ，则GM . GN = 8cosa cos9 + 16cos 2 a 8sin a sin9 +16sin 2 a = 16 8(cosa cos9 +sina sin9 ) = 16 8cos(a 9 ) ，故当cos(a 9 ) = 1，即 a = 9 时， GM . GN 取得最小值，且(GM . GN)min= 8，即 GM . GN 的最小值为 8.故答案为： 815 (2022 北京 海淀教师进修学校附属实验学校高三阶段练习)若AB . AC = AB2 ，且AP = 1,CP . AB 的最大值为6 ，则 AB = _.【答案】 3【解析】因为 AB . AC = AB2，故CP . AB = (CA + AP). AB = CA . AB + AP . AB = AB2 + AB . AP，故当 AB, AP 同向时 CP . AB取得最大值6 .又 AP = 1 ，故 AB 2 + AB = 6 ，即(AB 3)(AB + 2)= 0 ，故 AB = 3 .故答案为： 316 (2022 黑龙江 哈尔滨市第六中学校高三期中)在平行四边形ABCD 中，点 E 满足DE = 3EC ，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F， AF = a1 AB +a2022 AD ，若数列an是等差数列，其前 n 项和为S ，则S = _n 2022【答案】 23591【解析】 DE = 3EC, AE 延长交 BC 的延长线于点 F， ： ECF EDA,， ：CF = AD，3：AF = AB + BF = AB + AD， ：a = 1,a =4 43 1 2022 3121011 2023=41+ S = 3 2022 = 2359.2022 2故答案为： 235917 (2022 浙江 三门县观澜中学模拟预测)已知c 为单位向量， a满足(a c). c = 0,2023b = a + 2022c ，当 a与 b 的夹角最大时， b c = _2023【答案】2023【解析】不妨取c = (1,0)， 设a = (x , y )， 故(a c). c = (x 1,y )?(1,0)= x 1 = 0， 故 x = 1；1 1 1 1 1 12 2设b = (x , y ) ，则 2023b = a + 2022c，132 2 1 1 2即(2023x ,2023 y )= (1,y )+(2022,0)= (2023,y ) ，故 x = 1，y = 2023y ，1 2设 a 与 b 的夹角为9 ，则9 = 三AOC 三AOB ，不妨取y1 , y2 0，2022tan9 = = 2022 y2 = 2022 1 2023 ，. 2023yy 22则 1 + y1 y2 1+ 2023y2 2 1 + 2023y 2y22当 y(1) = 2023y2 ，即 y 时等号成立，此时夹角最大，2b c = (11)2 + y22 = y2 = 故答案为：202320231 118 (2022 广东佛山 高三阶段练习)已知O 为 ABC 的外接圆圆心，若 AO = AB + AC， 2 2AB = OA，设向量 BA 在向量 BC 上的投影向量为 入 BC ，则入 = _.1【答案】 4【解析】如下图所示：1 1因为 AO = 2 AB + 2 AC ，则 2AO = AB + AC ，则 AO AB = AC AO，即 BO = OC，故O 为 BC 的中点，故 AB AC，所以， AB = OA = OB ，则 OAB 为等边三角形，则三ABC = ，3 BC 1 BA 1所以， BA在 BC 方向上的投影向量为 BA cos . = . .BC = BC ，3 BC 2 BC 41因此， 入 =4 .1故答案为：4 .19 (2022 重庆八中高三阶段练习)已知对任意平面向量AB = (x, y) ，把 AB绕其起点沿逆时针方向旋转9 得到向量 AP = (xcos9 ysin9, xsin9 + ycos9)，叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转9 得到点P . 已知平面内点A(2,1)，点B(2 + 2,1 2 )，把点 B 绕点 A 沿逆时针 后4得到点 P ，向量a 为向量 PB在向量 PA上的投影向量，则 a =_.r【答案】 2 2【解析】因为A(2,1)， B (2 + 2,1 2 )，所以 AB = ( 2, 2)， AP = ( 2 cos ( 2)cos , 2 sin + ( 2)cos ) = (2,0) ，4 4 4 4所以 P 点坐标为(4,1)，所以PB = ( 2 2, 2 )， PA = (2,0)14(2,0)222所以 a = . = 2 .r PB . PA PA 4 2.PA PA 2故答案为： 2 2 .20 (2022 广东 深圳实验学校光明部高三期中)中国文化博大精深， “八卦”用深邃的哲理 解释自然、社会现象 如图(1)是八卦模型图， 将共简化成图(2)的正八边形 ABCDEFGH ，若 AB = 1，则 AC . AE = _15【答案】2+ 2360O【解析】在 AOB 中，设OA = OB = x， 三AOB = = 45O，82 + 2则 x2 + x2 2x2 cos 45 O = 1，所以 x2= ，2又 三AOB = 三BOC = 45O，所以三AOC = 90O, 三OAC = 三OCA = 45O，所以 AE = 2x = 2 2 + 2 = 2 2 + 2 ， AC = OA2 + OC2 = 2x2 = 2 + 2 ，22所以 AC . AE = AC . AE cos 45O = 2 + 2 2 2 + 2 = 2 + 22故答案为： 2 + 2