概率论与数理统计公式总结【已整理 可直接打印】.docx

k
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当 A、 B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)
条件概率公式
P(A | B) = P(AB)P(B)

概率的乘法公式
P(AB) = P(B)P(A | B) = P(A)P(B | A)
全概率公式：从原因计算结果
P (A) = xn P (B )P (A | B )
k k
k=1

Bayes 公式：从结果找原因
P(B | A) =
k xn P(B )P(A | B )
k k
k =1
第二章
二项分布(Bernoulli 分布) ——X~B(n,p)
P(X=k)=Ckpk (1一p)n一k， (k=0,1,...n,)
n
泊松分布——X~P(λ)
P(X = k) = 入 k e一入， (k = 0,1,...)
k!

概率密度函数
f (x)dx = 1

怎样计算概率 P(a 共 X 共 b)

P(a 共 X 共 b) = jb f (x)dx
a

均匀分布 X~U(a,b)
f (x) = (a 共 x 共 b)
b 一 a
1

指数分布 X~Exp ( θ)
f (x) = 1 e一x /9 (x > 0)
9

分布函数
F (x) = P(X 共 x) = x P(X = k)
对离散型随机变量

对连续型随机变量
F (x) = P(X 共 x) = jx f (t)dt
一w
分布函数与密度函数的重要关系：
F'(x) = f (x)
F (x) = P(X 共 x) = jx f (t)dt
一w
二元随机变量及其边缘分布
分布规律的描述方法

联合密度函数 f (x, y)
联合分布函数 F (x, y)
f (x, y) > 0
j+wj+w f (x, y)dxdy = 1
一w 一w
0 共 F(x, y) 共 1
F (x, y) = P{X 共 x, Y 共 y}
联合密度与边缘密度
f (x) =j+wf(x, y)dy
一w
X

f (y) =j+wf(x, y)dx
一w
Y

离散型随机变量的独立性
P{X = i, Y = j} = P{X = i}P{Y = j}
连续型随机变量的独立性
f (x, y) = f (x)f (y)
X Y
第三章
E(X) = xk . k(P)
=一w
E(X ) = j+wx . f (x)dx
一w
数学期望
离散型随机变量，数学期望定义

连续型随机变量，数学期望定义

E(a)=a，其中 a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a、 b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)， X、 Y 为任意随机变量

随机变量 g(X)的数学期望
常用公式
E(X)=xx xp
i ij
i j

E(g(X )) = x g(x )p
k k
k

E(X ) = jj xf (x, y)dxdy

k共x

常用计算式
常用公式
2 i
E(XY) = jj xyf (x, y)dxdy
p
o

E(XY) =xx x y p
i j ij
i j

正态分布

f (x) = e一 2o 2
1 (x一山)2
2几o

E(X + Y) = E(X ) + E(Y)

E(X ) = 山, D(X ) = o 2
C(a) = 1一 C(一a)
标准正态分布的概率计算
P(Z 共 a) = P(Z < a) = C(a)
标准正态分布的概率计算公式

当X与Y独立时, E(XY) = E(X )E(Y)

P(Z > a) = P(Z > a) = 1一 C(a) P(a 共 Z 共 b) = C(b) 一 C(a)
P(一a 共 Z 共 a) = C(a) 一 C(一a) = 2C(a) 一 1
方差
定义式
D(X ) = j +w(x 一 E(X ))2 . f (x)dx
一w

D(X ) = E(X 2 ) 一 [E(X )]2

D(X + Y) = D(X ) + D(Y) + 2E{(X 一 E(X ))(Y 一 E(Y))}


一般正态分布的概率计算

X ~ N(山,o 2) 一 Z = X一o 山 ~ N(0,1)

当 X、 Y 相互独立时：
D(X + Y) = D(X ) + D(Y)

方差的性质
D(a)=0，其中 a 为常数
D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、 b 为常数
当 X、 Y 相互独立时， D(X+Y)=D(X)+D(Y)
协方差与相关系数
E {[X 一 E(X )] 一 E(Y)]}= E(XY) 一 E(X )E(Y)

Cov(X , Y) = E(XY) 一 E(X )E(Y)

Cov(X,Y)
=
XY D(X)D(Y)

协方差的性质
Cov(X , X ) = E(X 2 ) 一 (E(X ))2 = D(X )

