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有理数运算知识点分析
1、有理数的加法是有理数运算的重点，它比算术中的加法运算复杂，而且容易出错。
(1)有理数加法法则是进行有理数加法的依据，进行加法运算时，首先判断两个加数的符号，是同号？是异号或是有一个零，从而来确定用哪一条法则。求和时，先确定和的符号，然后利用绝对值，把有理数转化为非负数按小学加法或减法求大小，再写出结果。
(2)有理数的加法满足交换律、结合律、进行有理数的加法运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用加法运算律，使计算简便。
2、有理数的减法
(1)把相反数的概念应用在有理数的减法法则中，就可把减法运算转代为加法运算，所以在有理数中，加减法是统一的。
(2)在算术里做减法运算时，被减数一定要大于或等于减数。现在学了有理数减法法则以后，因为有理数的加法运算算是可以进行的，所以有理数减法运算也总是可以进行的。
3、有理数的加减混合运算：
(1)由于减法可以转化为加法，因此加减混合运算，都可以统一成加法运算。像这样把加地统一写成加法的式子，叫做代数和。代数和与算术的和的最主要区别就是代数和中的加数可以是负数。
(2)在一个代数和中，加号可以省略不写，即(-10)+(+3)+(+4)+(+5)+(+2)可以写成-10+3-4+5+2,读作 “负10、正3、负4、正5、正2的和”，又可以读作“负10加2减4加5加2”。可见在有理数的加减运算中，“+”“-”号可以当作运算符号，也可以当作性质符号。
(3)因为有理数加减法呆统一成加法，所以进行有理数的加减混合运算时，可以运用加法交换律与结合律，但要注意在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。
4、有理数的乘法
(1)有理数做乘法运算时，若其中有一个数为零，则其积也为零。若两个不为零的数相乘，则先确定积的符号(这与小学是不同的)，然后转化为绝对值相乘(即利用小的乘法运算)。
(2)小学学过的乘法运算律，在有理数内仍然适用。
5、有理数的除法
(1)倒数
小时已学过“乘积是1的两个数互为倒数”，在有理数范围内仍然这样定义。若两个有理数互为倒数，则符号相同，绝对值乘积为1。
注意：零没有倒数，1的倒数是1，=1的倒数是-1。
(2)由有理数的除法法则知，除法可以转化为乘法，即在有理数中乘除法是统一的。
6、有理数的乘方：
(1)乘方是求相同因数的积的运算，它是特殊的乘法，所以乘方运算的结果幂的符号和有理数乘法的确定符号的方法完全相同。
(2)底数为负数是，乘方运算容易写错，并且容易出现符号的错误，如(-3)^4读作(负3的四次方)，不要忘记括号，否则写成-3^4表示3的四次方的相反数，或读作“负的3的四次方”表示3的四次方的相反烽，要注意二者的意义上的区别。
(3)注意分数的乘方的写法，也要加小括号。
(4)单独一个数可以看作这个数本身的一次方(次数1省略不写)。
7、有理数的混合运算：
有理数的运算，一般从高级到低级进行。在同一级运算中，按照从左到右的顺序运算。有括号时，括号优先一般从里向外进行。
8、近似数和有效数字：
(1)一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零。如2.8和2.80不一样，前者精确到十分位，报者精确到百分位。
(2)有效数字的个数是从左连第一个不是零的数字起，从左到右到精确到的那一位止，这中间的所有数字都包括在内，不管是0还是有重复的数字都不能漏掉。如0.05008是经四舍五入后得到的近似数。它左边第一个不为0的数是5，精确到的数位上的数字是8，那么5和8之间的5，0，0，8就都是它的有效数字。
(3)精确度有两种形式，一是精确到哪一位，二是保留几个有效数字。
第一节课 等式和方程
【知识要点】
1．等式：用等号表示相等关系的式子
2．含有未知数的等式叫方程；能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解（在一元方程中也可叫做方程的根）；求得方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程
3．如果两个方程的解相同，即两个方程中，第一个方程的解就是第二个方程的解，第二个方程的解也是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程
4．方程同解原理有两条：（方程同解原理是解方程的根据）
（1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程（2）方程两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程
【阶段练习】
一、说明下列各式变形的根据
1．由x+2=5，得x=3 （ ）
2．由9x=2，得 （ ）
3．由3x-1=8，得x=3 （ ）
4．由4x-3=1-2x，得x= （ ）
5．由2(x+1)+10=3(x+1)，得(x+1)=10 （ ）
二、下列各题中，那些是代数式？那些是等式？那些是方程？
1．x=0 （ ）
2．3x+7 （ ）
3．x-7=7-x （ ）
4． （ ）
