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概率论与数理统计公式总结

分布函数
F{x) = I\X< x) = 对离散型随机变量

第一章
P(A+B)=P(A>+P(B> P(AB)
特别地，当A、B互斥时，P(A+B)=P(A>+P(B) 条件概率公式
对连续型随机变量凡‘)=ra< *)=L /(,)次 分布函数与密度函数的重要关系:

概率的乘法公式
二元随机变量及其边缘分布
分布规律的描述方法

全概率公式：从原因计算结果
联合密度函数 /Cr.r)
联合分布函数 Fg)
%/)=文只勿)R4R)
Bayes公式：从结果找原因
/(r,r)>0
tf,丿)林.=1
-宜代3，)〈］
= 联合密度与边缘密度
第二章
二项分布(Bernonlli 分布)——X-B(n4»)
/3=匚/("泌*
好分=名(1-(芥=0丄顼
髙散型随机变量的独立性
= A 尸=J} = = /}RF= 7}

泊松分布一X~P(入)
连续型随机变量的独立性

I\X= /) = 一，\ (左=0,1,…)
A^y)=fx^fM
概率密度函数
匚/(.1)冶=1
第三章
数学期望
髙散型随机变量，数学期望定义
+30

怎样计算概率 I\a<X<b)
连续型随机变量，数学期望定义

P{a<X<b)^^f{x)dx
• £(«>.,其中■为常数
• E(a+bX)=a+bE(X),其中■、b 为常数
• E(X+Y>=E(X)+E(Y), X. Y为任意随机变量

均匀分布
随机变量g(X)的数学期望
/W = -—(心 Q)
b- a
瓦T(为)=5>(・与0
t
常用公式

指数分布XTxp ( 6 )
/(.,) 二 /瑚(-r>0) u
不相关不一定独立
第四章
正态分布|彳〜M“q2)
顷1+7)=瓦』)+百7)
£g = JW(.3"・
当新】独立时，E(^ = E(X)E{Y)
/M =
砂) = "，I\X) = cz
标准正态分布的概率计算|①WES
标准正态分布的概率计算公式
P{Z< d) = P{Z< d)=①(〃)
AZH) = RN> 〃)= 1—①(〃)

方差 定义式

7V^N</)= o)s)—a)(〃)

必/。=匚(。瓦泌
R—〃 <Z<a) =①(〃)-①(一“)=20)(〃)-1
一般正态分布的概率计算
常用计算式 D(X)=石(》)-[石())]
了〜旳圣与o z= 〜冲，1)
(T
常用公式
一般正态分布的概率计算公式
力(4+ 7)=女占)+ W) + 2 石{(] 一 石(A))(尸一石。))}
当X、Y相互独立时：
以 1+/)= zyr)+四)
方差的性质
D(a)=O,其中a为常数
D(a+bX)=b2D(X),其中 a、b 为常数
当 X、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)-D(Y) 协方差与相关系数
-瓦如卩-石⑴]}=夂歹)-石(月囚⑺
】)=死⑺-石(为
I\X< d) = P{X< ") = 0)(-^^-)
o
I\X> 〃) = 1\X> 〃) = 1_ <D(生业)
(T
I\a <X<H) =中(左凹)-①(幺业)
CT b
第五章
卡方分布
若才〜AW)，则文用〜/(〃)
R】

_ Co^Y) "一 g力叫
协方差的性质
5工力=石頒)-(石(力)?=刀3)
Coy{X+ 匕 Z) = JT, Z) + Ei (尸,Z)
独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立
若—v(y),则丄文(给“八/以)
b T
t分布
若*〜冲，1), IF",则 亍* 物
"SE"),〜榆，嘰~g)
F分布 '
正态总体条件下 样本均值的分布：
,
才〜冲—)
n

样本方差的分布:
心J（〃T） （y~
正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知
（同 _瓦）土
两个正态总体的方差之比
/A
"斜〜FS-1，fh -1)
两个正态总体方差比的置信区间
苛/好
-1),
第六章
点估计：参数的估计值为一个常数
矩估计
最大似然估计
〃 似然函数
Z = n/Crz;0) Z = fp(・r,；e)
7=1 /=l
均值的区间估计——大样本结果
;.r 一样本均值 !
：＜7 一标准差（通常未知，可用样本标准差M弋替？
—样本容量（大样本要求〃〉50） !
\zall —正态分布的分位点 \
4/2（〃1一1、〃2-1）'
第七章
假设&验的步骤
① 根据n•体问题提出原假设H0和备抒.假设H1
®根据假设选择检凝统计玷，并计算检脸统计值 @看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则 拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
不可避免的两类错误
第1类（弃真）错误：原假设为真，但拒絶了原假设
第2类（取伪）错误：県假设为假，但接受了原假设 单个正态总体的显著性检验
•单正态总体均值的检验
＞大样本情一~Z检验
＞正态总体小样本、方差已知——Z检验
＞正态总体小样本、方差未知——t检验
•单正态总体方差的检验
＞正态总体、均值未知——卡方检验
单正态总体均值的显著性检验
\P 一样本比例 ；
“ —样本容最（大样本要求〃 ＞50），
氐〃 一正态分布的分位点 :
统计假设的形式
①
々0：〃 = “0
H\ Z A)
双边检验
(2)
% " 2 卩 °
4："＜坊
左边检验
(3)
.卩 < 卩Q
Hi：卩 ＞卩。

单正态总体均值的z检验 小样本、正态总体、标准差b已知 ＞
（大样本情形。未知时用日导或学
b / V刀

拒绝域的代数表示
小样本、正态总体、标准差b未知
双边检验 14 2乙,2
左边检验 ZS
右边检验 z＞za 比例一殊的均值的Z检验

如（〃-1）—自由度为〃-啲/分布的分位点
Zl-a/2
A一一总体比例
J，O（1*O）商｝ P 样本比例
P。
%〃 一钦*：的分位点!单正态总体均值的1检验

,=孕
S/yj7/
单正态总体方差的卡方检验
2 （〃一 I）#

拒绝域 双边检验
x2^x^2 或％ 七；dg

左边检验

右边检验
X^Xa/2