数学竞赛题.doc

江苏省第十九届初中数学竞赛试卷 初二年级 (2004年12月26日8:3011:00)一、选择题(每小题7分，共56分)以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的.请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内1数学大师陈省身于2004年12月3日在天津逝世陈省身教授在微分几何等领域做出了杰出贡献，是获得沃尔夫奖的惟一华人他曾经指出,平面几何中有两个重要定理，一个是勾股定理，另一个是三角形内角和定理，后者表明平面三角形可以千变万化，但是三个内角的和是不变量下列几个关于不变量的叙述： (1)边长确定的平行四边形ABCD，当A变化时，其任意一组对角之和不变； (2)当多边形的边数不断增加时，它的外角和不变； (3)当ABC绕顶点A旋转时，ABC各内角的大小不变； (4)在放大镜下观察，含角a的图形放大时，角a的大小不变； (5)当圆的半径变化时，圆的周长与半径的比值不变； (6)当圆的半径变化时，圆的周长与面积的比值不变， 其中，错误的叙述有 ( ) (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个2某种细胞在分裂过程中，每个细胞一次分裂为2个1个细胞第1次分裂为2个，第2次继续分裂为4个，第3次继续分裂为8个，则第50次分裂后细胞的个数最接近( )(A)1015 (B)1012 (C)lO8 (D)lO53如图，在五边形ABCDE中，BCAD，BDAE，ABEC图中与ABC面积相等的三角形有 ( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个4如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1/l2/l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于 ( ) (A)70 (B)74 (C)144 (D)1485长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P点击出，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各1次后，又回到出发点P处每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等(例如图中=若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度(不计球的大小)为( ) (A)不确定 (B)12 (C)11 (D)106代数式2x26xy+5y2，其中x、y可取任意整数，则该代数式不大于lO的值有( ) (A)6个 (B)7个 (C)8个 (D)10个7在2004，2005，2006，2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是( ) (A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)20078已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：-1，0，l，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对(a，b)的个数有 ( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)6二、填空题(每小题7分，共56分)9在公路沿线有若干个黄沙供应站，每两个黄沙供应站之间有一个建筑工地一辆载着黄沙的卡车从公司出发，到达第1个黄沙供应站装沙，使车上的黄沙增加1倍，到达第1个建筑工地卸下黄沙2吨以后每到达黄沙供应站装沙，使车上黄沙增加1倍，每到达建筑工地卸下黄沙2吨这样到达第3个建筑工地正好将黄沙卸光则卡车上原来装有黄沙_吨10有20个队参加比赛，每队和其他各队都只比赛l场，每场比赛裁定有1队获胜,即没有平手获胜1场得1分，败者得零分，则其中任意8个队的得分和最多是_分 11在如图所示的梯形等式表中，第行行的等式是_.12普通骰子是各面点数分别为1，2，3，4，5，6的正方体现有甲、乙两个普通骰子，将甲骰子每一面的点数分别与乙骰子每一面的点数相加，得到的和如表1，从中可看出和2，3，4，12各自出现的次数现在设计丙、丁两个特殊的正方体骰子，要求将丙骰子每面的点数分别与丁骰子每面的点数相加后，所得的和仍然是2，3，4，12，且同一种和出现的次数与甲、乙两个普通骰子完全相同，即2出现1次，3出现2次，12出现1次已知丙、丁两个骰子各面的最大点数分别为4和8，且它们各面的点数都是正整数请在表2中分别填人丙、丁两个骰子各面的点数(可用点或数字表示) 13如图，将四根木条用螺钉连接，构成一个四边形ABCD(在A、B、C、D处都是活动的)现固定AB不动，改变四边形的形状当点C在AB的延长线上时，C=900；当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上，已知AB=6cm，DC=15cm，则AD=_cm，BC=_cm 14一个长方体的长、宽、高都是质数，长、宽的积比高大8，长与宽的差比高小9，这个长方体的体积是_15如图，两个矩形ABCD和EFGH相交，EH、DC相交于点M，EF、DA相交于点P，FG、AB相交于点N，GH、BC相交于点Q，且MNDA，PQEH已知MN=lO，PQ=9，矩形EFGH的周长等于34，则矩形ABCD的周长等于_ 16一个纸质的正方形“仙人掌”，假设“仙人掌”在不断地生长，新长的叶子是“缺角的正方形”，这些“正方形”的中心在先前正方形的角上，它们的边长是先前正方形的一半(如图所示)若第1个正方形的边长是1，则生长到第4次后，所得图形的面积是_.