5．2x-3y=1 （ ）
6． （ ）
三、判断括号内的数是否为方程的解
1．x-2x=7 (-7) （ ）
2．x+3=3x-1 (2) （ ）
3．x2-4=0 (2，-2) （ ）
4．(x+1)(x-2)=0 (-1，2) （ ）
5．y(y+2)=-1 (0，-2) （ ）
6． (-1) （ ）
四、根据下列条件，分别列出方程
1．某数的2倍于7的和是11 （ ）
2．某数与2的和的3倍是6 （ ）
3．x的平方加上7等于32 （ ）
4．x与5的差的绝对值等于4 （ ）
五、选择题
1．不解方程，判断方程 的解是（ ）
（A）x=3（B）x=-3（C） （D）
2．x=4是下列那个方程的解（ ）
（A）3(x-2)=5(2x+3)（B）
（C） （D）
3．若两个方程是同解方程，则（ ）
（A）这两个方程相等（B）这两个方程的解法相同
（C）这两个方程的解相同（D）第一个方程的解是第二个方程的解
4．下面各组方程中是同解方程的是（ ）
（A）x=7与3x＝7（B）x=7与3x+21=0（C）x=7与3x-21=0（D）x=7与
六、填空题
1．已知7x+4y-6=0，用含x的代数式表示y，则y=__________________；用含y的代数式表示x，则x=_______________________
2．等式 对一切x都成立，则m=________，n=_______
七、已知3b-2a-1=3a-2b，利用等式性质比较a与b的大小
八、如果x=-8是方程 的解，求m2+14m的值
第二节课 一元一次方程的解法
【知识要点】
1．只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程
2．解一元一次方程的一般步骤是：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为“1”
3．一元一次方程ax=b的解的情况：
（1）当a≠0时，ax=b有唯一的解
（2）当a=0，b≠0时，ax=b无解
（3）当a=0，b=0时，ax=b有无穷多个解
【例题精讲】
解方程
解：去分母得：6(x+2)+3x-2(2x-1)-24=0
去括号得：6x+12+3x-4x+2-24=0
移项得： 6x+3x-4x=24-12-2
合并同类项得： 5x=10
系数化为“1”得： x=2
【阶段练习】
一、选择题
1．下列方程是一元一次方程的是（ ）
（A） （B） （C）(x-3)(x-2)=0（D）7x+(-3)2=3x-2
2．与方程x+2=3-2x同解的方程是（ ）
（A）2x+3=11（B）-3x+2=1（C） （D）
3．如果代数式 与x-1的和的值为0，那么x的值等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．方程 的解是（ ）
（A）y=2（B）y=1（C）y=2或y=1（D）y=1或y=-1
二、下列方程的解法是否正确？如果有错误，请把它改正过来
1．解方程 3x+4=5x+6
解：5x-3x=6-4
2x=2
x=1
2．解方程 3(x-2)+1=5
解： 3x-2+1=5
3x=6
x=2
3．解方程
解：去分母 3x+1=5-x+3
3x+x=8-1
4x=7
三、填空题
1．方程-y=0的解是_______________
2．方程(a-1)x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程，则a=__________________
3．在公式 中，已知a=3，b=5，s=12，则h=________________
4．当x=5时，代数式 的值是__________；已知代数式 的值是5，则x=______
四、解下列方程
1．5(2x-1)-3(3x-1)-2(5x-1)+1=0
2．
3．
4．
5．
五、已知关于x的方程 （1）当m为何值时，方程的解为x=4；（2）当m=4时，求方程的解
六、如果3a2b2x+1与－axb3x+y是同类项，试求y的值
七、已知x=2时，二次三项式2x2+3x+a的值是10；当x= -2时，求这个二次三项式的值
第三节课 一元一次方程的应用
【知识要点】
1．列一元一次方程解应用题，必须认真做到“设、列、解、验、答”五个步骤：
“设”――审清题意，明确等量关系，恰当地设立未知数来表示某个未知量。
“列”——根据问题中的等量关系列出方程。
“解”——解方程。检验方程的解，并判断方程的解是否应用题的实际意义。
“验”——双重检验，检验根的正确性，检验解的合理性
“答”——写出应用题的答案。
2．应用题中常见的基本关系式：
（1）行程问题：路程=速度 时间
（2）工程问题：工作量=工作效率 时间
【例题精讲】
列方程解应用题
一件工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要12天完成，丙单独做要15天完成，甲、丙先合做了3天后，甲因事离去，由乙和丙继续合做，问还需几天才能完成？
分析：工程问题满足这样的关系式：甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=1
若设还需x天才能完成，则甲工作了3天，乙工作了x天，丙工作了（x+3）天可得每个人的工作量为 、 、 ，由此可以列方程，进而解题了