Cov(aX , bY) = abCov(X , Y)

Cov(X + Y, Z) = Cov(X , Z) + Cov(Y, Z)

独立与相关
独立必定不相关
相关必定不独立
不相关不一定独立
第四章
X ~ N (山,o 2)


一般正态分布的概率计算公式
P(X 共 a) = P(X < a) = C(a 一 山o)
P(X > a) = P(X > a) = 1一 C(a 一 山o)
P(a 共 X 共 b) = C(b 一 山o) 一 C(a 一 山o)
第五章
卡方分布
若X ~ N (0,1)，则xn X 2 ~ X2 (n)
i
i=1
若Y ~ N(山,o 2 ), 则 1 xn (Y 一 山)2 ~ X2 (n)
i=1
t 分布

o / n
若X ~ N (0,1), Y ~ X 2 (n),则

若U ~ X2 (n ), V ~ X2 (n ),
1 2
F 分布
正态总体条件下
样本均值的分布：
X 一 山
X ~ N (山, o 2 )
n
X
~ t(n)
Y / n
则U / n1 ~ F (n , n )
V / n 1 2
2

~ N(0,1)

(||(p 土 za/ 2
( S 2 / S 2 S 2 / S 2 )
||(1 2F(n_1,n_1)a/212 , 1 2F(n_1,n_1)a/212)||

样本方差的分布：
装 2 s / n
(n _ 1)S 2 ~ X2 (n _ 1) X _ 山 ~ t(n _ 1)

两个正态总体的方差之比
S2 / S212 ~ F (n _ 1, n _ 1)
装 2 / 装 2 1 2 1 2

第六章
点估计：参数的估计值为一个常数
矩估计
最大似然估计

似然函数
L = nn f (x ;9 )
i
i=1
L = nn p(x ;9 )
i
i=1

均值的区间估计——大样本结果
x 土 za / 2 装 n

x — 样本均值
装 — 标准差(通常未知，可用样本标准差s代替) n — 样本容量(大样本要求n >50)
a/ 2
z — 正态分布的分位点

p(1_n p) ))||
p — 样本比例
n — 样本容量(大样本要求n >50)
z — 正态分布的分位点
a/ 2

小样本、正态总体、标 准差 装 已知
x 土 za/ 2 装n

正态总体方差的区间估计
两个正态总体均值差的置信区间
大样本或正态小样本且方差已知
(||((x1 _ x2 )土 za/ 2 n(装) + n(装) ))||
两个正态总体方差比的置信区间

第七章
假设检验的步骤
① 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H1
② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值
③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则 拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
不可避免的两类错误
第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设
第 2 类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设
单个正态总体的显著性检验
单正态总体均值的检验
➢ 大样本情形——Z 检验
➢ 正态总体小样本、方差已知——Z 检验
➢ 正态总体小样本、方差未知—— t 检验 单正态总体方差的检验
➢ 正态总体、均值未知——卡方检验
单正态总体均值的显著性检验
统计假设的形式

(1) H : 山 = 山 H : 山 丰 山 双边检验 0 0 1 0
(2) H : 山 > 山 H : 山 < 山 左边检验 0 0 1 0

(3) H : 山 共 山 H : 山 > 山
0 0 1 0 右边检验
单正态总体均值的 Z 检验

Z = X _ 山 0 (大样本情形 装 未知时用S代替)
装 / n

小样本、正态总体、标准差装 未知
x 土 ta/ 2 (n _ 1) sn
((n_1) S 2 , (n_1) S 2 )S 2 — 样本方差
a/ 2
t (n _ 1) — 自由度为n _ 1的t分布的分位点

X 2
X 2
a/ 2
X 2 — 卡方分布的分位点
a / 2
1_a / 2

拒绝域的代数表示
双边检验
左边检验
右边检验
a/ 2
Z 共 _Z
Z > Z
a
Z > Z a

比例——特殊的均值的 Z 检验

p _ p p — —总体比例
Z = 0 0
p (1_ p ) / n p — —样本比例
0 0

单正态总体均值的 t 检验
t = 0
X
S / n
单正态总体方差的卡方检验
X2 = (n 1)S22

拒绝域
双边检验

左边检验
右边检验

0

X 2 > X 2 或X 2 X 2
/ 2 1 / 2

X 2 X 2
1 / 2

X 2 > X 2
/ 2