三、解答题17长边与短边之比为2：1的长方形称为“标准长方形”约定用短边分别为al，a2，a3，a4，a5(其中ala2a3a4a5)的5个不同“标准长方形”拼成的长方形记为(al，a2，a3，a4，a5)如图，短边长分别为1，2，2.5，4,5，7的“标准长方形”拼成的大长方形记为(1，2，2.5，4.5，7)解答下列问题：(1)写出长方形(1，2，5，a4,a5)中a4和a5可取的值及相应的面积不同的长方形(用上述长方形的记法表示出来)，并画出其中两个符合要求的长方形示意图(2)所有这些长方形(1，2，5，a4,a5)的面积的最大值是多少? 18A、B、C、D、E五人到商店去买东西，每人都花费了整数元，他们一共花了56元A、B花费的差额(即两人所花钱的差的绝对值，下同)是19元，B、C花费的差额是7元，C、D花费的差额是5元，D、E花费的差额是4元，E、A花费的差额是11元，问E花费了几元?为什么? 19当x=20时，一个关于x的二次三项式的值等于694若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式 20时代数学学习杂志编辑部为了更好地提高杂志质量，邀请了20位同学围坐在会议桌旁召开座谈会会上备有足量的各期杂志供大家任意选取，每人可取任意多本，座谈会结束时，统计一下每人所取杂志的本数，发现总有一些座位连在一起的人(可以1人或可含全部)，他们所取杂志的本数的和是20的整数倍为什么?江苏省第十九届初中数学竞赛(初二年级第2试) 参考答案与评分标准一、选择题题号12345678答案AACBDBCD二、填空题 91.75设卡车上原有黄沙x吨，根据题意得方程2(2x-2)-2-2=O，解得x=1.75(吨) 10124 11n2+(n2+1)+(n2+2)+(n2+n)=(n2+n+1)+(n2+n+2)+(n2+n+n) 12丙1 2 2 3 3 4丁1 3 4 5 6 8 注：面上的点子数与排列顺序无关，只要所填点数正确，均可得分1339,3014.273,(105学生的另解)1534.416三、解否题17根据条件所拼成的长方形有5种(1)(1，2，5，6，12)，(12，5，55，6)，(1，2，5，12，145)，(1，2，5，6，11)，(1，2，5，12，29).5种长方形的示意图如下注:第(1)小题10分5个长方形中答对1个给1分共5分画对1个图给3分，画对2个图给5分(2)第(2)小题2分由(1)知长方形(1，2，5，12，29)面积最大，其面积是29X(2+10+58)=2970=203018令a，b，c，d，e分别表示A、B、C、D、E各人化费的钱数，由题意得 4分以上等式相加后，左边是零，因此右边的和必须是零因为4+5+7+11+19=46因此我们将5个数a，b，c，d，e分为两部分，一部分的和是23，另一部分的和一23由于4+19=5+7+11=23因此，我们得方程组(1)(2) 6分 由方程组(1)得：所以(e+11)+(e-8)+(e-1)+(e+4)+e=56,5e+6=56，5e=50，e=10 10分由方程组(2)得：得(e-11)+(e+8)+(e+1)+(e-4)+e=565e-6=56，e=(不是整数，舍去),故E化费了10元 12分19将x=20代入ax2+bx+c得400a+20b+c=694 于是400a=694-(206+c) 5分由-10b10，-10c10得-21020b+c210故484400a904，又a为整数，所以a=2 7分 将a=2代入，得20b+c=106，于是20b=-106-c，又-10c10故-11620b-96，而b为整数，故6=-5，代入得c=-6 10分将x=20代入2x2-5x-6得其值为694所以满足条件的二次三项式只有2x2-5x-612分 2020人围成一圈，任选一人开始，依顺时针方向(亦可依逆时针方向)20人所取本数分别为al,a2,a3,a4,a20. 令S1=a1，S2=al+a2 Sk=al+a2+a3+a4+ak(k=1，2，3，20) 3分 如果Sk中有1个数为20的倍数，则本结论成立 若Sk中没有1个数是20的倍数，则Sk被20除必有余数，令其余数为rk(k=1，2，20)20为除数的非零余数有1，2，3，19等共19个 6分 因此r1，r2，r3，r20中至少有两个相同不妨设其为ri=rj，1ij20 此时，SiSj=ai+1+ai+2+aj为20的倍数即相邻的第i+1，i+2，至第j个人，他们所取本数的和是20的倍数 12分