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一次函数的图像与性质（讲义）
一．教学衔接
函数的来源：十七世纪中叶，笛卡尔引入了变量的概念，创立解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解。在实数的基础上，牛顿和莱布尼茨建立了微积分学，牛顿第一次提出了“流量”概念。1781年，瑞士的数学家莱布尼兹的学生约翰·贝奴里给出了函数的明确定义（解析式）。十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。
（牛顿） （欧拉） （莱布）
二．教学内容—知识点梳理
1.变量：判断方法：(1)看它是否在一个变化过程中；(2)看它在这个变化过程中的取值情况
2.函数：判断方法：(1)有两个变量；(2)一个变量每取一个确定的值，另一个变量都有唯一的值和它对应。可以是“多对一”不可以是“一对多”
3.自变量的取值范围：(1)函数解析式是整式，自变量取全体实数.
(2)函数解析式的分母中含有自变量时，分母不能等于0
(3)函数解析式中含有二次根式，被开方数要大于等于0
1．一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示为y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
2．一次函数的图象及其性质：：

正比例函数
一次函数
表达式
y=kx(k≠0)
y=kx+b(k≠0)

k>0
k<0
k>0
k<0
图象

性质
1．图象是经过原点与第一、三象限的直线；
2．函数y的值随x的增大而增大.
1．图象是经过原点与第二、四象限的直线；
2．函数y的值随x的增大而减小.
函数y的值随x的增大而增大.
函数y的值随x的增大而减小.

3、函数表达式的确定：
1. 常用方法是待定系数法，一次函数y=kx+b中含有两个待定系数k、b，
根据待定系数法，只要列出方程组即可.
【题型梳理】
k和b的符号象限问题—类型一
例1.若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则y=bx-k的图象不经过哪个象限？
练：1.若一次函数y1＝kx－b的图象经过第一、三、四象限，则一次函数y2＝bx+k的图象经过第 象限．
2. 已知关于、的一次函数的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么的取值范围是
3.函数y=(2m+3)x+m+1的图象经过一、三、四象限的条件是    
4.直线y=kx＋b经过一、二、四象限,则k、b应满足( )
A．k>0, b<0; B．k>0,b>0; C．k<0, b<0; D．k<0, b>0.
例2. 已知函数的图象如图，则的图象可能是( )

练：一次函数y=kx+b的图象（其中k<0，b>0）大致是（ ）

例3．若a是非零实数，则直线 y=ax－a 一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
练：如果直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，则有（ ）
A．ab＞0 B．ab≥0 C．ab＜0 D．ab≤0
例4．如果点M在直线上，则M点的坐标可以是（ ）
A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，－1）
练：下列给出的四个点中，不在直线y=2x-3上的是
A．（1，－1） B．（0， －3） C．（2， 1） D．（－1，5）
二、概念问题
例1．已知：y－3与x+2成正比例，且x＝2时，y＝7 请写出y与x之间的函数关系式．

例2．已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x－2成正比例，且当x=1时，y=－1；x=4时，y=20．求当x=－3时y的值。

练：1.要使y＝（m－2）xn－1＋n是关于x的一次函数，则m、n应满足______________。
2.若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m满足的条件是___________
3.已知y与x－1成正比例，且x=2时，y＝7。(1)写出y与x之间的函数关系：_______；
(2)y与x之间是______ 函数关系；(3)当y＝－4时，x＝____
三、求解析式问题
例1．已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），
则这个函数的解析式为_____________。
练：1.已知一次函数y=kx－3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
2.一次函数的图象经过点（－2，3）与（1 ，－1），它的解析式是___ _    _
例2.已知一次函数，当时， (1)求一次函数的解析式；
(2)将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标.
练：已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
例3.点A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y＝－x上，
则y1与y2的关系是（ ）
A.y1≥ y2 B.y1＝ y2 C.y1 ＜y2 D.y1 ＞y2

四、与坐标轴交点问题
例1．一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴交点坐标是_______，与y轴的交点坐标是_____，
图象与坐标轴所围成的三角形面积是______。

例2．一次函数与的图象交于轴上一点，则　　　　．
练1．一次函数y＝2x－3与y轴的交点坐标是 ．
练2. 已知一次函数的图象经过点和点Ｂ，点Ｂ是一次函数的图象与轴的交点，则这个一次函数的表达式是　　　　　．
练3．若直线y=x+m与直线的交点在x轴上，则m=____________．

五、增减性问题
例1．某一次函数的图象经过点（－1,2），且函数y的值随自变量的增大而减小。请写出一个符合上述条件的函数关系式为：_____________。
例2．已知一次函数y＝（1－2k）x＋（2k＋1）．
① k取何值时，y随x的增大而增大？
②当k取何值时，函数图象经过坐标系原点？
③当k取何值时，函数图象不经过第四象限？
例3. 一次函数中，的值随的增小而减小，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
例4．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y= -x图象上两点，则下列判断正确的是（ ）
A．y1>y2 B．y1<y2 C．当x1<x2时，y1>y2 D．当x1<x2时，y1<y2
例5．若正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2）当x1＜x2时，y1＞y2 ，则m的取值范围是（ ）
A．m<0 B．m>0 C．m＜ D．m＞
六、平移问题
1．把直线y＝2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
3．函数y＝－2x－4图象可以由函数y＝－2x的图象向____平移___个单位得到。
6．将函数y＝2x＋3的图象平移，使它经过点(2,－1)．平移后的直线解O
1
2
3
4
A
x
y

1
2
析式为 ．
7.如图，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，
那么这个一次函数的解析式是 ．

课堂小结