解：设还需x天才能完成
依题意列方程得：
解方程得：
经检验，符合题意
答：还需 天才能完成
【阶段练习】
一、根据应用题的题意，在空格处列出方程
1．有两个工程队，第一队有46人，第二队有28人，从第一队调x人到第二队使两队人数相等
列方程得：________________________________________
2．一项工程，甲队单独做10天可以完成，乙队单独做15天可以完成，两队合作x天可以完成
列方程得：________________________________________
3．某汽车厂今年生产汽车16000辆，去年生产x辆，今年比去年生产的汽车增加1倍还多1000
辆
列方程得：________________________________________
4．某车间接到x件零件加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，而实际加工每天多做
40件，结果提前6天完成
列方程得：________________________________________
5．将5千克浓度为85%的农药配成浓度为2%的药水杀虫，应该加水x千克
列方程得：________________________________________
6．甲、乙两车工在一天内共加工零件180个，其中甲车工加工x件，乙车工完成的件数是甲车
工的
列方程得：________________________________________
7．收割一块小麦，第一组需要5小时收割完，第二组需要7小时收割完。第一组收割1小时后
再增加第二组一起收割，两组共同收割完用了x小时
列方程得：________________________________________
8．正方形边长为x米，将它的一边减少1.2米，另一边减少1.5米，所得到的矩形面积比正方
形面积减少14.4平方米
列方程得：________________________________________
二、分析应用题
1．甲、乙两站相距240千米，客车每小时行65千米，货车每小时行35千米。货车从甲站开往
乙站1小时后，客车从乙站开往甲站，货车开出后x小时两车相遇.
列表分析
速度
时间
路程
相等关系
货车
客车
2．要配制浓度为10%的硫酸溶液980千克，需要用x千克浓度为98%的硫酸溶液
列表分析
浓度
溶液
溶质
相等关系
配制硫酸
原硫酸
三、填空题
1．两数之和是a，其中一个数是x，那么这两个数之积是__________________________
2．a是一个两位数，b是一个一位数，若把b放在a的右边，这个三位数是_________________
3．梯形下底是a，上底是下底的 ，高比下底小7，那么梯形的面积是________________________
4．刘庄、王湾两村合修一个小型水库，按受益面积3：5分担建筑费用a万元，那么刘庄应承
担____________万元，王湾应承担_________________万元
四、列方程解应用题
1．我国四大发明之一的黑火药，它所用的原料硝酸钾、硫磺、木炭的重量比是15：2：3，要
配制这种火药160千克，问三种原料应各取多少克？
2．A、B两城相距200千米，客车在A城，速度为每小时40千米，吉普车在B城，速度为每
小时60千米，两车同时相向而行，问经过多少小时相遇？
3．某学校同学参加绿化植树活动，松树、柏树和柳树共栽了900棵，其中柏树是松树的2倍，
柳树是柏树的3倍，问松树、柏树和柳树各栽了多少棵？
4．敌我两军相距15千米，已知敌军于1小时前以每小时4千米的速度逃跑，现我军以每小时
7千米的速度追击，问几小时可以追上？
5．修筑一条公路由三个工程队承包，第一工程队筑了全程的 后，第二工程队筑了剩下的 ，
最后由第三工程队筑了18千米后完成了筑路任务，问公路全长是多少千米？
6．有一个三位数，它的十位数字比个位数字大2，百位数字比个位数字小2，三个数字的和的
17倍等于原数，这个三位数是多少？
图形初步
知识脉络
知识点1、生活中的立体图形
1．生活中的常见立体图形有：球体、柱体、锥体，它们之间的关系如下所示：
2．多面体：由平面围成的立体图形叫做多面体
知识点2、由立体图形到视图
1．视图
（1）直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图（主视图、左视图、俯视图）
（2）简单的几何体与其三视图、展开图
（3）由三视图猜想物体的形状
2．通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）．
俯视图反映物体的长和宽，主视图反映了它的长和高，左视图反映了宽和高．所以主视图和俯视图的长度相等，且互相对正，即“长对正”主视图与左视图的高度相等，且互相平齐，即“高平齐”俯视图与左视图的宽度相等，即“宽相等”
知识点3、立体图形的展开图
1．圆柱的侧面展开图是一个矩形，一边长为母线的长，另一边是底面的周长．
2．圆锥的侧面展开图是一个扇形，其中扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是底面圆的周长
3．正方形的展开图的形状比较多，如图示：（1，4，1；1，3，2；2，2，2；3，3）
