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北京师范大学《量子力学》考研重点
整理

复习笔记

本章介绍了量子力学中最基本的波函数概念和表达形式，并且介绍了波函数的统

计诠释和量子态的叠加原理，相应的引入描述量子态动力学过程的薛定谔方程，

相比较于经典物理中的牛顿定律，在量子力学中，非相对论情况下的薛定谔方程

同样占据了重要地位，对于有限几种可解模型，包括势阱、势垒和线性谐振子，

以及氢原子情形，薛定谔方程可以求解出波函数和能级的具体形式，其结果可以

完美解释物理实验中相关现象和数据，而对于不可精确求出解析解的模型，针对

具体不同的模型，在物理背景的考虑下可以进行相应的近似处理，由薛定谔方程

得出的近似解也可以比较满意地对实验现象和结果做出解释，后面的章节围绕理

论部分会对近似求解详细阐述，在高等量子力学中，将会介绍相对论情形下的狄

拉克方程。

一、波函数的统计诠释

1 实物粒子的波动性

de Broglie( 1923 )提出了实物粒子(静质量m≠0 的粒子，如电子)也具有波

粒二象性( wave-particle duality)的假设，即与动量为 p 和能量为 E 的粒子

相应的波的波长λ和频率ν为

λ＝h/p ，ν＝E/h

并称之为物质波( matter wave )。

2 概率波，多粒子体系的波函数

Born 提出的波函数的概率诠释： |ψ(r→ ) |2ΔxΔyΔz 表征在 r 点处的体积元Δx ΔyΔz 中找到粒子的概率，根据波函数的统计诠释，要求波函数ψ(r)满足下列 条件

这称为波函数的归一化( normalization )条件。

归一化条件就可以简单表示为

(ψ，ψ)＝ 1

3 动量分布概率(三维情况下)

动量分布概率密度即|φ( p ) |2。

4 不确定性原理与不确定度关系

位置(坐标)和动量的不确定性关系

上式表明粒子处于任何量子态下，它的位置(坐标)和动量不能同时具有完全确

定的值， x 和 p 是一对对偶量，同理，能量 E 和时间 t 也具有相同的关系式。

5 力学量的平均值与算符的引进

p∧为动量算符，在坐标表象中其具体表达形式为

l→＝r→ ×p∧(角动量算符)

l 是一个矢量算符，它的三个分量可以表示为

A∧是与力学量 A 相应的算符，其平均值为

如波函数未归一化，则

与经典 Hamilton 量 H＝T＋V 相应的算符表示为

其中， T 为粒子的动能， V 为粒子在势场中的势能。

6 统计诠释对波函数提出的要求

根据统计诠释，对波函数ψ( r)的要求为

( 1 ) |ψ( r) |2 取有限值，即要求ψ( r)取有限值。

( 2 )波函数需要满足归一化条件(平方可积)

但概率描述中实质的问题是相对概率，因此，在量子力学中并不排除使用某些不 能归一化的理想的波函数，比如平面波。
( 3 ) |ψ( r) |2 单值，但ψ( r)不一定取单值。

(4)波函数ψ(r)及其各阶微商的连续性(一般情形可以这样考虑，但遇到特 殊情况要视具体的势能而定)。

7 索末菲量子化条件的推广

8 波粒二象性(见表 1-1-1 )

表 1-1-1 波粒二象性相关概念

华南理工大学量子力学考研真题

2015 年华南理工大学 630 量子力学考研真题