知识点4、平行投影和中心投影
平行投影：在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影．
1．在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．
2．物体在阳光下的影长与方向随时间的变化而变化
3．太阳光可以看作是一束平行光线
中心投影：在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
1．在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例．
2．在灯光下，不同位置的物体，影子的长短和方向都是不同的，但是任何物体上的一点与其影子的对应点的连线一定经过光源所在的点．
知识点5、线段、射线、直线
1．连接两点的所有线中，线段最短．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端的距离相等
2．射线、线段可以看作直线的一部分
知识点6、角
1．概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
1周角＝2平角＝4直角＝360度
2．互余和互补：如果两个角之和是一个直角，那么这两个角互余；如果两个角之和是一个平角，那么这两个角互补.
3．角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
4．钟表问题：常用到以下知识：①钟表上相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每小格对应6°；②秒钟每分钟转运360°，分针每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°；③画示意图把这类问题看成是行程问题中的追及问题来解决。
知识点7、垂直
1．概念：两条直线相交的四个角中有一个为直角时，称这两条直线互相垂直，交点叫垂足．
2．性质：在同一平面内，经过直线外（上）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
3．距离：直线外这个点到垂足间的线段叫做点到直线的距离．
知识点8、平行线
1．平行线：在同一平面内，不相交的两条直线．
2．两条直线被第三条直线所截，出现的三种角：同位角，内错角，同旁内角．
直线m截直线a，b成如图所示的8个角，在图中：
同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8；
内错角：∠3和∠5，∠4和∠6；
同旁内角：∠3和∠6，∠4和∠5．
3．平行公理：经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
4．平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行．另外，平行于同一直线的两条直线互相平行．垂直于同一直线的两条直线互相平行．
5．平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．
例题
线、角基本概念
（1）线段、射线、直线概念及相同点和不同点。
（2）周角、平角、钝角、直角、锐角、角平分线、数量关系角（如余角、补角）、位置关系角（邻补角、对顶角）等概念及关系；
（3）计数：求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，典型问题：
①线段上有n个点（含两个端点）共有多少条线段？
②n条直线两两相交的直线最多有几个交点？
③n条直线最多能把平面分成几个区域？
例1
例2 有一块54°的模板，能否用这块模板把54°的角三等分？
答案：54°÷3=18°，54°×7-360°=18°，即连续沿OA边逆时针画7个54°角即可到第1条三等分线，再以OB为边逆时针画7个54°角即可到第2条三等分线。
求线段、角度：恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法（方程思想）；当题目中没有明确点、线的位置关系及数量关系时，要考虑所有可能情况（分类思想）。
例2 已知：如图，∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，∠COD=20°，求∠AOC的度数。
答案：40°。
例5 已知∠AOB=40°，∠BOC=30°，∠AOD=15°，求锐角∠COD的度数。
答案：55°或85°。
最短距离：两点之间，直线最短；化曲为直。
例3
钟表问题：常用到以下知识：①钟表上相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每小格对应6°；②秒钟每分钟转运360°，分针每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°；③画示意图把这类问题看成是行程问题中的追及问题来解决。
例4、5点与6点之间，何时分针与时针所成的角为60°？
答案：
练习
1、
8
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